三次函數(shù)恒成立問題的解法生成與難點(diǎn)突破—以2014年遼寧高考第11題為例

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)(010020) 張 生 蘇 猛

恒成立問題是高考的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).常以函數(shù)或方程為知識(shí)背景,考察學(xué)生對數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程以及劃歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用能力.本文,以兩道三次函數(shù)恒成立問題為例,對學(xué)生常見解題思路給出不同解法及難點(diǎn)突破.

1.問題展示

題目1當(dāng)x∈[?2,1]時(shí),不等式ax3?x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

以上是2014高考中,遼寧理科試卷的第11題,考察三次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問題,形式與2008高考江蘇理科試卷中的第14如出一轍,題目如下:

題目2設(shè)函數(shù)f(x)=ax3?3x+1(x∈R),若對于任意x∈[?1,1],都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a=____.

答案a=4.

雖然問題很常規(guī),但對學(xué)生來講,仍然不易得分.為了調(diào)研學(xué)生對此類問題的困惑所在,筆者用一節(jié)課的時(shí)間與學(xué)生共同探究問題1,經(jīng)過討論后,歸納生成4種方法:特值代入法,分離參數(shù)法,構(gòu)造三次函數(shù)法,數(shù)形結(jié)合法.由此可見,理論上解決問題的方法并不單一,但在具體解題中,運(yùn)用特值代入法解題的學(xué)生易誤選B答案,究其原因是只代入了區(qū)間端點(diǎn)值;運(yùn)用分離參數(shù)法的學(xué)生能將正確答案選出,但用時(shí)較長,也從中體會(huì)到了分類討論思想的重要應(yīng)用;運(yùn)用構(gòu)造三次函數(shù)法的學(xué)生感覺方法原理容易想通,但具體操作思路受限;采用數(shù)形結(jié)合法的學(xué)生出現(xiàn)兩種思路:一是將原不等式變?yōu)閍x3≥x2?4x?3,研究三次函數(shù)與二次函數(shù)圖象,二是將原不等式變?yōu)閍x3?x2≥?4x?3,研究三次函數(shù)與一次函數(shù)圖象,在具體操作中,都有難點(diǎn)需要突破.

一道看似常規(guī)且思路廣泛的問題,卻讓學(xué)生解題思路屢屢受挫,不能一氣呵成,順利突破難點(diǎn).究其原因,應(yīng)是對函數(shù)及導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)應(yīng)用不夠靈活所致.借此一例,筆者結(jié)合學(xué)生的思路與困惑,給出四種解法的生成過程及突破難點(diǎn)的方法,以期拋磚引玉.

2.解法展示

解法1采用特值代入法,先確定實(shí)數(shù)a的一個(gè)大致取值范圍,即根據(jù)x∈[?2,1],可將x=?2,?1,1代入不等式中(這里,應(yīng)強(qiáng)調(diào)對區(qū)間內(nèi)的所有整數(shù)代入計(jì)算,以提高正確率),得到a∈[?6,?2],為了防止擴(kuò)大范圍,可令a=?2(也可令a=?6),研究y=?2x3?x2+4x+3在區(qū)間[?2,1]上的最小值,易得ymin=y|x=?1=0,說明a=?2符合題目要求,所以答案選C.

以上解法實(shí)屬應(yīng)試方法,在考試中,為了贏得時(shí)間和分?jǐn)?shù),應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生采用此法解題,尤其針對選擇題,既省時(shí)又省力.但對深入理解問題本質(zhì)沒有任何幫助,若教學(xué)中就此結(jié)束,則等于沒做!不過,這其中也包含了一點(diǎn)解題技巧,利用已知條件先得到問題成立的一個(gè)必要條件,即縮小參數(shù)的取值范圍,然后再論證其充分性,這個(gè)過程相對較難.以上是采用了特值驗(yàn)證.

給學(xué)生講解時(shí),要強(qiáng)調(diào)“特值也要有態(tài)度”,不是隨便找?guī)讉€(gè)值而已,要對題設(shè)及答案認(rèn)真分析,經(jīng)過相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗?再確定所要取的特值.

解法2題目屬于恒成立條件下的求參數(shù)范圍問題,所以易想到分離參數(shù)法解決問題,鑒于x∈[?2,1],所以要體現(xiàn)分類討論思想的應(yīng)用,即當(dāng)x∈[?2,0)時(shí),原不等式可等價(jià)化為,通過求函數(shù),x∈[?2,0)上的最小值得到a的范圍,這需要學(xué)生具備一定的換元思想,即令將函數(shù)化為三次函數(shù),再求最小值,同理可求x∈(0,1]上的情況.

