“等差數(shù)列前n項和”(第一課時)課堂實錄

王曉麗 李玉明

【摘要】 一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，能夠培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識，也能讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)魅力的同時，實現(xiàn)自身的可持續(xù)發(fā)展.一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，也必然以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題”，構(gòu)建知識，體驗成功，實現(xiàn)自身的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】 問題驅(qū)動;創(chuàng)新能力;應(yīng)用意識;可持續(xù)發(fā)展

【教材分析】

本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列的概念、通項公式的基礎(chǔ)上展開的.從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用;就知識特點而言，它是從大量數(shù)學(xué)問題和生活實際中抽象出來的典型模型，在現(xiàn)實中也有著廣泛的應(yīng)用;就能力培養(yǎng)來看，公式推導(dǎo)過程中滲透的類比、化歸、數(shù)形結(jié)合思想方法，都是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力、可持續(xù)發(fā)展能力的良好載體.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過高斯的故事及堆放木材的實際問題，探究公式的推導(dǎo)過程及推導(dǎo)方法;

2.通過自我檢測，進(jìn)一步熟練記憶公式、運用公式;

3.通過例1及變式，能靈活運用公式“知三求二”;

4.通過自編題目及變式，認(rèn)清公式中每個符號的意義;

5.通過推導(dǎo)公式、應(yīng)用公式，體會從特殊到一般的思維方式，體會方程與函數(shù)的思想，感受數(shù)學(xué)魅力的同時，實現(xiàn)自身的可持續(xù)發(fā)展.

【教法、學(xué)法】

在教學(xué)設(shè)計上，采用以問題為主線，學(xué)生探索、交流與教師啟發(fā)、引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)方法，讓學(xué)生在“問題”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中提升，在“探究”中創(chuàng)新.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：為快速統(tǒng)計木材數(shù)量，伐木工人通常將木材堆放成梯形.今天我們一起來探索其中的奧秘.（PPT1）

【設(shè)計意圖】激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值，讓學(xué)生感到生活中處處有數(shù)學(xué).另外，為類比記憶公式Sn= n（a1+an） 2 埋下伏筆.

二、師生互動，探究新知

師：還記得200多年前，10歲的“數(shù)學(xué)王子”高斯，怎樣快速計算出1+2+3+…+100嗎？（PPT2）

生：因為1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，所以和是101× 100 2 =5050.

師：這算法妙在哪兒？

生：“首尾配對”（“首尾配對”字眼，吸人眼球，引起共鳴）.

師：說得太地道了！可以用你自己的語言說說“首尾配對”的實質(zhì)嗎？

生：（思考）就是把不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題.（此處有掌聲）

師：你就是我們班的“數(shù)學(xué)王子”！

師：類比剛才的算法，誰能快速計算出圖中木材的數(shù)量？（PPT1）

（學(xué)生獨立思考后）

生：（1+2+…+25+27+…+51）+26=25×52+26.

生：（1+2+3+…+50）+51=25×51+51.

生：我感覺這么處理更簡單：0+1+2+…+50+51=26×51.

師：真好！大家竟然把“首尾配對”演繹得這么巧妙，輕而易舉地將奇數(shù)個項求和問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個項求和問題！

師：如果木材的層數(shù)是n層，木材數(shù)量1+2+3+…+n=？

生：我想應(yīng)該“分類討論”解決.

n是偶數(shù)時，“首尾配對”即可，1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

n為奇數(shù)時可變形配對1+2+3+…+n=0+1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

師：有沒有更好的方法可以避免討論？請小組合作探究.（第一次小組合作）

師：站在高斯這個巨人的肩膀上，我們探求出升級版的“首尾配對”.哪個小組可以在大屏幕上展示一下？

生：1+2+3+…+（n-1）+n， ①

n+（n-1）+（n-2）+…+1. ②

兩式相加，可以發(fā)現(xiàn)

1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…=n+1，

∴①+②得1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

師：是不是給這種方法起個恰當(dāng)?shù)拿盅剑?/p>

（又是一石激浪，學(xué)生激情地爭論著）

生：“倒序相加”形神兼?zhèn)洌?/p>

師：好！請靜心思考：剛才小組合作的過程中，你的思維受到了哪些碰撞？

生：倒序相加求和的優(yōu)勢.

生：我發(fā)現(xiàn)結(jié)果是首項與末項的和乘項數(shù)再除以2.

