恒過定點問題的再探索

陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075) 呂二動

陜西省西安市西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(710127) 耿 妍

北師大版《步步高大一輪復(fù)習(xí)講義》第357頁第15題是關(guān)于從圓上兩頂點出發(fā)的動直線與恒過定點問題,本文從此問題出發(fā)進行進一步推廣,得到圓錐曲線恒過定點問題的一些普適結(jié)論.

問題1如圖1,已知圓O的直徑|AB|=4,定直線l到圓心的距離為4,且直線l垂直于直線AB.點P是圓O上異于A,B的任意一點,直線PA,PB分別交l于M,N兩點.

圖1

(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;

(2)當(dāng)點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點.

筆者對此題作出大膽的猜想,能否將此題中的圓改為橢圓,結(jié)論還能過定點嗎?答案是肯定的.

一、試題變式

變式1如圖2,已知橢圓的左右頂點為A(?5,0),B(5,0),點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點.

圖2

做完此題,筆者對此題作了一般性結(jié)論的推廣.

結(jié)論1 已知橢圓的左右頂點為A(?a,0),B(a,0),點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右(左)焦點.

若將橢圓改為雙曲線是否有相同的結(jié)論呢?答案是肯定的.

變式2 如圖3,已知雙曲線的左右頂點為A(?4,0),B(4,0),點P是雙曲線上異于A,B的任意一點,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過雙曲線內(nèi)的右焦點.

圖3

結(jié)論2已知雙曲線的左右頂點為A(?a,0),B(a,0),點P是雙曲線上異于A,B的任意一點,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右(左)焦點.

對于以上的結(jié)論筆者考慮要是拋物線也有,那將是圓錐曲線的普適結(jié)論,但拋物線只有一個頂點,所以筆者對條件進行修改,便有下面問題.

變式3 如圖4,已知拋物線y2=4x,點A是雙曲線上異于原點O(0,0)的任意一點,直線l:x=?1,過點A向y軸做垂線,與直線l交于點M,直線AO與直線l交于點N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點.

圖4

結(jié)論3 已知拋物線y2=2px,點A是雙曲線上異于原點O(0,0)的任意一點,直線,過點A向y軸做垂線,與直線l交于點M,直線AO與直線l交于點N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點.

統(tǒng)一結(jié)論圓錐曲線上過異于頂點的點與兩頂點組成的兩條直線與圓錐曲線的準(zhǔn)線相交于兩點,以這兩點組成的線段為直徑的圓恒過焦點.特別的當(dāng)圓錐曲線為只有一個頂點的拋物線時,其中一條直線為過曲線與準(zhǔn)線垂直的直線.

二、試題拓展

拓展1若A點為橢圓上任意一點,B為A點關(guān)于原點的對稱點,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,則以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點.

拓展2若A點為x軸上橢圓上任意一點,B為A點關(guān)于原點的對稱點,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,F為橢圓的右焦點,PF與橢圓交于點Q,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,則.

拓展3若A點為x軸上橢圓上任意一點,B為A點關(guān)于原點的對稱點,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線l:x=x0(|x0|＞a),直線PA,PB分別交l于點M,N,則以MN為直徑的圓經(jīng)過點.

拓展4若A點為橢圓的左頂點,B為橢圓的右頂點,F為橢圓的右焦點,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,PF與橢圓交于點Q,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,MN的中點記為G,MN與x軸的交點為A1,M1N1為MN在右(左)準(zhǔn)線上的投影,則有以下結(jié)論:

(2)A、N、Q三點共線.

(3)MF平分∠PFB,FA1平分∠PA1Q.

(4)MA1//GN1.

拓展5若A點為x軸上橢圓上任意一點,B為A點關(guān)于原點的對稱點,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,F的坐標(biāo)為(m,0)(|m|＜a),PF與橢圓交于點Q,直線,直線PA,PB分別交l于點M,N,則.

以上結(jié)論對雙曲線都成立,部分結(jié)論對拋物線也成立,這些及上面拓展的證明留給有興趣的讀者去思考,這些結(jié)論僅僅圓錐曲線的一部分,圓錐曲線中蘊含著復(fù)雜多變的關(guān)系,其研究空間很大,收獲頗多,其樂無窮!

數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量的關(guān)系,數(shù)學(xué)的本質(zhì)是“智慧”,是“人的思維”,數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程的引導(dǎo)、啟發(fā),因此,做數(shù)學(xué)題要從根本出抓起,通過研究問題的變式,優(yōu)化解題的方法,拓展問題應(yīng)用,揭示問題的背景等方式,跳出無邊無際的“書山題?！?通過對解題過程之反思,留住知識之根、方法之根,價值之根和本質(zhì)之根,只有從根處澆灌知識之營養(yǎng),數(shù)學(xué)之花,才能燦爛綻放.