初中數(shù)學(xué)問題解決的要素分解策略

【摘要】數(shù)學(xué)問題解決就是將問題分解成基本要素，再根據(jù)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)對應(yīng)的基本模型策略解決問題；幾何問題解決就是將綜合圖形分解成各個(gè)基本圖，不完整的基本圖形補(bǔ)全，就是添輔助線。運(yùn)用要素分解策略，可以解決復(fù)雜問題。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；問題解決；要素分解策略

數(shù)學(xué)問題好比一部機(jī)器，機(jī)器的基本組成部分是零件，數(shù)學(xué)問題的組成部分就是數(shù)學(xué)基本要素。數(shù)學(xué)問題解決就是將問題分解成基本要素，再根據(jù)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)對應(yīng)的基本模型策略解決問題。

一、數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)題的基本結(jié)構(gòu)是條件（初始狀態(tài)）和結(jié)論（目標(biāo)狀態(tài)）。問題的實(shí)質(zhì)就是初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的障礙。一般來說，問題目標(biāo)和限制條件是明確給出的，問題各個(gè)部分的相互關(guān)系是隱含的，可以借助給定的限制條件和目標(biāo)推導(dǎo)出來。問題目標(biāo)起著定向作用，它始終引導(dǎo)思維朝一個(gè)方向推進(jìn)。怎樣從起始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)反復(fù)調(diào)整過程，就是思維不斷轉(zhuǎn)化的過程。例如浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上6.1節(jié)例1：“測得某班20名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)（略），可對數(shù)據(jù)作怎樣的整理？”本例中問題的基本形式為“給定”：生活中的數(shù)據(jù)；“目標(biāo)”：對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理；“障礙”：從哪些方面整理？為了克服障礙，本例設(shè)計(jì)三個(gè)中介問題：數(shù)據(jù)用什么方法得到的？怎樣整理這些數(shù)據(jù)？整理后得出什么結(jié)論？這些中介問題將學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與本題情景建立聯(lián)系，從而找到解決方法。

通常，問題正確解決方法不是直接顯而易見的，必須通過一定的思維活動(dòng)，克服障礙，才能達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。為了克服障礙，需要應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、理論、方法溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。如《九章算術(shù)》中的“圓材埋壁”：“今有圓材，埋壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”題中“給定”：圓，深（垂直）一寸，鋸道長一尺；“目標(biāo)”：徑幾何?？朔系K的思路過程是：由圓中直徑、垂直弦相關(guān)元素聯(lián)想到垂徑定理，由垂徑定理自然聯(lián)想到基本圖形，通常連接半徑，構(gòu)造直角三角形。

二、問題解決的路徑探究

解決問題的思維實(shí)質(zhì)就是克服障礙，尋找已知到結(jié)論的路徑，從已知出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱蔽、待解的結(jié)論，尋找已知條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)的邏輯關(guān)系或轉(zhuǎn)化軌跡，利用問題所包含的信息要素和已儲(chǔ)存的信息要素主動(dòng)構(gòu)建，然后聯(lián)想和搜索跟這些要素（條件信息和目標(biāo)信息）有關(guān)聯(lián)的算子（模型），選擇與相關(guān)要素匹配的算式，使得問題接近目標(biāo)狀態(tài)得到路徑。由一個(gè)步驟推進(jìn)到另一個(gè)步驟時(shí)，其實(shí)就是知識(shí)之間的聯(lián)系與生成，在這個(gè)過程中，我們要激活、檢索、提取和組織已有數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。

例1：某種商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)。已知這時(shí)商品每漲價(jià)一元，其銷售數(shù)就要減少20個(gè)。為了獲得總額50000元，單價(jià)應(yīng)定為多少？

根據(jù)問題的條件信息，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)的有關(guān)知識(shí)，搜索跟單價(jià)、數(shù)量和總數(shù)相關(guān)的問題模型，發(fā)現(xiàn)“已知單價(jià)和數(shù)量，求總數(shù)”的算式：總量=單價(jià)×總數(shù)。于是原問題表述成為：總額50000元=單價(jià)（50+與漲價(jià)有關(guān)）元×總數(shù)（500-與漲價(jià)有關(guān)）個(gè)。這樣，問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化到“漲價(jià)”。

