多變量反常積分的計算

謝素英

【摘要】 數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，而多變量反常積分是數(shù)學(xué)分析中的一個重點和難點，本文針對多變量反常積分的計算給出計算方法和技巧，總結(jié)了易混易錯的關(guān)鍵點.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)分析;反常積分;多變量;計算技巧

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其中《數(shù)學(xué)分析（下冊）》的多變量的反常積分是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點[1-3].由于積分的反常和多變量，使得這種廣義積分的計算更難掌握，尤其是多變量的無窮積分和瑕積分的混合積分的計算則更加復(fù)雜.本文針對一些多變量的反常積分的計算給出計算方法和技巧.

數(shù)學(xué)分析中關(guān)于多變量的反常積分，一般稱為含參量的反常積分，其主要的計算方法有定義法、積分換序法、先求導(dǎo)后求積分法等.因為反常積分中的被積函數(shù)含有參數(shù)，因此，要使用換序法必須先驗證含參積分的一致（或內(nèi)閉一致）收斂性.要利用含參積分的換序法，可以通過如下積分公式把被積函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即

∫basinxydy= cosax-cosbx x ， （1）

∫bacosxydy= sinbx-sinax x ， （2）

∫bae-xydy= e-ax-e-bx x ， （3）

∫ba 1 1+（xy）2 dy= arctanbx-arctanax x . （4）

例如，計算如下的反常積分，如果使用公式（1）—（4），可得

∫+∞0 cosax-cosbx x dx=∫+∞0dx∫basinxydy， （5）

∫+∞0 sinax-sinbx x dx=∫+∞0dx∫ba-cosxydy， （6）

∫+∞0 e-ax-e-bx x dx=∫+∞0dx∫bae-xydy， （7）

∫+∞0 arctanax-arctanbx x dx=-∫+∞0dx∫ba 1 1+（xy）2 dy. （8）

若利用積分換序計算（5）和（6），需要驗證含參反常積分∫+∞0sinxydx和∫+∞0-cosxydx在y∈[a，b]上的一致收斂性，而這兩個積分在y∈[a，b]上顯然是發(fā)散的，從而一致收斂性不滿足，不能利用換序方法來計算.而對于（7）和（8），因為e-xy和 1 1+（xy）2 在（x，y）∈（0，+∞）×[a，b]上連續(xù)，且∫+∞0e-xydx和∫+∞0 1 1+（xy）2 dx在y∈[a，b]上均一致收斂（用M-判別法可知），滿足含參反常積分的積分換序條件，對（7）和（8）的右端通過積分換序可以得到

∫+∞0dx∫bae-xydy=∫bady∫+∞0e-xydx=∫ba 1 y dy=ln b a ，

-∫+∞0dx∫ba 1 1+（xy）2 dy=-∫bady∫+∞0 1 1+（xy）2 dx

=∫ba- 1 y · π 2 dy=- π 2 ln b a .

由此可知，（7）和（8）的左端可以用積分換序法計算，也可以用一元函數(shù)反常積分的傅茹蘭公式[4]計算，而（5）和（6）的左端不適合用積分換序法，適合用傅茹蘭公式.

總結(jié)：綜上所述，使用含參反常積分的積分換序法，需要驗證換序后含參反常積分的一致收斂性，并且換序之后容易計算積分值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陳傳璋，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]陳紀(jì)修，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]Β.Π.吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（五）[M].費定暉，周學(xué)圣，編譯.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1983.