阿波羅尼斯圓性質(zhì)及其應用

河北省邯鄲市第一中學(056000) 馬進才 雷紅濤

一、背景

題目(人教A版必修2第124頁B組第3題)已知點M與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離比為,求點M的軌跡方程.

解析如圖,設動點M(x,y),連結(jié)MO,MA,有:,化簡得:x2+y2+2x?3=0,也就是:

方程(1)即為所求點M的軌跡方程,它表示以C(?1,0)為圓心,2為半徑的圓.

圖1

二、阿波羅尼斯圓

公元前3世紀,古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中,曾研究了眾多的平面軌跡問題,其中有如下結(jié)果.

定理A,B為兩已知點,P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ/=1)的內(nèi)外分點,則以PQ為直徑的圓O上任意點到A,B兩點的距離之比為λ.

圖2

性質(zhì)3 所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為,面積為.

性質(zhì)4 過點A作圓O的切線AC(C為切點),則CP,CQ分別為∠ACB的內(nèi)、外角平分線.

性質(zhì)5過點B作圓O不與CD重合的弦EF,則AB平分∠EAF.

而P,Q,C同時在到A,B兩點距離之比等于λ的曲線(圓)上,不共線的三點所確定的圓是唯一的,因此,圓O上任意一點到A,B兩點的距離之比恒為λ.

注波羅尼斯(Apolloning,約公元前260～170),古希臘數(shù)學家,與歐幾里得,阿基米德等齊名.著有《圓錐曲線論》和《平面軌跡》等書.

性質(zhì)1當λ＞1時,點B在圓O內(nèi),點A在圓O外;當0＜λ＜1時,點A在圓O內(nèi),點B在圓O外.

性質(zhì)2 因AC2=AP·AQ,過AC是圓O的一條切線.若已知圓O及圓O外一點A,可以作出與之對應的點B,反之亦然.

三、高考中的阿波羅尼斯圓

例1(2005江蘇)如圖3,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動點P分別作圓O1,圓O2的切線PM、

PN(M,N分別為切點),使得.試建立適當?shù)淖鴺讼?并求動點P的軌跡方程.

圖3

圖4

解以O1,O2的中點O為原點,O1,O2所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,則O1(?2,0),O2(2,0).由已知,得PM2=2PN2.因為兩圓的半徑均為1,所以

例2(2013江蘇)在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l∶y=2x?4.設圓的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

這說明M既在圓(x?a)2+(y?2a+4)2=1上,又在圓x2+(y+1)2=4上,因而這兩個圓必有交點,即兩圓相交或相切,所以

例3(2008.江蘇卷,13題)滿足條件的△ABC的面積的最大值是____.

圖5

解析顯然這是“阿波羅圓”,建立如圖所示的直角坐標系,因為有,代入阿波羅圓公式得:

設圓心為M,顯然當CM⊥x軸時,△ABC面積最大,此時,所以

變式在△ABC中,邊BC的中點為D,若,則△ABC的面積的最大值是____.

解以AB中點為原點,直線AB為x軸建立平面直角坐標系,則A(?1,0),B(1,0).由知,,D的軌跡為阿波羅尼斯圓,方程為

設C(x,y),BC的中點為D得,所以點C的軌跡方程為

例4(《數(shù)學通報》2013年12期問題2158)在△ABC中AB=2,AC=nBC(n∈N?,n≥2),△ABC面積的最大值為an,求證:.

解析以AB邊所在直線為x軸,以AB邊的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(?1,0),B(1,0),設C(x,y),因為AC=nBC,所以

故點C在以為圓心,以為半徑的圓上(x軸上的點除外).因為,所以,當點C為圓上的最高點(或最低點)即時,S△ABC最大,最大值為,所以.所以

所以

例5(2015年湖北卷)如圖6,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

圖6

(1)求圓C的標準方程;

(2)過點A任作一條直線與圓O∶x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結(jié)論:

其中正確結(jié)論的序號是_____.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

四、拓展—阿波羅尼斯圓與直線有四美

1.同一個方程,根據(jù)參數(shù)λ的不同,時而表示直線,時而表示圓,這是直線與圓的統(tǒng)一美;

2.當λ/=1時,不妨設c=1,可得:

說明λ2+1,|λ2?1|,2λ這3數(shù)之間存在勾股關(guān)系,這反映了阿波羅軌跡內(nèi)部的結(jié)構(gòu)美;

3.在方程(1)中,如λ＞1,圓心在y軸右邊,如λ＜1,令,代入(1)得:

方程(3)與(2)具有類似的形式,只不過由于μ＞1,所以,圓心在y軸左邊.這兩個方程表示的圖形關(guān)于y軸對稱.例如分別取時,分別代入方程(2)與(3),得:

它們的圖形關(guān)于y軸(阿波羅直線)對稱.所以方程(1)又彰顯解幾圖形的對稱美與完整美;

4.對于方程(1),只要λ/=?1,它都表示圓,當λ無限接近于1乃至等于1時,其圖形最終成為直線,這又是曲線由量變到質(zhì)變的運動美.