“遠小于”在數學學習中的應用

柴艷玲 陳小丹

【摘要】 在數學公式中，“”代表遠小于符號，表示一個數遠小于另一個數，它在數學近似計算中起著非常重要的作用.數學中的邊際函數以及微分近似計算等都與之相關.了解遠小于的意義，還有利于幫助學生體會高等數學與初等數學方法上的不同.

【關鍵詞】 遠小于;近似計算;邊際函數

一、問題提出

生產某產品x件時的總成本函數為C（x）=x2+2x+7，邊際成本函數為C′（x）=2x+2[1].當x=1時，C′（1）=2×1+2=4.也就是說生產第2件產品所需的成本為4，但是C（2）-C（1）=15-10=5，ΔC≠C′（1），誤差達10 % .這是為什么呢？

二、問題分析

（一）微分近似計算

微分的定義（正方形面積改變量的近似值）[2]

已知正方形邊長為x=x0，對應于邊長x的改變量Δx>0，面積y取得改變量Δy=（x0+Δx）2-x20=2x0Δx+（Δx）2.

當邊長改變量的絕對值|Δx|很小時，面積改變量Δy與邊長改變量Δx的正比例函數2x0Δx之差Δy-2x0Δx=（Δx）2的絕對值就更小.當Δx→0時，差Δy-2x0Δx=（Δx）2是比Δx較高階的無窮小量.于是可以把正比例函數2x0Δx作為面積改變量Δy的近似值，即

Δy≈2x0Δx（|Δx|很?。?

此時，|Δx|要相對于x0很小，或稱遠小于.

如果函數y=f（x）在點x0及其左右有定義，當自變量x在點x0處的改變量Δx≠0，相應函數改變量為Δy.當Δx→0時，若存在常數A，使得差Δy-AΔx是比Δx較高階無窮小量，則稱函數y=f（x）在點x0處可微，并稱自變量改變量Δx的正比例函數AΔx為函數y=f（x）在點x0處的微分值，記作dy|x=x0=AΔx.當自變量改變量的絕對值|Δx|很小時，則函數y=f（x）在點x0處的改變量Δy近似等于在點x0處的微分值dy|x=x0，即Δy≈dy|x=x0（|Δx|很?。?，

即f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，

故f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx.

當|Δx|要相對于x0很小時，此結論可以用來做近似計算.

例1 ??近似計算 3 998 的值[3].

解 ?取f（x）= 3 x ，則f′（x）= 1 3 3 x2? ，令x0=1 000，Δx=-2，由f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx得

3 998 ≈ 3 1 000 + 1 3 3 1 0002? ×（-2）=10- 2 300 = 1 499 150 ≈9.993 3，

|Δx|=2遠小于1 000.

（二）邊際成本

設C=C（x）為總成本函數，對產量x的一階導數C′（x）稱為邊際成本函數.根據成本函數的定義，總成本函數C=C（x）在產量x0水平上對產量x的一階導數C′（x0）稱為在產量x0水平上的邊際成本值.

根據微分的概念，當產量x0水平上有了該變量Δx時，總成本函數改變量

ΔC≈dC|x=x0=C′（x0）Δx（|Δx|很小）.

特別地，若取Δx=1，則有ΔC≈C′（x0）Δx.

說明在產量x0水平上的邊際成本值可以近似表示在產量x0水平上增加一個單位產量所需要增添的成本.這里|Δx|很小應理解為相對于產量x0很小，或者說x0遠遠大于1.

而問題中Δx=x0=1，此時產生的誤差較大.

例2? [4] 生產某產品x件時的成本函數為

C（x）=0.001x3-0.3x2+200x+1000，

求生產100件產品時的邊際成本.

解 ?邊際成本函數為

C′（x）=0.003x2-0.6x+200，

所以生產100件產品時的邊際成本為

C′（100）=0.003×（100）2-0.6×100+200=170.

也就是說，在生產第101件產品時所花費的成本為170.

而C（101）-C（100）=19 170.001-19 000=170.001.

此時|Δx|=1很小，是相對于x0=100很小.

三、問題解決

數學中遠小于符號“”，表示一個數遠小于另一個數，如1100.1901年，數學家龐加萊與波萊爾首先使用了這個符號，很快被數學界所接受，并沿用至今.

ab讀作a遠小于b.如果 |b±a| b ≈1，則表示ab，因此，誤差由具體需求來決定.比如，物理上實驗誤差一般要求小于0.1 % ，所以當a<0.1 % b時，可以認為ab.但是很多情況下，至少要求a和b不在一個數量級上，得到的近似值在要求的誤差范圍內即可.

高等數學主要研究變量變化過程，充滿著哲學辯證法.不僅研究絕對改變量，更要考慮改變量的相對量，以及邊際量.深刻理解各種量之間的聯(lián)系，靈活運用，才可以做到融會貫通.

【參考文獻】

[1]羅國湘.經濟數學基礎[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]王剛.高等數學[M].上海：復旦大學出版社，2017.

[3]張建軍.高等數學[M].鄭州：黃河水利出版社，2013.

[4]李以渝.高等數學[M].北京：北京理工大學出版社，2013.