核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)抽象再思考

袁春娟

[摘 要] 核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的新背景，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題. 在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象，有著重要的歷史意義與現(xiàn)實(shí)意義. 其具體可從理解核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象概念、發(fā)掘核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、在數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等角度來進(jìn)行. 在核心素養(yǎng)背景下，數(shù)學(xué)抽象可以上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；核心素養(yǎng)；教學(xué)思考

數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)學(xué)科如影隨形，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的特質(zhì). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象歷來就是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科味道的一個(gè)關(guān)鍵. 當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)正面臨著核心素養(yǎng)的引領(lǐng)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成部分中，數(shù)學(xué)抽象又是一個(gè)重要內(nèi)容，因此在核心素養(yǎng)的背景下對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)一步思考，有著重要的歷史意義與現(xiàn)實(shí)意義. 本文擬從四個(gè)方面進(jìn)行闡述：

核心素養(yǎng)背景下對(duì)數(shù)學(xué)抽象的再思考

什么是抽象？目前比較公認(rèn)的定義是：抽象是人類認(rèn)識(shí)世界的科學(xué)方法和思維活動(dòng)，是把握事物內(nèi)部聯(lián)系與本質(zhì)特性的過程. 在抽象概念理解的背景下再認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象，可以得到數(shù)學(xué)抽象的定義是：從實(shí)物中抽象出以數(shù)與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系表征的規(guī)律與結(jié)構(gòu)，并將之以數(shù)學(xué)符號(hào)或術(shù)語進(jìn)行表征. 數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)逐步抽象以形成數(shù)學(xué)理論的過程.

核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生的“關(guān)鍵能力”，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，今天的人們面臨的是一個(gè)更為紛繁復(fù)雜的世界，在認(rèn)識(shí)這個(gè)世界的時(shí)候，需要學(xué)生擁有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的意識(shí)與能力，而這個(gè)意識(shí)的形成與能力的培養(yǎng)，與數(shù)學(xué)抽象顯然是密切相關(guān)的. 也就是說，數(shù)學(xué)抽象是屬于學(xué)生發(fā)展所需要的關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)是能夠支撐學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育的.

另一方面，我們認(rèn)為高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并不完全是公式與符號(hào)的堆砌，也不只是基于解題需要的邏輯推理. 從更廣的角度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象其實(shí)是聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的重要橋梁，數(shù)學(xué)內(nèi)容由現(xiàn)實(shí)生活中抽象得到，而抽象所得到的數(shù)學(xué)知識(shí)又可以反作用于學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的理解. 于是數(shù)學(xué)與生活之間因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象，就成為一個(gè)有機(jī)整體. 從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上聯(lián)系著數(shù)學(xué)與生活，抽象的切入口是形象的生活，而落腳點(diǎn)則是抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律.

這樣，我們形成的對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解，既面向了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，又瞄準(zhǔn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育需要. 筆者以為，如此理解數(shù)學(xué)抽象，才能真正為核心素養(yǎng)的培育提供正確的理論基礎(chǔ).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值內(nèi)涵

其實(shí)，作為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)抽象有著豐富的價(jià)值內(nèi)涵，我國數(shù)學(xué)教育從1958年開始就對(duì)數(shù)學(xué)抽象展開了研究，由此可見數(shù)學(xué)抽象的強(qiáng)大生命力. 今天我們研究數(shù)學(xué)抽象，不能只是從數(shù)學(xué)抽象本身進(jìn)行，還應(yīng)當(dāng)從歷史演變中認(rèn)識(shí)其意義，這樣才能為將來的核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象，做出準(zhǔn)確全面的理解與應(yīng)用.

數(shù)學(xué)抽象首先要回答的問題是：數(shù)學(xué)抽象是什么？盡管上一點(diǎn)已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的定義做出了界定，但從內(nèi)涵與外延的角度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象，會(huì)發(fā)現(xiàn)其仍然有定義表述之外的更多的理解. 有人從抽象是一個(gè)過程的角度，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)過程；有人從抽象的目標(biāo)指向角度，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是一種活動(dòng)；有人從數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法的角度分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象本身就是一種數(shù)學(xué)方法；還有人從能力培養(yǎng)的角度，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是一種能力. 在上述定義中，這樣的四種理解其實(shí)均有不同的體現(xiàn). 同時(shí)應(yīng)當(dāng)看到的是，在上述四種內(nèi)涵理解中，可以逐步發(fā)現(xiàn)“人”的意義，即對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)已經(jīng)逐步從數(shù)學(xué)本身轉(zhuǎn)向了對(duì)人（學(xué)生）的關(guān)注，筆者以為這與更宏觀的“以人為本”的教育理念是一脈相承的.

在高中階段，數(shù)學(xué)抽象更多地被理解為對(duì)實(shí)物的抽象，而實(shí)際上除此之外，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象還有很多，譬如對(duì)操作過程的抽象，對(duì)思想方法的抽象，對(duì)數(shù)學(xué)意向的抽象，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)模式的抽象等. 這些抽象或多或少地存在于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)異于其他學(xué)科的最顯著的抽象特征. 因此我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象是反映數(shù)學(xué)學(xué)科特征最本質(zhì)的特征，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，要立足這樣的認(rèn)識(shí)實(shí)施教學(xué)，才能彰顯數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)意義，才能真正瞄準(zhǔn)核心素養(yǎng)培育的需要.

