“以數(shù)思形”巧解函數(shù)問題

唐建

[摘 要] 函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂，在高中數(shù)學(xué)中的地位也是毋庸置疑的. 說它是“靈魂”，與其抽象、復(fù)雜的特點是分不開的，當(dāng)然這也是學(xué)生們感到頭疼的關(guān)鍵所在. 那么如何才能讓抽象的函數(shù)變得直觀、易于理解從而掌握其單調(diào)性等一系列屬性呢？這就不得不提到數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；函數(shù)；取值范圍；零點

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用一般有兩種形式：以形助數(shù)和以數(shù)輔形，也就是將“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，化“復(fù)雜”為“簡單”. 化“抽象”為“直觀”，從而達(dá)到使解題變簡單的目的. 而函數(shù)本身就離不開圖形，它的許多屬性都可以從圖形中輕而易舉獲得，因此數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)結(jié)下了不解之緣，連著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生都稱贊道：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”.

3. 方法提煉

在這道真題中，出題者可謂是用心良苦，前一問拋磚引玉，較為簡單，后一問則加大難度，兩問之間溝通的橋梁就是解此題至關(guān)重要的一步：函數(shù)圖形，對于學(xué)生來說，只有在直觀的圖形面前，他們才能輕松地判斷分段函數(shù)的多種可能情況，快速地列出分類討論的不等式組. 因此，數(shù)形結(jié)合思想在此題中運用得恰到好處，熟悉這種思想的學(xué)生可以輕松快速地解題. 由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在高考中往往是可以為考生提供解題思路，加快解題速度的不可多得的好方法. 該思想在其他情境的函數(shù)問題中也效果明顯，值得學(xué)生們好好掌握.

“以數(shù)思形”之方程問題

筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，盡管數(shù)形結(jié)合思想大家都耳熟能詳，但如何應(yīng)用確是困擾學(xué)生們的頭號問題，以至于在面對具體問題時束手無策. 本人認(rèn)為，這是缺少對該思想應(yīng)用場合的歸納指導(dǎo)，下面就該方面詳細(xì)說明，希望可以給讀者們一些幫助，讓數(shù)形結(jié)合不再僅僅是我們口中的“漂亮”辭藻，而是實實在在地為學(xué)生們指點迷津. 高中數(shù)學(xué)里有很多概念都是以幾何元素和幾何背景建立起來的，如向量、三角函數(shù)等，這些都可以“以數(shù)思形”，根據(jù)代數(shù)式的圖形分析其幾何性質(zhì)，從而在曲線圖形和方程之間建立聯(lián)系.

點評：本題運用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙地發(fā)現(xiàn)其中一個交點位置是固定的，從而有效地避免了傳統(tǒng)解法的分類及繁雜的數(shù)學(xué)運算與推理，順利求出參數(shù)的值.

總結(jié)提高

上述幾種類型的問題解析中，都無不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性. 運用數(shù)形結(jié)合思想，能使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，激發(fā)解題靈感，大大優(yōu)化解題過程. 但要真正地熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)鼓勵學(xué)生們平時注重培養(yǎng)自己的識圖、觀圖、作圖、用圖能力，只有扎實的圖像基本功，才能使數(shù)形結(jié)合思想完美地應(yīng)用于解題中.

數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，也就是對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路. 數(shù)形結(jié)合方法可以用來解答各種難題；包括一些復(fù)雜函數(shù)的極值問題、復(fù)雜的集合問題、方程與不等式問題等等. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)立足教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化教學(xué)過程，在講授知識過程中適時滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.