例談函數(shù)導數(shù)壓軸題的解題突破策略

廣東省佛山市第一中學(528000) 吳統(tǒng)勝

考生對函數(shù)導數(shù)壓軸題是有恐懼心理的,思維強度大,題型多,方法性強而靈活,解題突破口不易找尋,常需適當變形轉化證明,對數(shù)學能力的要求相當高,肩負名牌學校的選拔重任!但壓軸題還是有其規(guī)律性的,只要我們充分利用好導數(shù)這個工具,做好題型的歸類和方法總結,掌握好通性通法,如構造函數(shù)法、常見函數(shù)型不等式放縮法、主元法、分離變量法等方法,加強對轉化與化歸、數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論等數(shù)學思想方法的滲透,輔之以一定量的強化訓練,有助于學生快速找尋解題思路和方法,克服對壓軸題的恐懼心理,尖子生利用函數(shù)導數(shù)壓軸題得高分也是可能的,更是必然的!

筆者在[1-2]兩篇文章中,對函數(shù)型不等式壓軸題的證明方法進行了較詳細的探究、優(yōu)化、拓展推廣,總結了該類函數(shù)型不等式壓軸題的一般化、“套路化”的解法.本文筆者結合高考題對函數(shù)導數(shù)壓軸題的解題突破策略做了更深入、更詳盡的總結提升.下面舉例說明函數(shù)導數(shù)壓軸題的幾種解題突破策略!

一.解題突破策略

解題突破策略一直接構造函數(shù)法

例1(2013年課標II理科21)已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;

(2)當m≤2時,證明:f(x)＞0.

解析(1)略;

(2)當m≤2時,

構造函數(shù)φ(x)=ex?ln(x+2),轉化為求證φ(x)min=φ(x0)＞0,但使對應的x0不易求出,需利用零點存在定理及設而不求法求得最小值,只要證明φ(x)min=φ(x0)＞0.其證明過程如下:

當m≤2時,

設φ(x)=ex?ln(x+2),則在(?2,+∞)上單調遞增.又φ′(?1)＜0,φ′(0)＞0,所以φ′(x)=0 在(?2,+∞)上有唯一實根,且x0∈(?1,0).當x∈(?2,x0)時,φ′(x)＜0;當x∈(x0,+∞)時,φ′(x)＞0.所以φ(x)min=φ(x0).由φ′(x0)=0得:

解題突破策略二轉化證明法

若直接構造函數(shù)證明較困難,可對不等式兩邊適當變形,轉化為兩個函數(shù)的最大值與最小值的大小比較問題,再利用構造函數(shù)法證明!

例2(2017年佛山二模理科21)設函數(shù)f(x)=aex?xlnx,其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

解析(1)略;

對要證不等式進行適當變形,轉化證明:

φ(x)min＞h(x)max.所以原不等式得證!

此法相當巧妙,證明過程較為簡潔!

例3(2017年廣州一模理科21)已知函數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)a的取值范圍;

解析(1)(略).

這類同時含有ex,lnx的不等式常采用該轉化證明的方法.

該題改編自2014年全國I理科第21題:

(I)求a,b;

(II)證明:f(x)＞1.

而2014年全國I理科第21題改編自2014年黑龍江高中數(shù)學預賽題,其題目如下.

證明:對一切x∈(0,+∞)都有成立.

解題突破策略三巧用常見函數(shù)型不等式

常見函數(shù)型不等式主要有以下三種類型:

1.函數(shù)型不等式類型1的運用

(見人教版教材《選修2-2》P32習題1.3B組第1題)(可結合圖一加深學生對不等式的理解記憶)

圖1

題目同例1.

解析在例1中我們采用策略一,直接構造函數(shù)φ(x)=ex?ln(x+2),轉化為求證φ(x)min=φ(x0)＞0,但使對應的x0不易求出,需利用零點存在定理及設而不求法求得最小值,并證明φ(x)min=φ(x0)＞0,證明過程稍顯復雜,對數(shù)學思維和能力要求較高.但若妙用函數(shù)型不等式:ex≥x+1及l(fā)nx≤x?1(x＞0),則證明過程相當簡便,其證明過程如下:

證明因為lnx≤x?1(x＞0),所以

因為兩等號不同時取得,所以當m≤2時,f(x)＞0.