師：很善于觀察和總結(jié)！那么，任意等差數(shù)列{an}，設(shè)其前n項和為Sn，

即Sn=a1+a2+a3+…+an=？（PPT3）

生：Sn= n（a1+an） 2 .（異口同聲）

師：確定？（畢竟是猜測，有的學(xué)生底氣不是那么足了）

生：加以證明就行.

（學(xué)生自主探究，教師巡視指導(dǎo)）

師：大家這么多好方法，先在小組里分享一下.（第二次小組合作）

師：請每個小組第三發(fā)言人在大屏幕上分享證明過程！

生：∵Sn=a1+a2+a3+…+an，

Sn=an+an-1+an-2+…+a1，

∴2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…+（a1+an）? n個 ，

∴Sn= n（a1+an） 2 .

師：真好！給大家說說這個過程涉及的知識.

生：上節(jié)課學(xué)習(xí)的性質(zhì)：若n+m=p+q，則an+am=ap+aq.

師：活學(xué)活用！

生：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d]，

Sn=an+an-1+an-2+…+a1=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an+（n-1）d]，

∴Sn= n（a1+an） 2 .

師：折服于大家富有創(chuàng)造性的解法！其他的證明方法，大家課后繼續(xù)交流.現(xiàn)在，對照木材圖（PPT1），你能說出記憶公式的巧妙方法嗎？

生：Sn的公式就是梯形的面積公式.（同學(xué)們相互嘀咕了一會，都投來贊許的目光?。?/p>

生：伐木工人的奧秘！

生：是呀…

師：請思考：在已知哪些量的情況下，我們可以求出Sn？你理解公式中各符號的含義嗎？

（請數(shù)學(xué)能力相對較弱的同學(xué)回答.給他們展示的機(jī)會，保證他們也能吃得消，跟得上）

師：如果知道首項和公差d，你能求出an嗎？求出Sn可以嗎？請說出你的探究過程.

（自主思考后，請數(shù)學(xué)能力相對較好的同學(xué)板演，發(fā)揮他們的優(yōu)點，帶動其他同學(xué)成長）

生：Sn= n（a1+an） 2 ， ①

an=a1+（n-1）d. ②

將②代入①得：Sn=na1+ n（n-1）d 2 .

師：現(xiàn)在等差數(shù)列前n項和公式有兩種形式，你能說出具備了哪些條件就可以對等差數(shù)列進(jìn)行求和？

（請數(shù)學(xué)能力中等的同學(xué)陳述.借此觀察全班同學(xué)的掌握情況.）

【設(shè)計意圖】綠色課堂主張“學(xué)起于思，思源于疑”.“問題”是引發(fā)學(xué)生積極探索、主動參與的導(dǎo)火索.由于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點，學(xué)生又是第一次接觸數(shù)列求和，對學(xué)生來講是個新事物.特別是探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的難點.如果直接介紹“倒序相加”求和，有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.所以我以問題驅(qū)動，輔以小組合作的形式，循序漸進(jìn)，層層深入引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題”，最終構(gòu)建知識，體驗成功，實現(xiàn)自身的發(fā)展.

在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題后，教師的任務(wù)是讓學(xué)生的思維迅速發(fā)散，尋求解決問題的方法.我先讓學(xué)生獨立思考，只要學(xué)生有了自己的想法，肯定躍躍欲試地想表達(dá)出來，趁機(jī)鼓勵學(xué)生大膽地暢所欲言.這時就可以水到渠成地提煉出倒序相加的求和方法;讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)對稱美的同時滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

在提供“合作交流”的機(jī)會時，教師要組織和指導(dǎo)學(xué)生將自己理解的東西表現(xiàn)出來和同伴分享，當(dāng)然對有困難的小組要給予指導(dǎo)和鼓勵.探究出結(jié)果后，鼓勵小組代表在大屏幕上展示各自的方法及推導(dǎo)過程，其他小組點評、補充;教師給予肯定和鼓勵，并做最后的點撥與總結(jié).

在這里我想強(qiáng)調(diào)一個細(xì)節(jié)的問題：在實際教學(xué)中，由于受時間的限制，我們往往舍不得花時間在公式、概念的內(nèi)涵上下功夫，比如，“你理解公式中各符號的含義”等等問題.但是這一環(huán)節(jié)很重要，盡管時間少，甚至僅僅是幾句話，卻有畫龍點睛之妙用.學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，廣闊性等品質(zhì)就得到了提高，也為自身的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ).

三、新知形成，自我檢測

師：準(zhǔn)備好，挑戰(zhàn)自我！限時5分鐘！

（PPT3）已知等差數(shù)列{an}中，

① a1=5，an=1，n=30，sn= ;

② a1=29，d=2，n=20，sn= ;

③ a1=5，n=30，sn=390，an= ;

④ a1=20，an=54，sn=999，n= ;

⑤ d=2，n=37，sn=629，a1= .

