分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及DSP實(shí)現(xiàn)

雷騰飛，王艷玲，蘇 敏，陳曉霞

(1.齊魯理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250200；2.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300401)

分?jǐn)?shù)階微分方程在許多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域能準(zhǔn)確地描述自然現(xiàn)象，如材料記憶、電力分形網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器人與機(jī)械阻尼特性等[1].近年來(lái)，隨著混沌動(dòng)力學(xué)理論研究的深入與完善[2]，從而使得分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的探討與研究已成為新的研究領(lǐng)域[2].在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)研究領(lǐng)域中，主要以經(jīng)典的混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，重新引入分?jǐn)?shù)階微積分算子，即提出了許多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[3-16]，文獻(xiàn)[3-9]所提出的混沌系統(tǒng)均是可稱為類分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)，有一類Qi系統(tǒng)因含有三個(gè)非線性項(xiàng)，故系統(tǒng)混沌更為復(fù)雜[17].迄今為止，許多科學(xué)工作者在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制方面成果頗豐，但闡述分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析相關(guān)文獻(xiàn)較少[10-16].研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的前提為分?jǐn)?shù)階的定義，由于分?jǐn)?shù)階微積分的定義眾多[10]，使得許多研究結(jié)果存在一定區(qū)別[11].其中，對(duì)于分?jǐn)?shù)階Qi超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，賈紅艷等[13]利用頻率法進(jìn)行了分岔圖與李指數(shù)的繪制與分析.Qi混沌系統(tǒng)因具有三個(gè)非線性項(xiàng)[17]，使得與經(jīng)典的Lonrez系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)與LV系統(tǒng)具有不等價(jià)的拓?fù)?，故?duì)分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的動(dòng)力特性的探究討論尤為重要，而現(xiàn)有文獻(xiàn)運(yùn)用分岔圖、Lapunov指數(shù)分析分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究大部分采用復(fù)頻率分析法[12-14]，所以利用Adomain分析分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)(復(fù)雜度)對(duì)于認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的形成機(jī)理具有重要意義.

本文針對(duì)一類臨界分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)即分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)，首先，對(duì)分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的非線性項(xiàng)進(jìn)行了Adomian分解法，得出了系統(tǒng)的混沌吸引子.其次，為了說(shuō)明系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)變化的特點(diǎn)，同時(shí)研究了0.95階的Qi混沌系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度圖以及分岔空間.最后，利用DSP實(shí)現(xiàn)其分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng).進(jìn)一步說(shuō)明了系統(tǒng)的客觀存在性，為更好應(yīng)用于圖像、文字視頻加密領(lǐng)域提供了參考價(jià)值[18].

1 分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)

根據(jù)經(jīng)典Qi混沌系統(tǒng)則可引入分?jǐn)?shù)階算子，得到分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)為：

對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行非線性項(xiàng)的分解，截取前6項(xiàng)

給定初始狀態(tài)

根據(jù)Adomian分解法和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)得

將相對(duì)應(yīng)的變量賦系數(shù)值，令

根據(jù)Adomian分解法和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)得

從而，得出系統(tǒng)的方程解

其中x,y,z為系統(tǒng)變量，a,b,c為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)，運(yùn)用Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行Adomain分解下的Qi系統(tǒng)數(shù)值仿真，即可得出系統(tǒng)(1)的混沌軌跡圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)軌跡圖Fig 1 Trajectory Diagram of System

2 分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)分岔圖與復(fù)雜度

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的影響，就a,b,c三個(gè)主要參數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階臨界混沌系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度的影響進(jìn)行研究.

2.1 參數(shù)a的變化

改變分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)a，，系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖2所示.由圖2可知系統(tǒng)是以倍周期(PDB)分岔的行為脫離混沌行為，即隨著

圖2 a變化時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖復(fù)雜度Fig 2 The Bifurcation Diagram and Complexity of System (1) in a Change

參數(shù)a逐步減小，呈現(xiàn)倍周期進(jìn)入混沌態(tài).或[31.2,37]屬于混沌狀態(tài)，從分岔圖中可以看出此區(qū)間有許多混亂的點(diǎn)，系統(tǒng)此時(shí)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度相對(duì)較大或(37,40)屬于周期狀態(tài)；從分岔圖中可以看出此區(qū)間點(diǎn)比較稀疏且成線出現(xiàn)，系統(tǒng)此時(shí)的SE復(fù)雜度處于0.3左右，C0復(fù)雜度屬于0.05左右，系統(tǒng)復(fù)雜度相對(duì)較低；系統(tǒng)分岔圖與系統(tǒng)復(fù)雜度基本一致.為進(jìn)步驗(yàn)證以上結(jié)論，給出了參數(shù)a某些具體值下系統(tǒng)的相圖如圖3所，其中(a)圖為周期二，(b)圖為周期四，(c)圖為周期二，(d)圖為周期一.

