良性數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其教學(xué)思考

祝沛

[摘 要] 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成必然會(huì)經(jīng)歷一個(gè)長期學(xué)習(xí)與積累的過程，學(xué)習(xí)者將所學(xué)知識(shí)重新進(jìn)行整理、組合與運(yùn)用都得益于其知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的圓滿構(gòu)成，學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的建構(gòu)與發(fā)展是不斷獲取新知識(shí)、不斷同化順應(yīng)并再次建構(gòu)、完善知識(shí)體系的過程.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；表征；實(shí)現(xiàn)途徑

廣大教育工作者與專家因?yàn)樽陨砝砟钆c理解角度的差異對(duì)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的界定與表述各持不同的理解，事實(shí)上，良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)所具備的表征也因?yàn)橛^念與角度的差異而展現(xiàn)出各種不同，本文從以下幾個(gè)方面就其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，然后就如何幫助學(xué)生構(gòu)件良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡單的分析.

良性數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表征分析

1. 具有完備的觀念

一個(gè)數(shù)學(xué)問題的圓滿解決必然需要與之相關(guān)的解題能力的支撐，而這一能力又需要足夠的相關(guān)知識(shí)與已經(jīng)形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)的支撐. 比如說，高三數(shù)學(xué)的備考復(fù)習(xí)一般分為三輪，這三輪復(fù)習(xí)針對(duì)的分別是基礎(chǔ)知識(shí)、專題知識(shí)、綜合能力訓(xùn)練這些內(nèi)容. 由此可見，高考復(fù)習(xí)的任務(wù)除了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之外還包含專題知識(shí)系統(tǒng)的訓(xùn)練，這能使學(xué)生在專業(yè)知識(shí)的積累中體驗(yàn)更多的觀念并因此形成完備的知識(shí)體系. 例如，高考?jí)狠S題的訓(xùn)練不僅是對(duì)學(xué)生綜合能力的訓(xùn)練，也是對(duì)學(xué)生備戰(zhàn)高考信心的訓(xùn)練，更是對(duì)學(xué)生是否熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與原理的考查. 各科高三教師在自身研究的學(xué)科領(lǐng)域中自然都具備尤其出色的業(yè)務(wù)能力，不過，很多教師在跨學(xué)科領(lǐng)域中的表現(xiàn)卻往往不見得能夠比學(xué)生出色，數(shù)學(xué)教師也往往因?yàn)槲锢怼⒒瘜W(xué)等學(xué)科理念的欠缺一樣比不上學(xué)生. 聯(lián)想生活、社會(huì)各領(lǐng)域的專家與新手一說，我們也不難理解專家與新手一說背后隱藏的正是一個(gè)人在其專業(yè)領(lǐng)域所具備的能力高低，這自然是由其所具備的專業(yè)知識(shí)、理念的充分與完備所決定的.

2. 產(chǎn)生方式穩(wěn)定靈活

一個(gè)人解決問題的能力往往會(huì)受到多方面因素的影響與制約，知識(shí)的多少很多時(shí)候并不能說明其能力的高低，很多時(shí)候，具備充分、完備知識(shí)的個(gè)體在解決問題時(shí)也不一定能夠展現(xiàn)出出色的能力并徹底解決問題，由此可見，充分、完備的觀念與知識(shí)在解決問題時(shí)雖然是必須具備的，但決定解決問題的關(guān)鍵還是在于其觀念獲得的方式以及過程，觀念與知識(shí)在解決問題的過程中只是一種必要的存在. 學(xué)習(xí)者一旦面對(duì)問題條件信息就會(huì)自發(fā)調(diào)動(dòng)自身相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，外顯的行為反應(yīng)表象、內(nèi)隱的心理活動(dòng)與心理運(yùn)算等都包含在這里所說的學(xué)習(xí)活動(dòng)中.

比如，學(xué)生在接觸四棱柱、平行六面體、直四棱柱、直平行六面體、正四棱柱等諸多概念時(shí)往往會(huì)因?yàn)榛煜拍疃龊芏噱e(cuò)誤，事實(shí)上，學(xué)生單獨(dú)描述這些概念時(shí)都能表現(xiàn)出一定的熟練程度，相當(dāng)一部分的學(xué)生在某一幾何體的知識(shí)結(jié)構(gòu)上也能夠基本形成自己的理解. 比如，教師要求學(xué)生表達(dá)怎樣的幾何體是長方體時(shí)，學(xué)生往往能夠表達(dá)出上下底皆為長方形且側(cè)棱垂直底面的四棱柱即為長方體的回答，這說明學(xué)生對(duì)長方體的概念已經(jīng)有了一定的掌握. 然而，教師如果用什么樣的直四棱柱是長方體這樣的問題來提問學(xué)生的話，學(xué)生因?yàn)橄嚓P(guān)知識(shí)問題的變式往往會(huì)在回答上表現(xiàn)出差強(qiáng)人意的一面了. 因此，判斷學(xué)生是否真正徹底、牢固地掌握某一知識(shí)體系的產(chǎn)生方式，我們應(yīng)該觀察其在一定問題情境中是否能夠?qū)l件信息進(jìn)行識(shí)別并做出正確的活動(dòng)反映，學(xué)生如果未能獲得直四棱柱這一概念的產(chǎn)生方式，他們在解決與之相關(guān)的問題時(shí)雖然已經(jīng)具備一定的知識(shí)組塊或言語觀念，但完美解決此類問題還是會(huì)存在較大差距的.

