離散形式Minkowski不等式的幾種證明

陳曉莉 吳妍翎

【摘要】 Minkowski不等式是分析中幾個(gè)重要的不等式之一，它的應(yīng)用非常廣泛.我們整理了Minkowski不等式證明的四種方法，包括利用Hlder不等式、利用Lagrange乘子、利用凸函數(shù)的性質(zhì)以及利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明.

【關(guān)鍵詞】 Minkowski不等式;Hlder不等式;凸函數(shù)

【基金項(xiàng)目】 國(guó)家自然科學(xué)基金（11461033）;江西省教改課題（JXJG-14-2-9）.

一、引 言

通常，分析中幾個(gè)基本不等式是指Hlder不等式（含Cauchy-Schwarz不等式）、Minkowski不等式和Young不等式等.著名數(shù)學(xué)家Hardy在其著作[1]《不等式》（Inequality）中稱該不等式“極為重要”和“到處都要用到”.一開始，Minkowski不等式是以離散（數(shù)列）的形式出現(xiàn)，后來(lái)Riesz對(duì)其進(jìn)行推廣，得到了積分形式的Minkowski不等式，并用其建立Lp空間理論.我們這里主要介紹離散形式的Minkowski，并整理了多種證明.

定理 [2] 設(shè)a={a1，a2，…，an}，b={b1，b2，…，bn}，其中ai≥0，bi≥0.則當(dāng)1≤p<∞時(shí)，有

∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 p ≤ ∑ n i=1 api? 1 p + ∑ n i=1 bpi? 1 p ， （1）

且等號(hào)成立的充要條件是ai，bi成比例，即存在不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得對(duì)任意ai，bi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi.

二、定理的證明

當(dāng)p=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.因此，只需證明1<p<∞的情形.由于

∑ n i=1 （ai+bi）p=∑ n i=1 （ai+bi）（ai+bi） p q =∑ n i=1 ai（ai+bi） p q +∑ n i=1 bi（ai+bi） p q . （2）

因此，要證明Minkowski不等式只需證明

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 api? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q? （3）

和

∑ n i=1 bi（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 bpi? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q? （4）

同時(shí)成立.結(jié)合（2）—（4），可得

∑ n i=1 （ai+bi）p≤ ∑ n i=1 api? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q + ∑ n i=1 bpi? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q

=? ∑ n i=1 api? 1 p + ∑ n i=1 bpi? 1 p?? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q .

整理即得不等式（1）.

當(dāng)存在不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得對(duì)于任意λ1ai=λ2bi，ai，bi（i=1，2，…，n），則等號(hào)顯然成立.

不等式（3）和（4）的證明類似，因此只需證明（3）.下面我們整理出四種不同的證明方法.

（一）利用Hlder不等式來(lái)證明

由文獻(xiàn)[3]可知，當(dāng)1<p，q<∞， 1 p + 1 q =1且Xi，Yi≥0，i=1，…，n時(shí)，有下面的Hlder不等式：

∑ n i=1 XiYi≤ ∑ n i=1 Xpi? 1 p? ∑ n i=1 Yqi? 1 q .

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)λ1，λ2使得對(duì)于任意Xi，Yi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi時(shí)成立.因此，利用Hlder不等式可以得到不等式（3）.

（二）運(yùn)用拉格朗日乘子法來(lái)證明

若將不等式（3）的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為條件極值問(wèn)題，則可以運(yùn)用拉格朗日乘子法來(lái)證明Minkowski不等式，參見文獻(xiàn)[4].要證明不等式（3），即證

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q?? ∑ n i=1 （ai+bi）p ?1 q? ≤ ∑ n i=1 api? 1 p . （5）

不妨令xi= （ai+bi） p q?? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q? ，則不等式轉(zhuǎn)化為

∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api? 1 p . （6）

注意到∑ n i=1 xqi= ∑ n i=1 （ai+bi）p ∑ n i=1 （ai+bi）p =1.

因此，若把 ∑ n i=1 api? 1 p 看成函數(shù)f（x1，x2，…，xn）=∑ n i=1 aixi在限制條件∑ n i=1 xqi=1下的最大值，則不等式（6）成立.

令L（x1，x2，…，xn，λ）=∑ n i=1 aixi+λ 1-∑ n i=1 xqi .假設(shè) L xi = L λ =0，可得方程組

L xi =ai-qλixq-1i=0， L λ =1-∑ n i=1 xqi=0. （i=1，2，…，n）

解上述方程組可得

xi=? ai λq?? 1 q-1 . （7）

利用∑ n i=1 xqi=1和 1 p + 1 q =1可得

∑ n i=1?? ai λq?? q q-1 =∑ n i=1?? ai λq? p=1.