2.函數(shù)型不等式2的運用

證明設,所以

當 0＜x＜e時,h′(x)＞0,h(x)遞增;當x＞e時,h′(x)＜0,h(x)遞減;所以h(x)max=h(e)=0,所以h(x)≤h(x)max=0,所以.

題目同例2.

解析(1)略;

3.函數(shù)型不等式3的運用

例4(2013陜西理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.

(1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值;

(2)設x＞0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m＞0)公共點的個數(shù).

(3)設a＜b,比較的大小,并說明理由.

突破策略四對于二元(或多元)不等式類型,多采用二元(或多元)化一元,再恰當構造函數(shù)證明不等式.

例5已知函數(shù)f(x)=lnx(x＞0),設b＞a＞0,求證:.

點評對于二元(或多元)不等式類型,多采用二元(或多元)化一元,再恰當構造函數(shù)證明不等式.該不等式的變式:

突破策略五處理二元(多元)不等式的另外一種行之有效的方法—主元法

例6同例4.

解析(1)(2)略;

(3)證明:因為a＜b,所以b?a＞0,所以比較

的大小,即比較(b?a)(ea+eb)較2(eb?ea)的大小,亦即比較(b?a)(ea+eb)?2(eb?ea)與0的大小.

以b為主元,視a為參數(shù),記函數(shù)

求導得

得F′(x)在(a,+∞)上單調遞增,則F(x)＞F(a)=0,即F(b)＞0,則若f(x)min＜g(x)max,則

點評可見利用主元法可輕松破解該類高考壓軸題!主元法可操作性強,按部就班,考生容易掌握!主元法中的兩“元”必須相互獨立,否則不可以用主元法證明!

強化訓練題

1.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)?x,g(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;

(2)設0＜a＜b,求證:

2.2010年陜西理21題.

突破策略六利用“公切線”法證明不等式

題目同例1.

解析設φ(x)=ex,h(x)=ln(x+2)的公切線為y=kx+b設兩切點分別為:M(m,em),N(n,ln(n+2)).

利用切線的斜率得:

當n=?1時,M(0,1),N(?1,0),對應公切線為y=x+1.(當n=e?2時,,對應公切線為)我們不妨取公切線為y=x+1.利用構造函數(shù)法易證:

但兩不等式不同時取等號,所以ex＞ln(x+2).所以,當m≤2,

所以f(x)＞0.

點評利用”公切線”法證明函數(shù)型不等式,方法相當精妙!可實現(xiàn)精準放縮,證明方向也相當明確.但此方法只適用于一凸、一凹函數(shù)類型,若兩函數(shù)同為凸函數(shù)或凹函數(shù),可對不等式作適當變形,轉化為一凸、一凹函數(shù)類型,再用”公切線”法證明.

突破策略七

含有ex,lnx,xlnx的函數(shù)型不等式可放縮為如下一次函數(shù)形式,我們可稱之為函數(shù)放縮的“一般式”.

下面詳細舉例說明這幾個放縮式的應用,可以說該放縮法是快速解決函數(shù)不等式壓軸題的通性通法之一.

(i)的證法一設f(x)=ex?kx,(k＞0)所以f′(x)=ex?k.

當x＞lnk時,f′(x)＞0;當0＜x＜lnk時,f′(x)＜0.所以f(x)min=f(lnk)=k?klnk,所以f(x)≥f(x)min=k?klnk.所以ex≥kx+k?klnk,(k＞0).

(i)的證法二(利用切線系方程證明)設函數(shù)y=ex在點處的切線斜率為k(k＞0),因為y′=ex,則.故函數(shù)y=ex在點處的切線為y=kx+k?klnk,(k＞0),所以ex≥kx+k?klnk,(k＞0).

(ii)的證明設f(x)=lnx?kx,(k＞0).則有

(iii)的證明設f(x)=xlnx?kx,(x＞0,k∈R).所以f′(x)=lnx+1?k.當 0＜x＜ek?1時,f′(x)＜0,f(x)遞減;當x＞ek?1時,f′(x)＞0,f(x)遞增.所以f(x)min=f(ek?1)=?ek?1,故f(x)≥f(x)min=?ek?1.因此xlnx≥kx?ek?1,(x＞0,k∈R).

1.函數(shù)型不等式(i)應用舉例

題目同例1.

解析(1)略.

(2)證明:當m≤2時,

即證ex＞ln(x+2).

由函數(shù)型不等式(i)得:ex≥kx+k?klnk,(k＞0).即只需證:

設φ(x)=ln(x+2)?[kx+k?klnk],所以

不妨取k=1或,利用ex≥x+1或均可證得原不等式!

