引導(dǎo)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)實驗過程

李新

小學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)為中心”的課堂， 以學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展為中心目標(biāo)、以學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織為中心內(nèi)容、以引導(dǎo)并促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體性的發(fā)揮為中心方法， 有效推進了小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改革與發(fā)展。數(shù)學(xué)實驗是讓小學(xué)生借助于一定的物質(zhì)儀器或技術(shù)手段， 在數(shù)學(xué)思想和教學(xué)理論的指導(dǎo)下， 通過對實驗素材進行數(shù)學(xué)化的操作來學(xué) （理解） 數(shù)學(xué)、用 （解釋） 數(shù)學(xué)或做 （建構(gòu)）數(shù)學(xué)的一類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。因此， 引導(dǎo)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)實驗過程， 是小學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)為中心”課堂的重要實踐路徑。

一、參與數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計過程

開展數(shù)學(xué)實驗， 首先要進行實驗的設(shè)計。數(shù)學(xué)實驗設(shè)計， 通常由教師進行， 但是， “學(xué)為中心”的課堂， 主張并積極引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計過程， 使學(xué)生對于為什么要實驗、怎樣做實驗、實驗需要哪些材料等問題進行主動思考。

（一） 提出問題

問題是學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、參與數(shù)學(xué)實驗、進行數(shù)學(xué)思維的起點。學(xué)習(xí)動機理論認(rèn)為， 促使學(xué)生想要學(xué)習(xí)并愿意努力學(xué)習(xí)的因素是多方面的， 通常要涉及興趣、需要、驅(qū)力、誘因等要素。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中， 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題， 能誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要并維持學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力， 使思維始終處于積極狀態(tài)。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)實驗的問題， 可以采用觀察法， 比如， 讓學(xué)生觀察直徑大小不同的自行車輪滾動路程的遠(yuǎn)近不同， 提出“圓的周長可能與直徑相關(guān)”的問題， 并以此起點進行實驗探索；還可以采用類比法， 比如， 學(xué)生因2、5的倍數(shù)的特征， 想到“個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”——當(dāng)然這個想法是錯誤的——引出“3的倍數(shù)的特征究竟應(yīng)該看什么”的問題， 進而開始“計數(shù)器撥珠表示3的倍數(shù)”的數(shù)學(xué)實驗。

以“學(xué)為中心”的課堂， 更加注重引導(dǎo)學(xué)生透過數(shù)學(xué)的現(xiàn)象， 提出有效的問題， 通過數(shù)學(xué)實驗來探索現(xiàn)象背后的道理， 感悟其中的原理。比如， 蘇教版五年級下冊探索規(guī)律《和與積的奇偶性》， 教師引導(dǎo)學(xué)生通過寫算式、比較、歸納， 初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律“兩個偶數(shù)相加和是偶數(shù)、兩個奇數(shù)相加和也是偶數(shù)；一個奇數(shù)和一個偶數(shù)相加， 和是奇數(shù)”后， 啟發(fā)學(xué)生討論， 提出“為什么會有這樣的規(guī)律”的問題， 進而教師讓學(xué)生用方格代表數(shù) （如圖一） ， 擺加法算式及其結(jié)果。在“擺”的過程中， 學(xué)生領(lǐng)悟到：奇數(shù)比2的倍數(shù)多1或少1， 一個奇數(shù)與一個偶數(shù)相加， 這個多1或少1沒有辦法“消掉”， 所以和還是奇數(shù)。這一道理的“悟得”， 也為接下來繼續(xù)探索并理解“和的奇偶性， 取決于加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)”這一規(guī)律做了準(zhǔn)備。

（二） 做出假設(shè)

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實驗不同于科學(xué)實驗， 但可以借用科學(xué)實驗的思路引導(dǎo)學(xué)生參與實驗過程， 其中就包括引導(dǎo)學(xué)生在實驗之前做出假設(shè)。在數(shù)學(xué)實驗之前做出假設(shè)， 能促進學(xué)生更深入地思考數(shù)學(xué)實驗的目的、特點， 通過運用發(fā)散性思維對實驗的結(jié)果進行預(yù)測， 更周到地思考實驗過程中可能運用的操作方法、思維方法、表達方法等， 提高實驗方案的合理性、可行性。數(shù)學(xué)實驗前的假設(shè)， 與學(xué)生對相關(guān)知識、經(jīng)驗的積累與激活程度有關(guān)， 比如， 教學(xué)《平行四邊的面積》， 課的開始， 教師讓學(xué)生嘗試用實驗的方法 （如數(shù)方格、測量、剪拼轉(zhuǎn)化等） 求得一張平行四邊形紙片的面積， 不同的學(xué)生就有不同的“假設(shè)”：有的學(xué)生認(rèn)為， 平行四邊形的面積和長方形一樣， 用鄰邊長度相乘；有的學(xué)生認(rèn)為直接用面積量具 （一種印有1cm×1cm正方形網(wǎng)格的透明塑料片） 蒙在上面數(shù)一數(shù)；有的學(xué)生認(rèn)為， 可以將這個平行四邊形沿著高剪開， 分成三角形和梯形， 再拼成長方形， 求得面積。經(jīng)過交流討論， 學(xué)生們認(rèn)識到第三種方法， 也就是“平行四邊形能轉(zhuǎn)化成長方形”這一假設(shè)對于解決平行四邊形的面積計算問題可能有普遍意義， 在教師的指導(dǎo)下， 開始設(shè)計并做起了新的數(shù)學(xué)實驗。