3. 具有問題解決的策略

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師往往表現(xiàn)出比學(xué)生更強(qiáng)的能力，這主要是因?yàn)榻處熢谡莆障嚓P(guān)知識(shí)組塊的基礎(chǔ)上已經(jīng)具備了反復(fù)運(yùn)用與總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)與能力，而且，教師在考試大綱、試題研究、教學(xué)鉆研上的不斷更新也使得教師的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)日復(fù)一日地得到更新與整合，他們在教學(xué)與研究中的經(jīng)驗(yàn)與觀念也因此不斷得以更新與豐富，教師在解題上的表現(xiàn)自然會(huì)比學(xué)生要好很多. 因此，具備一定的解題策略也是良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成所必須具備的，學(xué)習(xí)者在解題活動(dòng)中所表現(xiàn)出的策略與觀念往往能夠決定其解題的質(zhì)量. 分析與解題時(shí)可以運(yùn)用的策略有很多，化繁為簡、順推與逆推結(jié)合、特殊與一般等都是解決問題中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到的，不過，這些觀念的形成必須經(jīng)歷長期的學(xué)習(xí)、反思、總結(jié)而逐步積累并最終達(dá)成.

充分滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)良性建構(gòu)

1. 備課時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法

教師在任何一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的組織中都是極為關(guān)鍵的，在課堂教學(xué)之前的備課環(huán)節(jié)中自然也是如此，因此，教師在教學(xué)之前的這樣一個(gè)準(zhǔn)備環(huán)節(jié)中就應(yīng)該對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行充分的挖掘. 大量數(shù)學(xué)客觀所存在的事實(shí)經(jīng)過抽象和概括最終形成數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思維方法才能真正掌握數(shù)學(xué)事實(shí)，由此可見，隸屬于兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)體系的數(shù)學(xué)事實(shí)與思維方法之間是相互補(bǔ)充與密不可分的，它們都是依賴數(shù)學(xué)知識(shí)體系而客觀存在的結(jié)構(gòu)體系. 學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中自發(fā)理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其隱藏的數(shù)學(xué)思想方法是教師開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)最佳的效果，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)以及教學(xué)前期的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)中就應(yīng)該有意識(shí)地將數(shù)學(xué)知識(shí)中隱藏的思想方法進(jìn)行充分的挖掘與提煉，將每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或每一段數(shù)學(xué)知識(shí)體系中所隱藏的思想方法充分挖掘出來并設(shè)計(jì)進(jìn)自己的教學(xué)活動(dòng)中，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特征將這些思想方法在具體的章節(jié)或者例題、習(xí)題中進(jìn)行滲透，使得這些數(shù)學(xué)思想方法隨著教學(xué)活動(dòng)的具體推進(jìn)被逐步地體現(xiàn)與運(yùn)用，教師在這一滲透環(huán)節(jié)中應(yīng)該著重考慮這些思想方法的滲透應(yīng)該采取哪些學(xué)生比較容易接受的教學(xué)策略以促成學(xué)生的真正領(lǐng)悟.

2. 解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法

解題能力是數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)性很強(qiáng)的學(xué)科所具備的一個(gè)重要特征. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞早就發(fā)表過掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題這一重要的言論. 學(xué)生在具體的解題活動(dòng)中不僅將解題任務(wù)進(jìn)行了實(shí)施，也在此過程中習(xí)得了一定的解題能力，解題過程雖然是數(shù)學(xué)知識(shí)公式之間的不斷轉(zhuǎn)化、邏輯推理證明以及結(jié)論發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)的外在呈現(xiàn)，但我們通過這些外顯活動(dòng)的呈現(xiàn)往往可以看到解題中的過程探索、方法選擇、思路發(fā)現(xiàn)等一系列的思維過程，每一步的簡化、轉(zhuǎn)化、分解、化歸都在一定的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下朝著最終的目標(biāo)前行，數(shù)學(xué)思維、思想方法在每一步的解題活動(dòng)中螺旋上升并最終通過數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容一一體現(xiàn). 數(shù)學(xué)思想方法在探求已知與未知之間邏輯聯(lián)系的解題活動(dòng)中存在很多的具體方式，在學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)不斷剖析、思考數(shù)學(xué)問題時(shí)往往被逐一發(fā)現(xiàn)與挖掘，并最終憑借數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系形成數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的縱橫連接.

本題中的解題思路隱藏很深導(dǎo)致解題的方法很難被發(fā)現(xiàn)，但如果能夠?qū)λC明的不等式進(jìn)行剖析，最終的證明通過等價(jià)轉(zhuǎn)化以及構(gòu)造函數(shù)并證明其單調(diào)性的方法還是完全可以解決的. 高考試題中的壓軸題很多都是對(duì)函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用的考查，難度自然是相當(dāng)大的，而且一般沒有固定的解法，不過，等價(jià)轉(zhuǎn)化這一重要的思想方法卻在這一類題中得到了很多的體現(xiàn)與運(yùn)用，這些難題在等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的正確運(yùn)用中往往能令解題的目標(biāo)得以明確.

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是否能夠形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)往往能夠決定其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，但良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成又離不開學(xué)生對(duì)知識(shí)組塊與材料元素的多方面積累與長久運(yùn)用，數(shù)學(xué)思想方法能夠有效且全面地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行包容與概括，知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵也會(huì)因此在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中得到很好的體現(xiàn). 學(xué)生如果能夠真正掌握數(shù)學(xué)思想方法并能熟練、靈活地運(yùn)用，他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中才能將數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與發(fā)展做到游刃有余.