圖3 a變化時(shí)系統(tǒng)(1)的相圖Fig 3 Phase Diagram of System (1) in a Change

2.2 參數(shù)b的變化

圖4 b變化時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖與復(fù)雜度Fig 4 The Bifurcation Diagram and Complexity of System (1) in b Change

2.3 參數(shù)c的變化

改變參數(shù)c，，系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖5所示.由圖5可知系統(tǒng)是擬周期的過(guò)程進(jìn)入混沌態(tài)的.或[24.5,27]屬于周期狀態(tài)，系統(tǒng)此時(shí)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度較小；剩余的區(qū)域系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的SE復(fù)雜度較大.可以看出系統(tǒng)分岔圖與系統(tǒng)復(fù)雜度基本一致.

圖5 c變化時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖與復(fù)雜度Fig 5 The Bifurcation Diagram and Complexity of System (1) in c Change

3 混沌系統(tǒng)的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)今混沌系統(tǒng)最常見的實(shí)現(xiàn)方法為模擬電路實(shí)現(xiàn)，隨著數(shù)字電子電路和微型處理器快速發(fā)展，運(yùn)用微型處理器(MCU、DSP、FPGA)實(shí)現(xiàn)其混沌系統(tǒng)已成為混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用的熱點(diǎn).為了更好實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)，本文采用TI公司的數(shù)字信號(hào)處理芯片(DSP)TMS320F28335，DSP以強(qiáng)大的信號(hào)處理能力備受工程師的關(guān)注.數(shù)字信號(hào)必須轉(zhuǎn)化為模擬信號(hào)才可在示波器上實(shí)時(shí)顯示，數(shù)字轉(zhuǎn)化為模擬(DAC)轉(zhuǎn)化器采用芯片DAC8552.為方便處理，DSP與PC機(jī)的通訊方式采用普通串口RS232，串口轉(zhuǎn)換芯片采用MAX3232.因TMS320F28335為浮點(diǎn)型且精度高、運(yùn)算快，主頻為150MHz，可解決因算法復(fù)雜而使得處理器運(yùn)行緩慢的問(wèn)題，即可滿足分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)各方面要求.在DSP實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)存在一個(gè)關(guān)鍵性的問(wèn)題——數(shù)據(jù)處理.離散數(shù)據(jù)通過(guò)基本Adomian分解法產(chǎn)生，然后將離散值通過(guò)DMA送給D/A轉(zhuǎn)化，在D/A轉(zhuǎn)換數(shù)字量必須為整，所以某些數(shù)字需要放大后再送達(dá)D/A轉(zhuǎn)換器.一般為了PC機(jī)處理方便，則將混沌序列中的每一位換成ASCII碼即可，具體DSP硬件框架圖如圖6所示.

數(shù)字電路對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)擬合采用Adomian分解法，參看(2)式-(9)式，一般將DSP產(chǎn)生的混沌序列值取小數(shù)點(diǎn)后四位，對(duì)初值后的一段序列采用丟棄法，即取3000-15000之間的序列，示波器觀察吸引子如圖7.

圖6 DSP硬件框架圖Fig6 DSP Hardware Frame Diagram

6 結(jié) 論

本文基于Adomian分解法，研究了一類經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng).從系統(tǒng)吸引子、分岔圖、復(fù)雜度等數(shù)值仿真分析0.95階次Qi混沌系統(tǒng)基本動(dòng)力學(xué)行為.為了驗(yàn)證系統(tǒng)存在性并應(yīng)用到工程項(xiàng)目中，運(yùn)用數(shù)字芯片DSP實(shí)現(xiàn)其分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)，從示波器觀察出結(jié)果與Matlab仿真結(jié)果一致，從而進(jìn)一步說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的存在性與可實(shí)現(xiàn)性，為分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的控制及其在混沌通信保密等方面的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

圖7 示波器觀察的系統(tǒng)吸引子Fig 7 The System Attractor of Oscilloscope Observation

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