即λq= ∑ n i=1 api? 1 p . （8）

將式（8）代入式（7）可得

xi= a 1 q-1 i? ∑ n i=1 api? 1 q? （i=1，2，…，n）.

這是拉格朗日函數(shù)L（x1，x2，…，xn，λ）的穩(wěn)定點(diǎn)，且方程的解唯一，由實(shí)際問(wèn)題可知最大值在唯一穩(wěn)定點(diǎn)取得.從而有

fmax（x1，x2，…，xn）= ∑ n i=1 aia 1 q-1 i? ∑ n i=1 api? 1 q? = ∑ n i=1 api? ∑ n i=1 api? 1 q

= ∑ n i=1 api? 1 p ，

即∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api? 1 p .

故不等式（3）成立.

（三）利用凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明

作輔助函數(shù)f（x）=-x 1 q （x>0）.

則

f″（x）=- 1 q?? 1 q -1 x 1 q -2>0（x>0），

因此，f（x）在（0，+∞）上是凸函數(shù).

令xi= （ai+bi）p api ，λi= api ∑ n i=1 api ，i=1，2，…，n，其中 1 p + 1 q =1.則∑ n i=1 λi=1.由Jensen不等式，見文獻(xiàn)[5]（P151例3），可得

-（λ1x1+λ2x2+…+λnxn） 1 q ≤λ1（-x 1 q 1）+λ2（-x 1 q 2）+…+λn（-x 1 q n）.

即

（λ1x1+λ2x2+…+λnxn） 1 q ≥λ1x 1 q 1+λ2x 1 q 2+…+λnx 1 q n. （9）

結(jié)合xi，bi的定義和不等式（9）可得

∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q?? ∑ n i=1 api? 1 q? ≥ ∑ n i=1 ai（ai+bi） p q? ∑ n i=1 api ，

整理得

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 api? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 q ，

即不等式（3）.

（四）利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明

1986年，王志雄在文獻(xiàn)[6]中構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明Minkowski不等式.下面簡(jiǎn)單介紹此證明方法.

作輔助函數(shù)

f（t）=? ∑ n i=1 xi（yi+t）α? 1 α?? ∑ n i=1 xi（yi+t）β? 1 β? （xi>0，yi>0，β>α），

則f（t）是（0，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，此外當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=…=yn時(shí)，f（t）為常值函數(shù).因此有

∑ n i=1 xiyαi? 1 α?? ∑ n i=1 xiyβi? 1 β? =f（0）≤lim t→∞ f（t）

=lim t→∞?? ∑ n i=1 xi? yi t +1 α? 1 α?? ∑ n i=1 xi? yi t +1 β? 1 β? = ∑ n i=1 xi? 1 α - 1 β .

化簡(jiǎn)可得

∑ n i=1 xiyαi? 1 α ≤ ∑ n i=1 xi? 1 α - 1 β? ∑ n i=1 xiyβi? 1 β .

令α=1，β=p>1，xi=（ai+bi）p，

yi= ai ai+bi （i=1，2，…，n），則

∑ n i=1 （ai+bi）p-1ai≤ ∑ n i=1 api? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p . （10）

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

a1 a1+b1 = a2 a2+b2 =…= an an+bn .

這等價(jià)于存在不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)λ1，λ2使得對(duì)于任意的ai，bi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi.

同理，令α=1，β=p>1，xi=（ai+bi）p，

yi= bi ai+bi （i=1，2，…，n），可得

∑ n i=1 （ai+bi）p-1bi≤ ∑ n i=1 bpi? 1 p? ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p . （11）

將（10）和（11）兩式相加，得

∑ n i=1 （ai+bi）p

≤? ∑ n i=1 api? 1 p + ∑ n i=1 bpi? 1 p?? ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p .

即

∑ n i=1 （ai+bi）p? 1 p ≤ ∑ n i=1 api? 1 p + ∑ n i=1 bpi? 1 p .

【參考文獻(xiàn)】

[1]G Hardy，J Littlewood，G Pólya.不等式：第2版[M].越民義，譯.北京：人民郵電出版社，2008.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法：第2版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]王聲望，鄭維行.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]高英敏.Langrange乘數(shù)法與Minkowski不等式[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（2）：57-58.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]王志雄.一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及若干經(jīng)典不等式的統(tǒng)一證明[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1986（3）：36-37.