Bloch型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

侯曉陽，許 毅，陳 偉

(1.溫州商學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江溫州 325035；2.溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

1 有關(guān)定理及推論

若n=0，則就是加權(quán)復(fù)合算子，如果再有u(z)≡1，則為復(fù)合算子Cφ.

Madigan K和Matheson A在文[2]中研究了Bloch空間和小Bloch空間上復(fù)合算子Cφ的有界性和緊性問題；LouZ[3]研究了不同權(quán)Bloch型空間之間的復(fù)合算子Cφ，對于H∞空間上的加權(quán)復(fù)合算子uCφ的有關(guān)結(jié)論，可見文[4-8]及相應(yīng)文獻；Stevic[9-10]和劉永民等[11]等研究了混合范數(shù)空間和Bloch空間，以及Hardy空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性問題.文獻[12]研究了單位圓盤上從BMOA空間到Bloch型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性，得到：

當(dāng)α=1時，即為上述定理A，定理B；當(dāng)n=1，時，則算子，可得文[13]主要結(jié)論：

定理的證明主要采用待定系數(shù)法確定檢驗函數(shù)，本文出現(xiàn)的字母C表示與變量z,w等無關(guān)的常數(shù)，為方便起見，不同的地方可以表示不同的常數(shù).

2 引 理

引理1 對任意正整數(shù)n，f∈Bα，存在常數(shù)C(只與權(quán)值α有關(guān))，使得

引理1可見文[14]定理5的證明過程，下面的緊性判斷引理見文[15]定理3.11，取X=Bα，Y=Bβ，類似證明可得.

3 定理的證明

定理1的證明：充分性.若條件(1)(2)成立，結(jié)合引理1，可得：

綜合(8)和(9)可知(1)式成立.

定理2的證明：充分性.對Bα中的任意有界序列，有fk在D的緊子集上一致收斂于0，由引理2，只需證明.以下不妨設(shè)

由條件(3)和(4)，?ε＞0，當(dāng)時，有：

結(jié)合(10)和(11)式，以及引理1，可得：

當(dāng)|z|≤r＜1時，有：

即fk(z)在D的緊子集上一致收斂于0.故由引理2，結(jié)合式(14)式得到：

[1] Zhu X L. Products of differentiation, composition and multiplication from Bergman type spaces to Bers type spaces[J]. Integr Transf Spec F, 2007, 18(3/4):223-231.

[2] Madigan K, Matheson A. Compact composition operators on the Bloch space [J]. Trans Amer Math Soc, 1995, 347:2679-2687.

[3] Lou Z. Composition operators on Bloch type spaces [J]. Analysis, 2003, 1(1):81-95.

[4] Shi J H, Luo L. Composition operators on the Bloch space of several complex variables [J]. Acta Math Sin, 2000, 16:85-98.

[5] Ohno S, Zhao R H. Weighted composition operators on the Bloch space [J]. Bull Austral Math Soc, 2001, 63:177-185.

[6] Ohno S. Weighted composition operators betweenH∞and the Bloch space [J]. Taiwanese J Math , 2006, 5(3):555-563.

[7] Colonna F. Weighted composition operators betweenH∞and BMOA [J]. Bull Korean Math Soc, 2013, 50(1):185-200.

[8] 劉超，侯曉陽.Besov空間到Zygmund空間上的加權(quán)復(fù)合算子[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2016，32(2)：197-205.

[9] Stevic S. Weighted differentiation composition operators from mixed-norm spaces to weighted-type spaces [J]. App Math Comput, 2009, 211(1):222-233.

[10] Stevic S. Weighted differentiation composition operators fromH∞and Bloch spaces to nth weighted-type spaces on the unit disk [J]. App Math Comput, 2010, 216(2):3634-3641.

[11] 劉永民，于燕燕.從Hardy空間到Zygmund-型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子[J].數(shù)學(xué)年刊A輯，2014，35(4)：399-412.

[12] Liu J, Lou Z, Sharama A. Weighted differentiation composition operators to Bloch-type spaces [J]. Abstr Appl Anal,2013(1):233-255.

[13] Li S, Stevic S. Composition followed by differentiation between Bloch-type spaces [J]. J Comput Anal Appl, 2007,9(2):195-206.

[14] Zhu K. Bloch type spaces of analytic functions [J]. Rock Mou J Math, 1993, 23(3):1143-1177.

[15] Cowen C, Maccluer B. Composition operators on spaces of analytic functions [M]. Florida:CRC Press, 1995:128-129.