問題解決是一種有目的的復(fù)雜的思維活動(dòng)，包含解決常規(guī)性問題和解決創(chuàng)造性問題。傳統(tǒng)發(fā)展學(xué)生思維能力，通常是通過解決結(jié)構(gòu)良好的問題來實(shí)現(xiàn)的。我國平面幾何課程以培養(yǎng)學(xué)生幾何邏輯思維能力為目的，主要是讓學(xué)生熟練掌握幾何證明“已知-求證/求”的形式。現(xiàn)實(shí)生活中人們所遇到的問題通常和具體情境相聯(lián)系，但往往結(jié)構(gòu)不良（現(xiàn)實(shí)世界里，智力表現(xiàn)是以解決結(jié)構(gòu)不良問題來衡量的），初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)的信息不明確，也沒有明確的解決方法和途徑，沒有明確的已知和確定的目標(biāo)，不知道用哪些概念、規(guī)則和原理來解決問題，需要在各種信息中做出選擇和建立起可能的關(guān)系。解決這類問題是不斷地進(jìn)行探索性推理、創(chuàng)建、驗(yàn)證、表達(dá)和優(yōu)化的過程，也是有效地模擬科學(xué)探究的問題解決推理過程。要重視對傳統(tǒng)課程內(nèi)容和結(jié)構(gòu)良好的證明問題的改造，突出課程內(nèi)容與具體情境的聯(lián)系，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)不良問題情境中開展推理活動(dòng)，走出狹義的“技術(shù)演練”。

以下是結(jié)構(gòu)不良問題的路徑探索過程案例：

例2：市政府規(guī)劃在兩年后實(shí)現(xiàn)市財(cái)政凈收入翻一番，那么這兩年中財(cái)政凈收入應(yīng)爭取多少平均年增長率才有可能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)？

初看問題信息中沒有明確的條件和結(jié)論，問題中沒有一點(diǎn)數(shù)學(xué)的標(biāo)志，需要在信息中找出關(guān)鍵要素和建立起可能的關(guān)系.“兩年后、實(shí)現(xiàn)、市財(cái)政凈收入、翻一番、多少平均年增長率”，這里“兩年后的收入”是一個(gè)要素，用增長率的二次表示；“多少平均年增長率”是要求的，設(shè)成未知數(shù)；“實(shí)現(xiàn)”就是要建立等量關(guān)系；而“市財(cái)政凈收入”原來是不知道的，所以還要設(shè)元，用來表示；而“翻一番”應(yīng)該是一個(gè)結(jié)果狀態(tài)，是2倍的意思。根據(jù)方程的基本模型：當(dāng)前收入“過兩年后的收入”=當(dāng)前收入“翻一番”，那么過兩年后的收入表示出來就是，翻一番表示出來，這樣就建立關(guān)系式：。

例3：已知方程無解，求證：。

證明：

。

分析：如圖1。

評析：這個(gè)問題中，條件與結(jié)論沒有直接的關(guān)系，甚至不知道用哪些概念、規(guī)則來建立聯(lián)系，需要對知識(shí)要素“”進(jìn)行分解、剖析和聯(lián)想，探索建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，因此這個(gè)問題是一

個(gè)路徑復(fù)雜綜合性強(qiáng)的問題。

學(xué)生要學(xué)會(huì)問題解決的路徑探究：在模仿基礎(chǔ)上進(jìn)行變式練習(xí)；在主動(dòng)實(shí)踐過程中，自發(fā)領(lǐng)悟（解題知識(shí)與方法的內(nèi)化和系統(tǒng)化過程）；嘗試自覺分析解決問題。經(jīng)歷后面兩步，學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生改變，獲得能力的增長。數(shù)學(xué)題本身的思維挑戰(zhàn)性以及學(xué)生從中產(chǎn)生的成就感和樂趣促動(dòng)學(xué)生去嘗試以上步驟。