（三） 設(shè)計方案

小學(xué)數(shù)學(xué)實驗的方案， 包括實驗的名稱、目的、材料、過程、記錄與討論等內(nèi)容?！皩W(xué)為中心”的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂， 主張引導(dǎo)學(xué)生參與設(shè)計數(shù)學(xué)實驗的方案， 重點是讓學(xué)生參與討論設(shè)計實驗的過程，即“怎樣做實驗”。教學(xué)實踐表明， 如果“怎樣做實驗”是學(xué)生參與討論得到的， 那么在實驗過程中， 學(xué)生表現(xiàn)更投入， 能更細(xì)致地觀察實驗現(xiàn)象并展開思考， 遇到困難更愿意自己想辦法克服。通常， 教師通過提供有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)實驗材料， 啟發(fā)學(xué)生根據(jù)要解決的問題、教師提供的材料， 主動思考實驗過程。比如， 五年級教學(xué)《解決問題的策略——列舉》時， 教師在學(xué)生明確了問題 （用22根1米長的木條圍長方形， 怎樣圍面積最大） 后讓學(xué)生討論“想怎樣解決這個問題”， 并相機向?qū)W生展示了一捆22根同樣長的小棒、方格紙、表格等材料， 學(xué)生們紛紛領(lǐng)悟到每種材料的使用方法， 明確了實驗過程并開始實驗。

奧蘇伯爾認(rèn)為， 學(xué)生面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時， 如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少同化新知識的適當(dāng)?shù)纳衔挥^念， 或原有觀念不夠清晰或鞏固， 則有必要設(shè)計一個先于學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)之前呈現(xiàn)的一個引導(dǎo)性材料， 構(gòu)建一個使新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁， 這種引導(dǎo)性材料被稱為先行組織者。教師引導(dǎo)學(xué)生參與實驗設(shè)計， 也可以安排先行組織者。比如教學(xué)《圓的面積》時， 教師先讓學(xué)生回憶以往探索平面圖形的面積計算公式方法、過程， 學(xué)生發(fā)現(xiàn)以前很多是采用“轉(zhuǎn)化”的策略， 由此想到， 圓能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)得出面積計算公式的圖形， 比如長方形、平行四邊形、三角形或梯形。之后， 學(xué)生進行小組討論， 設(shè)想相應(yīng)的實驗過程， 再全班討論， 逐步形成比較清晰完整的實驗方案。

二、浸入數(shù)學(xué)實驗的進行過程

學(xué)生進行數(shù)學(xué)實驗， 應(yīng)做到全身心充分投入， 以觀察操作啟迪數(shù)學(xué)思考， 以思維分析引導(dǎo)實驗過程， 才能真正站立在課堂的“中心”位置。

（一） 以深度感知為基礎(chǔ)

觀察、操作是小學(xué)生做數(shù)學(xué)實驗的基本方法， 兩者都與感知直接相關(guān)。這也符合小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律， 正像蘇霍姆林斯基所說， “兒童的智慧在他的手指尖上”?！皩W(xué)為中心”的課堂強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的感知活動要充分、深入， 即既要充分調(diào)動感知覺器官， 全面收集信息， 又要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)， 深度把握實驗材料、現(xiàn)象所體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)規(guī)律或本質(zhì)。比如， 三年級教學(xué)《長方形和正方形的認(rèn)識》時， 學(xué)生用長方形、正方形的紙， 通過數(shù)一數(shù)、量一量、比一比、折一折等方法， 研究長方形、正方形邊和角的特征。這一實驗過程中， 學(xué)生的視覺、觸覺協(xié)同作用， 思維同步跟進， 不僅獲得了長方形和正方形的特征， 還在實驗過程中創(chuàng)造了“通過對折得到正方形四條邊都相等”的不同實驗方法：一種方法是先將正方形紙上下對折， 上下兩條邊重合， 再左右對折， 左右兩條邊重合， 最后沿對角線對折， 鄰邊重合， 由此推理得到正方形四條邊相等；另一種方法是將正方形紙沿對角線對折， 得到重合的等腰直角三角形， 再將這重合的等腰直角三角形對折， 使正方形紙四條邊重合。這兩種方法， 是學(xué)生在充分經(jīng)歷了長方形和正方形特征的實驗探索過程后， 通過討論、相互啟發(fā)得到的， 其作用遠(yuǎn)不止獲得“正方形四條邊都相等”這一結(jié)論， 還包括培養(yǎng)與發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力、直感能力、創(chuàng)造能力， 這些都是“學(xué)為中心”課堂的應(yīng)然成效。