點評本放縮的方法按部就班,操作性強,可實現(xiàn)精準放縮.在實際解題中,我們只要通過觀察得到k,使即可,可以說該解法是快速解決這類函數(shù)型不等式壓軸題的通性通法.

2.函數(shù)型不等式(ii)的運用舉例

例7求證:ex＞2x+lnx,(x＞0).

解析由函數(shù)數(shù)型不等式(ii)得:lnx≤kx?lnk?1,(k＞0),所以lnx+2x≤(k+2)x?lnk?1,即證:ex≥(k+2)x?lnk?1.設h(x)=ex?[(k+2)x?lnk?1],(x＞0,k＞0).h′(x)=ex?(k+2).當x＞ln(k+2)時,h′(x)＞0,h(x)遞增;當0＜x＜ln(k+2)時,h′(x)＜0,h(x)遞減.所以

原不等式得證!

整理該證明過程如下:

點評該解法是解決這類函數(shù)型不等式壓軸題的通性通法!此題其實可利用常見函數(shù)型不等式或進行放縮即可得證,但對于本題lnx≤x?1,(x＞0)實效.另該題也可采用策略二證明,轉化證明:0),設.所以f(x)min＞g(x)max,所以ex＞2x+lnx,(x＞0).即轉化為兩個函數(shù)的最大、最小值的比較問題,證明過程相對較簡便,但此類嘗試要對含ex,lnx(x＞0)的組合函數(shù)圖像和性質非常熟悉,否則不易變形轉化證明.故要注意題型、方法的總結感悟,提升解決此類函數(shù)導數(shù)壓軸題的能力.

3.函數(shù)型不等式(iii)的應用舉例

例8求證:ex+ex?3＞1?x(1+lnx)(x＞0).

解析原不等式即證:

由函數(shù)型不等式(i)得:

由函數(shù)型不等式(iii)得:

點評當證明思路不明確時,可采用該一般性的證明方法尋找解題思路,但證明過程采用綜合法書寫會較簡便.另該題也可設f(x)=ex+ex?3,(x＞0).g(x)=1?x(1+lnx),(x＞0)轉化為兩個函數(shù)的最大、最小值的比較大小問題,易證,所以f(x)＞g(x)原不等式得證.解題時要不斷總結感悟、解題思路和方法,提升解決此類導數(shù)不等式壓軸題的解題能力.

策略八含參數(shù)問題,可優(yōu)先考慮消去參數(shù)、換元,再構造函數(shù)證明,有時還需構造局部函數(shù)再次求導,也可考慮分離參數(shù),再構造函數(shù),常需分類討論.

例9 已知x1,x2是函數(shù)f(x)=ex?ax的兩個零點,且x1＜x2,求證:x1x2＞1;x1+x2＞2.

解析因為x1,x2是函數(shù)f(x)=ex?ax的兩個零點,

設m(t)=t?1?tlnt(t＞1),則m′(t)=?lnt＜0,所以m(t)在(1,+∞)上遞減.所以m(t)＜m(1)=0,所以φ′(t)＜0,所以φ(t)在 (1,+∞)上遞減.因此φ(t)＜φ(1)=0,所以g′(t)＜0,g(t)在 (1,+∞)上遞減,但g(1)沒有意義.由高等數(shù)學中的洛必達法則,

點評本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運用,解答的關鍵在于利用消元思想,先消去參數(shù),轉化為含雙變量x1,x2的不等式,再利用“二元化一元”的思想,通過等價換元構造函數(shù)法得證,但有時需用到高等數(shù)學中的洛必達法則.

例10 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ae?x?a.

(1)當a=1時,證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)若對任何x∈[0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析(1)略.

(2)因為?x∈[0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,所以成立.設,

不好作進一步處理判斷求最小值,但利用洛必達法則,問題便可迎刃而解!其解答過程如下:

因為

所以a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍是(?∞,1].

點評本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題,考查分類討論、轉化與化歸解題思想及其相應的運算能力.本題采用分離參數(shù)思想,轉化為求函數(shù)的最小值,但φ(0)沒有意義,利用高等數(shù)學中的洛必達法則,可以使得問題難點得到輕松解決!含參數(shù)型函數(shù)導數(shù)壓軸題的解題策略限于篇幅,筆者此處不詳細舉例說明,筆者將另文討論.