（5分鐘后，請數(shù)學(xué)能力相對弱的同學(xué)展示，保證人人會用公式）

【設(shè)計意圖】凡是學(xué)生自己可以完成的事情，教師決不替代.這是5道不斷變換條件、直接套用公式的題目，起到督促學(xué)生觀察分析、套用和記憶公式的作用，也便于教師及時調(diào)整教學(xué)，更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

四、應(yīng)用新知，強(qiáng)化訓(xùn)練

例1?? 等差數(shù)列{an}的公差為2，第20項a20=29，求前20項的和S20.（PPT4）

師：請大家先思考，自主驗算后交流.

（題目難度不大，學(xué)生興致很高，氣氛熱烈.用不同的方法，順利拿下例1）

師：大家對公式的掌握很到位！請看變式（PPT5）

變式：{an}是等差數(shù)列，請根據(jù)表格中的已知數(shù)據(jù)，完成表格，限時5分鐘！

題號 a1 d n an sn

1 0.5 0.5 8

2 27 -3? 0

3? -2? -96 -2280

（5分鐘后，請班上數(shù)學(xué)能力中等的兩位同學(xué)對答案）

師：請重新審視表格中給出的數(shù)據(jù)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：有5個量，知道其中三個就可以求出另外兩個.

師：這就是公式應(yīng)用的重點“知三求二”.

師：請根據(jù)你對公式的認(rèn)識，編擬2道題，和同桌交換練習(xí)！

（每個同學(xué)的熱情很高漲，積極地交流探討.有同學(xué)舉手示意）

生：我同桌給我出的題目挺有意思的.我想在大屏幕上閃一下：3+5+…+（2n-1）= ？

師：誰能說說到底哪兒有意思？

生：這不是求前n項的和.

師：那是求前多少項的和？教師再給出兩個這種類型的小題，看看大家能不能抓住題目實質(zhì).

（PPT6）

① 4+7+10+…+（3n-2）= ？

② 1+3+5+…+（2n+1）= ？

（前后四人小討論，整理出答案）

師：從這組題目中你學(xué)到了什么？

生：不能死記硬背公式.

師：是呀，不能見n就代，想當(dāng)然地套用公式，要注意n的含義.

【設(shè)計意圖】例1及變式，屬于“知三求二”的典型題目，也是本節(jié)課的重點.我特意設(shè)計了表格的形式，讓學(xué)生恍然大悟：原來等差數(shù)列前n項和公式，就是一個關(guān)于an，a1，n或者a1，n，d的方程，不知不覺中把方程的思想滲透給學(xué)生，讓學(xué)生解決問題的能力呈螺旋式上升.

學(xué)生自編習(xí)題的目的是讓學(xué)生參與課堂，體驗課堂，感悟課堂，享受課堂，實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展中的再創(chuàng)造！沒想到把特別需要注意的基本量n引出來了.他們各抒己見，把課堂氣氛又一次推向高潮的同時，對公式的認(rèn)識由感性上升到理性，自身的發(fā)展也有了質(zhì)的飛躍！

五、歸納小結(jié)，加深理解

師：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？（請數(shù)學(xué)能力相對弱的同學(xué)回答）

師：你最大的體驗是什么？（學(xué)生暢所欲言）

師：大家說的都很好.那你掌握了哪些學(xué)數(shù)學(xué)的方法？（暢所欲言）

【設(shè)計意圖】綠色課堂，教師要引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、體驗、興趣等等方面進(jìn)行小結(jié)，由特殊到一般進(jìn)行轉(zhuǎn)化，完成知識目標(biāo)和能力目標(biāo).

六、課堂小測，檢查效果（PPT7）

【設(shè)計意圖】課堂小測是我們一中數(shù)學(xué)組一直堅持的.限定時間，訓(xùn)練學(xué)生的動手能力和運算能力.及時批改，跟蹤檢查，做到每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容落實到位，力爭堂堂清！

七、布置作業(yè)，升華提高

1.教材41頁，A組2，3;B組2，4.

2.小組討論：14，11，8，…前n項的和是多少？有最大值嗎？是多少？為什么？期待下節(jié)課大家精彩的講解.

【設(shè)計意圖】布置彈性作業(yè)使各個層次的學(xué)生都有所發(fā)展.小組作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與探索精神，這是學(xué)生實現(xiàn)自身發(fā)展的更高境界！