不經(jīng)歷風(fēng)雨，也能見彩虹
——對一道稽陽聯(lián)考題的思考

☉浙江省諸暨市湄池中學(xué) 蔡旦燕

在教學(xué)中，我們總能發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的運算能力真的太弱，知道解題的方法和思路，但在運算的具體實施中，過程煩瑣，東漏西漏，花了好久時間還是算錯，但就是堅持自己的思路對就一定能解出來，何況老師說過解析幾何的計算就像經(jīng)歷一場暴風(fēng)雨的洗禮，才能海闊天空見到彩虹.也認(rèn)為這是通性通法，就是要經(jīng)歷復(fù)雜的計算.但事實上轉(zhuǎn)化一下思路，就會發(fā)現(xiàn)不用經(jīng)歷復(fù)雜計算的洗禮，也能愉快地到達(dá)目的地，而且很多高考題、模考題、調(diào)研題看起來很普通，實際上卻很漂亮，是命題專家經(jīng)過精心思考命制出來的，有很大的研究空間和教學(xué)價值.本文從稽陽聯(lián)考的一道求解離心率的選擇題出發(fā)，將題目所給的條件靈活轉(zhuǎn)化為解三角形，不用再聯(lián)立方程組解點坐標(biāo).

一、試題展示

圖1

分析2：F2為雙曲線的右焦點，因為FH⊥PF，所以|FH|=b，則|OH|=a.又因為所以|PF|=3b，根據(jù)雙曲線定義知|PF2|=3b-2a.在Rt△OFH中，.在△PFF2中，利用余弦定理得到cos∠PFF2=，而它們相等，很容易得到2b=3a，從而得到離心率.這就轉(zhuǎn)化到解三角形問題了.

分析3：如圖1，還可以取PH的中點E，則根據(jù)相似比|EF2|=2a，而且EF2⊥PF，所以在Rt△PEF2中，（EF2）2+（PE）2=（PF2）2，即（2a）2+b2=（3b-2a）2，計算更加簡單.

點評：這種解法思路非常清晰，根據(jù)聯(lián)立直線方程可得點坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線，得出點P的坐標(biāo)代入雙曲線方程就得到a，b，c的關(guān)系式，化解可得結(jié)果.但在實際操作過程中，學(xué)生遇到了幾個難關(guān)，現(xiàn)在的學(xué)生計算能力比較差，尤其是純粹的字母運算，求點H的坐標(biāo)還可以，求點P的坐標(biāo)時就出現(xiàn)了問題，還有一個問題是代入雙曲線方程后化解不了.結(jié)果就是花了好多時間還是沒有得到正確答案，以至于做后面的題目就沒有時間了，而且心浮氣躁，影響考試的情緒.

那么我們轉(zhuǎn)化一下思路，放到雙曲線的本質(zhì)上去，到平面內(nèi)兩定點的距離之差的絕對值是定值.而且雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，這里出現(xiàn)了一個直角三角形，根據(jù)相似比，我們知道了一個三角形的各邊的長度，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為了解三角形的問題.而在分析3中構(gòu)造一個Rt△PEF2，計算更加的簡潔明了.

二、類題再現(xiàn)1

圖2

點評：分析1完全是題目的直譯，根據(jù)相交求出點坐標(biāo)，根據(jù)向量相等得到坐標(biāo)之間的等式，但計算復(fù)雜.分析2注意到等腰三角形的三線合一，利用垂足，可以少算一個點坐標(biāo)，計算量大大地減少.而分析3巧妙地注意到這個圖形的特殊性以及漸近線特征，得到△OAF2為正三角形，馬上可以得到漸近線的斜率.

三、類題再現(xiàn)2

類題2 （2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題）橢圓的右焦點F（2c，0），關(guān)于直線的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為_________.

圖3

點評：本題跟前一題一樣，直譯題意就是求對稱點，然后把對稱點代入橢圓方程得到a，b，c之間的關(guān)系，但求解點也好，化簡也好，大部分學(xué)生花了九牛二虎之力還是解決不了.但第二種解法把點關(guān)于直線對稱的條件等價轉(zhuǎn)化，得到中位線，從而有相似比，再利用橢圓定義，得到a，b，c之間的關(guān)系，計算量大大減少.

反思感悟：從這幾題的解答可以看出，對于求這樣一類圓錐曲線的離心率問題，即條件中有點關(guān)于直線對稱或者說有幾等分點出現(xiàn)，不一定要求出點的坐標(biāo)，代入方程進(jìn)行復(fù)雜的字母計算，才能得出我們的答案.我們往往可以根據(jù)相似比來得出線段長度之間的關(guān)系，或者根據(jù)直角三角形的勾股定理，或者利用一般三角形的余弦定理等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合得出一個含有a，b，c或其中任意2個的關(guān)系式，從而算出離心率.這種辦法才是我們優(yōu)先考慮的辦法.也就是說煩瑣的辦法，直譯的辦法不一定就是通性通法，簡潔有效的辦法也是通性通法.這就需要我們平時在教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與，百家爭鳴，更要引導(dǎo)學(xué)生從中提煉、總結(jié)出最初、最基本的數(shù)學(xué)概念，最自然、最優(yōu)化的解題方法.逐步達(dá)到做一題，會一類，用一法，解多題的境界.這樣不僅能讓學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，而且對于以后學(xué)習(xí)新的知識有了方向，求同思維大大發(fā)展.同時需要我們長期有意識地營造氛圍，讓學(xué)生不時地感悟題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，自然而然地掌握它.不經(jīng)歷煩瑣計算的風(fēng)雨洗禮，也能見到美麗的彩虹，甚至是更快地見到它！

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

2.謝全苗.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要辯證地看待“通法”與“巧法”［J］.數(shù)學(xué)通報，2001（6）.F