總之,證明或解復雜的函數(shù)型不等式(包括不等式恒成立或存在性問題),最終還是化歸為構造函數(shù),再利用導數(shù)研究相應的性質,充分發(fā)揮導數(shù)的工具性和應用性的作用,往往可以獲得問題的解決!教學中要引導學生熟練掌握此類函數(shù)型不等式壓軸題的解題突破策略,做好題型的歸類和方法的總結,掌握好通性通法,如構造函數(shù)法、常見函數(shù)型不等式放縮法、主元法、分離變量法等,加強對轉化與化歸、數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論等數(shù)學思想方法的滲透,輔之以一定量的強化訓練,尖子生利用函數(shù)導數(shù)壓軸題得高分也是可能的,更會是必然的!

二.教學和選題的建議

1.“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”是高中數(shù)學新課程的基本理念之一.章建躍博士認為:“從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性,學生思維過程的合理性上加強思考,這是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等)的關鍵點.”在實踐新課程的過程中,教師要積極主動地貫徹落實這一基本理念.數(shù)學學習的核心是思考,離開思考就沒有真正的數(shù)學.教學設計應該遵循如何促進學生主動建構,如何引導學生深度學習,如何培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng).教師要重視問題情境的創(chuàng)設,在此基礎上向學生提出恰當?shù)膯栴},努力推進學生的數(shù)學活動:動手操作、分組學習、自主探究、合作交流!教育的根本目標是育人,數(shù)學教育理應把育人放在首位.“從數(shù)學學科教學的角度,作為人的發(fā)展,就體現(xiàn)在發(fā)展人的認知力.”認知力的重要含義就是研究新情況、解決新問題的能力,其中蘊含著創(chuàng)新、創(chuàng)造的能力.數(shù)學課要把發(fā)展學生的認知力作為教學的最大目標,著眼于學生的長遠發(fā)展利益,實現(xiàn)其終身可持續(xù)發(fā)展.

2.從國際視野的角度看,當今的數(shù)學教育趨勢就是以理解為價值取向!以問題解決為價值取向!以數(shù)學探究為價值取向!因此,科學、合理、現(xiàn)代的數(shù)學高考就是要考數(shù)學理解!考數(shù)學問題解決!考數(shù)學探究!教師要抓好課堂教學,在重視基礎知識和基本技能教學的同時,注重提升學生對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質的理解水平.教師要精選習題,多設計能考查數(shù)學主體內容、體現(xiàn)數(shù)學素質的題目,反映數(shù)、形運動變化的題目,研究型、探索型或開放型的題目,讓考生獨立思考,自主探索,發(fā)揮主觀能動性,研究問題的本質,尋求合適的解題工具,梳理解題程序,為考生展現(xiàn)創(chuàng)新意識、發(fā)揮創(chuàng)造能力創(chuàng)設廣闊的空間!選題要注重基礎性、典型性、綜合性、啟發(fā)性、開放性和探究性,且要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法);要精選一些一題多變、一題多解、多題歸一、有層次、有拓展的題目開闊學生思路,使學生能有新的體會和收獲;要重視課本中的典型例題、習題和最近幾年的高考題、高考模擬題,多些對課本例題、習題和高考題的進行改編與拓展.課堂教學中教師要引導學生重視對函數(shù)與方程、轉化與化歸、數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法的感悟及解題規(guī)律的總結與提升,提高學生的數(shù)學解題能力與數(shù)學素養(yǎng)!

強化訓練題

1.(2016年全國卷I第21題)已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2.

y=e(x?1)+2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

(1)求k的值;

(2)求f(x)的單調區(qū)間;

(3)設g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的導函數(shù).證明:對任意x＞0,g(x)＜1+e?2.

4.已知函數(shù)f(x)=xe?x(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱.證明:當x＞1時,f(x)＞g(x).

(3)如果x1/=x2且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

5.(2016年廣州一測理科21)已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2

(1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值;

(2)當m≥1時,證明:f(x)＞g(x)?x3.

6.求證:ex≥x+lnx(x＞0).

[1]吳統(tǒng)勝,吳欣婷.例談妙用函數(shù)型不等式巧解導數(shù)壓軸題[J].中學數(shù)學研究(華南師范大學版),2017(6上):10-13.

[2]吳統(tǒng)勝,李家昊.題海無涯,感悟是岸![J].中學數(shù)學研究(華南師范大學版),2017(11上):37-39.