數(shù)列極限定義的教學(xué)新思路

孫杰寶 郭志昌 吳勃英

【摘要】 數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析課程的重要基礎(chǔ)，而如何深刻理解數(shù)列極限定義則是學(xué)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文通過(guò)引入一個(gè)將等式“等價(jià)為”不等式的引理，引導(dǎo)學(xué)生正確理解任意小變量ε和N的依賴關(guān)系，并在幾何意義下進(jìn)一步明確數(shù)列極限定義的深層內(nèi)涵.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列極限;收斂

【基金項(xiàng)目】 黑龍江省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（SJGY20170670）.

一、引 言

數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析[1]課程的重要基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)分析的核心也正是對(duì)無(wú)窮小和無(wú)窮大的處理和理解.因此，數(shù)列極限的定義及講授方式在數(shù)學(xué)分析的講解中就顯得非常重要.數(shù)列極限定義的抽象性，使得學(xué)生難以理解.已經(jīng)有多位教育學(xué)者對(duì)數(shù)列極限的定義和講解方法進(jìn)行了多方面的探討[2-4].本文作者探尋出一種關(guān)于數(shù)列極限定義的教學(xué)新思路，使學(xué)生更容易理解數(shù)列極限定義的深層內(nèi)涵.

二、數(shù)列極限定義教學(xué)新思路

關(guān)于數(shù)列極限定義的教學(xué)新思路是：首先，通過(guò)給出一些等價(jià)引理，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解任意小變量ε;然后，通過(guò)實(shí)際計(jì)算的方式明白任意小變量ε和N的依賴關(guān)系;接下來(lái)，引出數(shù)列極限定義，即大家熟知的數(shù)列極限定義的ε-N語(yǔ)言;最后，通過(guò)探討數(shù)列極限的幾何意義，總結(jié)數(shù)列極限的本質(zhì).

首先，給出如下引理：

引理1 ?ε>0，|x-y|<εx=y.

證明 ?必要性，顯然.

充分性，反證法.假設(shè)x≠y，則|x-y|>0.由ε的任意性取ε= |x-y| 2 ，則有|x-y|< |x-y| 2 ，矛盾.

引理1說(shuō)明等式可以“等價(jià)為”不等式，從而引導(dǎo)學(xué)生突破高中階段對(duì)等式的理解，并明確等式在將來(lái)的學(xué)習(xí)研究中可以有更多的形式.

注1：ε>0，|x-y|<aε（a>0）x=y.

注2：ε>0，x<y+εx≤y.

總結(jié)：“ε>0，×××”這種描述方式和初等數(shù)學(xué)中的等式和不等式有著本質(zhì)的不同，利用這種語(yǔ)言可以進(jìn)一步得到等式或不等式的“極限”情形.

接下來(lái)，我們通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)理解數(shù)列極限定義.

問(wèn)題1 ?已知 lim n→∞? 1 n =0，那么 1 n 是否等于0？如果不等，將會(huì)以哪種方式和0進(jìn)行比較？

下面我們利用引理1的思想來(lái)處理問(wèn)題1.即：ε>0， 1 n 與0的距離在n取多少時(shí)可以達(dá)到小于ε？簡(jiǎn)單計(jì)算可得：

ε=0.1時(shí)，? 1 n -0 <εn>10;

ε=0.01時(shí)，? 1 n -0 <εn>100;

ε=0.001時(shí)，? 1 n -0 <εn>1 000.

該結(jié)果表明當(dāng)n大于某個(gè)數(shù)N時(shí)， 1 n 和0總是小于給定的ε.由引理1可知 1 n 與0越來(lái)越接近，因?yàn)橐?的結(jié)論告訴我們n大于某個(gè)N時(shí)， 1 n 與0相等.

利用上述分析我們可以抽象出數(shù)列極限的定義：

定義1 ?設(shè){xn}是一個(gè)實(shí)數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù).若ε>0，N=N（ε），使得當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<ε，則稱數(shù)列{xn}收斂于a，并稱a為數(shù)列{xn}的極限.

理解：?jiǎn)栴}1中，由于N依賴于ε，記為N=N（ε）.一經(jīng)找到N，數(shù)列中n>N的項(xiàng)都滿足和a充分接近，也就是說(shuō)，可以從定義1中抽出這樣的一個(gè)部分：

ε>0，|xn-a|<ε.

而引理1告訴我們xn“=”a.這也可以看出充分接近的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，即ε>0，|xn-a|<ε.

最后從幾何的觀點(diǎn)來(lái)理解數(shù)列極限定義.從上圖可以看出，問(wèn)題1的另外一種理解為：當(dāng)ε=0.1時(shí)，（-0.1，0.1）包括了 1 n （n>10）的所有點(diǎn)，但是1，…， 1 10 在區(qū) 間（-0.1，0.1）外.而當(dāng)ε=0.01時(shí)，（-0.01，0.01）包括了 1 n （n>100）的所有點(diǎn)，但1，…， 1 100 在區(qū)間（-0.1，0.1）外.

依此類推，我們可以得到數(shù)列極限的幾何解釋：存在一點(diǎn)a，使得ε>0，該點(diǎn)的鄰域（a-ε，a+ε）總包含{xn}的無(wú)窮多點(diǎn){xN+1，xN+2，…}，而該區(qū)間外只有有限個(gè)點(diǎn){x1，…，xN}.

注3：若存在一點(diǎn)，滿足在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)總包含{xn}的無(wú)窮多點(diǎn)，那么該點(diǎn)是不是極限值？結(jié)論是不一定.考察數(shù)列{（-1）n}∞n=1，顯然1的任何鄰域包含{（-1）n}∞n=1無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，但1不是極限，因?yàn)?的任何鄰域外仍有無(wú)窮多個(gè)數(shù)列中的點(diǎn).

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)引入一個(gè)可以將等式“等價(jià)為”不等式的引理，加深了學(xué)生對(duì)ε的理解，并進(jìn)一步明確了ε在數(shù)列極限中所起到的重要作用，從而使得學(xué)生更加容易理解和掌握數(shù)列極限的定義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[4]趙健寶，王潔，李義華.對(duì)數(shù)列極限的定義的理解[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（17）：106.