這一解法說理清楚,思路嚴(yán)謹(jǐn),且能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解題過程中的重要應(yīng)用,更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,但就題論題來講,未免有些小題大做,費(fèi)時(shí)費(fèi)力.

給學(xué)生講解時(shí),要強(qiáng)調(diào)分類討論思想及換元思想的重要性.同時(shí),也可借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值.

解法3既然是恒成立問題,也可從構(gòu)造函數(shù)的角度解題,令f(x)=ax3?x2+4x+3,x∈[?2,1],通過求函數(shù)的最小值解決問題.但是,面臨兩個(gè)難題:一是a的正負(fù)未知,導(dǎo)致上述函數(shù)的增減情況不定;二是其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)為無理式,導(dǎo)致上述函數(shù)的極值不好算.面對雙重困難,有沒有辦法突破?答案是肯定的,首先根據(jù)已知條件得到問題成立的一個(gè)必要條件,即縮小a的范圍,由解法1得a∈[?6,?2],下面,給出問題成立的充分條件,對函數(shù)求導(dǎo)得

且x1＜x2,下面探究x1,x2是否在區(qū)間[?2,1]的內(nèi)部,這是一個(gè)二次函數(shù)問題,自然想到對稱軸方程,而f′(0)=4＞0,f′(1)=2+3a＜0,f′(?2)=8+12a＜0,由零點(diǎn)存在定理得x1,x2∈[?2,1],下面,研究f(x)=ax3?x2+4x+3,x∈[?2,1]的單調(diào)性,進(jìn)而確定最小值,如圖1-2,

圖1

圖2

得到問題成立的充分條件:f(1)≥0且f(x1)≥0,由f(x1)≥0得,所以,代入上式得(x1?9)(x1+1)≤0,所以?1≤x1≤9,結(jié)合得?1≤x1＜0,所以,解得a≤?2,由f(1)≥0得a≥?6,所以a∈[?6,?2].

解法3學(xué)生容易想到,但不易想通想透,中間有很多環(huán)節(jié)甚至可能感覺無法解決!因?yàn)檫@其中用到了很多數(shù)學(xué)思想方法,具有很強(qiáng)的綜合性,相當(dāng)于解決一道導(dǎo)數(shù)大題了.顯然不適合用此法來解決一道選擇題.但是,可以讓學(xué)生感受解題的嚴(yán)謹(jǐn)性,展示研究問題的過程,真可謂“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”.

解法4 函數(shù)問題,自然想到畫圖,若能將問題展現(xiàn)在函數(shù)圖象中,則既直觀又易于理解,值得探究.那么,如何畫圖成了解題關(guān)鍵,事實(shí)上,解法3實(shí)質(zhì)也是一種數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.下面,我們從另外一個(gè)角度給出問題的“圖象解法”:

圖3

將ax3?x2+4x+3≥0等價(jià)變形為ax3?x2≥?4x?3,設(shè)f(x)=ax3?x2,g(x)=?4x?3,問題轉(zhuǎn)化為f(x)≥g(x)在[?2,1]上恒成立,從而利用切線方程解題.

如圖3所示:設(shè)直線g(x)=?4x?3與函數(shù)f(x)=ax3?x2相切,切點(diǎn)為P(x0,?4x0?3),由f′(x)=3ax2?2x得切線斜率為

由(1)(2)式消去a得(x0?9)(x0+1)=0,得x0=?1,代入(1)式解得a=?2,再結(jié)合圖象知f(1)≥g(1),解得a≥?6,所以a∈[?6,?2].

解法4與解法3實(shí)質(zhì)相同,都是借助數(shù)形結(jié)合思想解題,但要說明的是解法3需要提前縮小a的范圍,而解法4通過圖象即可看出a＜0,這是解法4優(yōu)于解法3的地方.同時(shí),解法4將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切問題,可以推廣應(yīng)用到其他非三次函數(shù)恒成立問題中.

上述解法生成過程既是對高考題目的深入研究,更是對學(xué)生在解題中所遇困惑的釋疑過程.讓方法與思路源自學(xué)生,如解題中遇到困惑,此時(shí)教師應(yīng)該擔(dān)起排憂解惑的責(zé)任,與學(xué)生共同探究與思考,而不是武斷否定學(xué)生的想法,打擊學(xué)生的信心,扼殺學(xué)生的想法.以上解法生成過程,既鼓勵(lì)了學(xué)生要勇于探索問題,敢于面對問題,勤于與老師交流問題,又增強(qiáng)了學(xué)生解題的積極性和敢于表達(dá)想法的自信心.能夠很好的體現(xiàn)學(xué)生主體,教師主導(dǎo)的教學(xué)過程.