對(duì)一道拋物線聯(lián)賽題的探究與拓展*

北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉剛 趙毅

題目(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(B卷)11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1∶y2=4x,曲線C2∶(x?4)2+y2=8.經(jīng)過C1上一點(diǎn)P作一條傾斜角為45°的直線l,與C2交于兩個(gè)不同的點(diǎn)Q,R,求|PQ|·|PR|的取值范圍.

試題以拋物線、圓為背景,考查了拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、距離乘積的范圍以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,檢驗(yàn)了運(yùn)算與求解、分析問題與解決問題的能力.試題平中見奇,解法多樣,符合新課標(biāo)理念,是一道不折不扣的好題.

1.解法探究

解法1 設(shè)Q(x1,y1),R(x2,y2),P(m2,2m),由直線l的傾斜角為45°,得直線l的方程為y?2m=x?m2,即y=x+2m?m2.代入曲線C2的方程(x?4)2+y2=8,即(x?4)2+(x+2m?m2)2=8,整理,得2x2?2(m2?2m+4)x+(m2?2m)2+8=0,所以

因?yàn)橹本€l與C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以

由直線l的傾斜角為45°,得

由②,得0＜m2＜4_或4＜m2＜16,所以(m2?2)2∈[0,4)∪(4,196),故(m2?2)2+4∈[4,8)∪(8,200),即|PQ|·|PR|的取值范圍是[4,8)∪(8,200).

解法2 設(shè)P(m2,2m),由直線l的傾斜角為45°,得l的方程為y?2m=x?m2,即

因?yàn)榍€C2∶(x?4)2+y2=8,所以C2是以(4,0)為圓心,半徑的圓.因?yàn)閘與C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以

設(shè)C2的圓心為M,由圓冪定理,得|PQ|·|PR|=|PM|2?r2=(m2?4)2+(2m)2?8=(m2?2)2+4.以下同解法1.

該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,設(shè)為t1,t2,則t1t2=m4?4m2+8.由t的幾何意義,得

以上用了3種方法對(duì)試題進(jìn)行求解.解法1先根據(jù)直線l與曲線C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn),借助判別式求出參數(shù)m的范圍,然后利用弦長(zhǎng)公式表示出|PQ|·|PR|再進(jìn)一步求解;解法2先挖掘圖形特征,把直線l與曲線C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于半徑,從而求出參數(shù)m的范圍,然后借助圓冪定理及勾股定理表示出|PQ|·|PR|再進(jìn)一步求解;解法3利用直線的參數(shù)方程進(jìn)行求解.解法1是通解通法,但運(yùn)算量較大;解法2充分利用圓的幾何性質(zhì),大大減少運(yùn)算量,但有一定的局限性;解法3根據(jù)所求代數(shù)式特點(diǎn)“一條直線上同一點(diǎn)出發(fā)的兩條線段之積”聯(lián)想直線的參數(shù)方程,使解題更有針對(duì)性,并且這種方法具有普適性特點(diǎn).利用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)線段長(zhǎng)度問題時(shí),往往能起到事半功倍的效果,下面舉例說明,供大家參考.

2.拓展

例1(2017年內(nèi)蒙古自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作弦BC,若BC的中垂線交BC于M,交x軸于N,求證:|MN|2=|FC|·|FB|.

例2(2016年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知橢圓C∶,經(jīng)過點(diǎn),離心率為.過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn),記PA,PB的斜率為k1,k2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若k1+k2=0,求實(shí)數(shù)k的值.

例3(2016年高考四川理科第20題)已知橢圓E∶的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn),直線l∶y=?x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得,并求λ的值.

解(1)橢圓E的方程為,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)(過程從略).

(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l∶y=?x+3上,所以設(shè)P(x0,3?x0).因?yàn)門(2,1),所以,所以直線l′的參數(shù)方程為

例4(2016年湖南高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖1,已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為,直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F,B在直線x=4的射影依次為D,K,E.

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)連接AE,BD,試探求當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明;否則,說明理由.

所以|FN|·|AB|=|FA|·|BE|,即點(diǎn)在直線AE上.同理,可得點(diǎn)也在直線BD上.所以,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線AE與BD相交于定點(diǎn).

在解決解析幾何問題時(shí),一定要認(rèn)真分析題目特點(diǎn),不盲目套用某種方法,要具體問題具體分析,及時(shí)調(diào)整解題策略,這樣才能避免題海戰(zhàn),真正提高復(fù)習(xí)效率.