三、綜合問題解決

數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜、隱蔽的綜合問題，涉及多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)圖式和多方面數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，靈活性與綜合性強(qiáng)。針對這樣的問題，首先要明確：它涉及什么內(nèi)容？根據(jù)題中所提供的要素，可以分析問題所涉及的內(nèi)容：是幾何問題還是代數(shù)問題；幾何問題的話是圓還是三角形的內(nèi)容；三角形的話是直角三角形還是等腰三角形方面的知識(shí)要素；直角三角形的話是關(guān)于勾股定理的知識(shí)要素還是關(guān)于斜中線的知識(shí)要素。這個(gè)勾股定理或者斜中線是數(shù)學(xué)中的基本要素，它對應(yīng)基本模型。解決綜合問題最終通過分解轉(zhuǎn)化為基本要素（基本模型）來解決.endprint

例4：已知矩形長為，寬為，邊上有一點(diǎn)，，求：滿足什么條件時(shí)：（1）存在1個(gè)點(diǎn)；（2）存在2個(gè)點(diǎn)；（3）不存在點(diǎn)。

評析：問題條件中矩形、直角三角形的基本要素是勾股定理（或者三垂形相似），到此還沒有與結(jié)論目標(biāo)聯(lián)系，目標(biāo)是要根據(jù)關(guān)系得到點(diǎn)的個(gè)數(shù)。“存在1個(gè)點(diǎn)；存在2個(gè)點(diǎn)；不存在點(diǎn)”這個(gè)知識(shí)要素是根的判別式的特征要素（也是圓與直線位置關(guān)系的特征要素，所以本題也可以用圓半徑與距離的關(guān)系求解），而要有判別式則需要有一元二次方程，而方程則需要設(shè)未知數(shù)和找等量關(guān)系，于是根據(jù)勾股定理（相似）得到關(guān)系式，這樣問題目標(biāo)與結(jié)論才能聯(lián)通。設(shè)，由，得到方程，化簡得，。根據(jù)判斷的情況。

四、添輔助線就是將基本圖補(bǔ)全

幾何綜合問題的圖好比一個(gè)復(fù)雜的機(jī)器，它是由基本零件組成，這個(gè)基本零件就相當(dāng)于基本圖對應(yīng)基本圖的特征要素，發(fā)現(xiàn)基本圖的要素不完整，把它添補(bǔ)完整，這就是添輔助線。所以解決問題的時(shí)候要把機(jī)器的零件拆下來修補(bǔ)，即找出初始條件要素指向的基本圖，補(bǔ)上輔助線，使基本圖完整。

例5：已知，如圖2，是半圓的直徑，與半圓相切于，，，垂足分別為、、。求證：。

基本圖形（一） 基本圖形（二） 基本圖形（三） 基本圖形（四）

分析：由于是半圓的直徑，所以就有半圓上圓周角的基本圖形的性質(zhì)。現(xiàn)在圖形中有半圓上的點(diǎn)而沒有圓周角，所以應(yīng)將圓周角添完整。連接、，得到，得到基本圖形（一）。本題要證明的結(jié)論，且已知，所以、這兩條相等的線段就成為點(diǎn)到兩邊的距離，而點(diǎn)到兩邊距離相等，就說明點(diǎn)在的平分線上，得到基本圖形（二）。因此就可應(yīng)用軸對稱型的全等三角形性質(zhì)進(jìn)行證明，證明△和△全等，由，，根據(jù)全等的要素，還應(yīng)證明一個(gè)條件。已知與半圓相切于，為半圓內(nèi)接弦，根據(jù)弦切角的要素，得到基本圖（三），可得。這樣，要證明這兩個(gè)三角形全等就只要證。由于和，所以應(yīng)用直角三角形斜邊上的高，如基本圖形（四），就可以得到，從而證明，同理證明。

圖2中，根據(jù)要素的有關(guān)性質(zhì)將綜合圖形分解為四個(gè)基本圖形（基本圖形不完整的，添線變成完整的基本圖形），再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)得到證明。

【參考文獻(xiàn)】

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