（二） 以主動思維為核心

數(shù)學(xué)實驗過程中， 眼、耳、手等的參與是外顯的， 思維的參與是內(nèi)在的， 也是發(fā)揮核心作用的?！皩W(xué)為中心”的課堂， 特別重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與和發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)實驗的課堂教學(xué)中， 主動思維集中體現(xiàn)在實驗過程中所表現(xiàn)出來的優(yōu)良思維品質(zhì)上， 如思維的積極、靈活、敏捷、獨創(chuàng)、批判等等。學(xué)生參與數(shù)學(xué)實驗， 由于有直觀材料的支撐和啟發(fā)， 有身體感知器官的信息接收與主動操作， 思維的主動性能得到有效加強， 也更容易提出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)， 感悟數(shù)學(xué)規(guī)則， 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如， 一年級學(xué)習(xí)“十幾減9”時， 學(xué)生面對問題“大猴有13個桃， 小猴買走9個后， 還剩多少個”問題時， 運用數(shù)學(xué)實驗的方法探索計算方法：學(xué)生用圓片代替桃子， 在畫有2×5格的方格紙每格擺1個桃， 擺滿10個， 再在外面擺3個， 在這些直觀材料的啟發(fā)下， 他們各自獨立思考， 有的想到“先拿走外面的3個， 再從10個里拿走6個”， 即“13-3=10， 10-6=4”；有的想到“從10個里拿走9個， 剩下的1個和外面的3個合起來”， 即“10-9=1， 1+9=10”；有的學(xué)生換一種操作方法， 將13個桃子分成兩堆， 一堆9個， 另一堆4個， 想到“因為‘9+4=13， 所有‘13-9=4”。這樣的實驗過程， 操作并不復(fù)雜， 但思維過程極其重要， 算理、算法都是學(xué)生通過主動思維得到感悟和理解， 不同算法的比較、優(yōu)化也顯得順其自然。

（三） 以交流反思為保障

通過合作交流， 學(xué)生反思實驗過程， 獲得基本的活動經(jīng)驗。比如四年級教學(xué)《觀察物體》， 學(xué)生分組觀察投票箱的前面、右面和上面， 思考分別看到什么形狀， 之后交流。有學(xué)生說：“觀察投票箱的前面時， 要站在投票箱的前面， 正對這個面觀察， 再走到投票箱的右面， 正對這個面觀察， 最后回到投票箱的前面， 從高處俯視投票箱的上面?！庇袑W(xué)生說：“觀察哪個面， 就要正對這個面觀察?！庇袑W(xué)生說：“要邊看邊想看到的形狀。”有學(xué)生說：“我現(xiàn)在能閉眼想出三個面的形狀?！边@些關(guān)于觀察物體的經(jīng)驗是如此鮮活， 獨具數(shù)學(xué)意味， 如果只有觀察， 沒有交流， 學(xué)生就不會有這樣豐富的體驗和收獲。

通過合作交流， 學(xué)生提煉實驗體會， 感悟基本的數(shù)學(xué)思想。比如四年級教學(xué)《可能性》時， 學(xué)生分組進行摸球?qū)嶒灒?每組有一個不透明口袋， 里面放紅、黃球各一個 （兩個球除了顏色不同外， 其他都相同） ， 每人每次從口袋中任意摸一個， 摸出后放回， 并記錄摸到球的顏色。教師組織學(xué)生展示本組的記錄表并交流實驗體會， 有學(xué)生說：“我們組摸了20次， 有9次摸到黃球、11次摸到紅球， 兩種球都有可能被摸到?！庇械膶W(xué)生說：“展示的5張表格， 各組的第一次摸球， 有的摸到紅球， 有的摸到黃球， 也說明兩種球都有可能被摸到?！庇械膶W(xué)生說：“我們組最后連續(xù)3次摸到黃球， 如果再摸一次， 可能摸到紅球也可能摸到黃球?！边@些體會， 通過交流， 逐漸升華成對隨機思想的初步感悟。

總之， 隨著數(shù)學(xué)課程改革的推進， 廣大數(shù)學(xué)教師富有創(chuàng)新精神的教學(xué)探索不斷豐富著“學(xué)為中心”的課堂實踐， 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)也越來越受到重視。教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情， 激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維， 充分保障學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位， 使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到有效培養(yǎng)， 使“學(xué)為中心”的課堂理念得到真正落實。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)鱸鄉(xiāng)實驗小學(xué)）