在數(shù)學(xué)抽象過程中培養(yǎng)學(xué)生抽象能力

毫無疑問，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力只能在數(shù)學(xué)抽象的過程中培養(yǎng)得出. 需要注意的是，這里所說的數(shù)學(xué)抽象的過程是具有層次性的，而不是那種簡單的數(shù)學(xué)抽象甚至是隨意的數(shù)學(xué)抽象，根據(jù)著名數(shù)學(xué)教育家史寧中先生的研究，數(shù)學(xué)抽象的層次性，主要體現(xiàn)在如下的三個(gè)方面：

第一個(gè)層次：簡約階段. 這個(gè)階段的數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)為把握事物本質(zhì)，體現(xiàn)為將復(fù)雜的問題簡單化，將冗長的對(duì)象簡潔化.

例如，在“函數(shù)”的教學(xué)中，為了得出的定義——在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)x的值，相應(yīng)地就確定唯一的一個(gè)y值，那么我們就稱y是x的函數(shù). 琢磨函數(shù)定義，教師應(yīng)當(dāng)知道，這個(gè)教學(xué)的過程的關(guān)鍵，就是要給學(xué)生提供若干個(gè)“變化過程”，這些變化過程是從實(shí)際生活中提取的，具有形象的特征，函數(shù)的內(nèi)涵隱藏其中，需要學(xué)生通過分析、綜合的方法概括出來，這就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，這個(gè)過程基于事實(shí)而提取函數(shù)的本質(zhì)，體現(xiàn)為用函數(shù)的思路描寫具體的事例，因而結(jié)果簡單、簡潔，是數(shù)學(xué)抽象的簡約階段.

第二個(gè)層次：符號(hào)階段. 這個(gè)階段的數(shù)學(xué)抽象，強(qiáng)調(diào)去除具體的內(nèi)容，利用數(shù)學(xué)概念、圖形、符號(hào)等來表達(dá)簡約化了的關(guān)系. 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)與形，研究的重點(diǎn)是數(shù)數(shù)、形形、數(shù)形之間的關(guān)系，這種關(guān)系最終是用符號(hào)來描述的，符號(hào)描述意味著數(shù)學(xué)抽象走出了所舉的事例，而進(jìn)入了概括總結(jié)的階段.

例如，在“函數(shù)”概念的教學(xué)中，當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)函數(shù)可以記為y=f（x），x∈A時(shí)，實(shí)際上就是對(duì)函數(shù)的一處符號(hào)化表達(dá)，在這里，x代表著集合A中的一個(gè)元素，是一個(gè)輸入值； f代表著所有的不同的對(duì)應(yīng)法則，y代表著輸出值. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，這一步是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述簡約階段中抽象成果的過程. 也是極為重要的一步基礎(chǔ)性工作，數(shù)學(xué)抽象過程中，抽象是一個(gè)過程，而抽象的結(jié)果是需要描述的，描述所用的工具只能是數(shù)學(xué)語言，而學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的過程本身就是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，這個(gè)過程中的數(shù)學(xué)語言的選擇與運(yùn)用，是尤其需要注意的.

第三個(gè)層次：普適階段. 這個(gè)階段強(qiáng)調(diào)建立數(shù)學(xué)法則，或者是建立數(shù)學(xué)模式或模型，以形成一般意義上的數(shù)學(xué)結(jié)論，并運(yùn)用于更廣泛的范圍以解釋事實(shí).

在“函數(shù)”學(xué)習(xí)中，通常有一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生判斷有些對(duì)應(yīng)是不是函數(shù). 這就需要學(xué)生將教師提供的對(duì)應(yīng)與函數(shù)的定義（實(shí)際上也是上一步抽象的結(jié)果）進(jìn)行比較（這里還用到比較思維），看其與函數(shù)定義是否嚴(yán)絲合縫. 這一步對(duì)函數(shù)概念的構(gòu)建來說，還有一個(gè)重要意義，那就是幫學(xué)生更清晰地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的三要素. 筆者在教學(xué)中還有一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，那就是普適階段的數(shù)學(xué)抽象，還有助于學(xué)生的一些自我發(fā)現(xiàn). 如有學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）的類型進(jìn)行了分類，發(fā)現(xiàn)其可以是整式，可以是分式，還可以是根、冪等形式，而不同的形式在確定定義域的時(shí)候是不一樣的. 這樣的分類，實(shí)際上讓學(xué)生對(duì)函數(shù)有更細(xì)致的把握，直接影響就是其后的問題解決中，學(xué)生可以更直接地將新問題與這些分類結(jié)果對(duì)應(yīng)起來，因而提高了學(xué)生問題解決的速度與效率.

這樣的數(shù)學(xué)抽象三階段，既給數(shù)學(xué)抽象過程提供了一種范式，也給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力的描述提供了重要的模式，教師在評(píng)估學(xué)生抽象過程與結(jié)果以及能力形成的時(shí)候，就有了一個(gè)重要的依據(jù).

走向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)與研究

文章開頭已經(jīng)說過，數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容. 當(dāng)前我們正站在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的起跑線上，在核心素養(yǎng)的背景下將數(shù)學(xué)抽象上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)并進(jìn)行研究，也是可行的.

有研究者將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)界定為運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象滿足自身需要的必備能力與品質(zhì). 這是借助于核心素養(yǎng)的概念來描述的，這樣的界定也巧妙地將數(shù)學(xué)抽象與核心素養(yǎng)聯(lián)系在了一起. 筆者以為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的得出，數(shù)學(xué)定理的總結(jié)，數(shù)學(xué)規(guī)律的概括，其實(shí)基本上都有一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，實(shí)際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、定理的得出是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物是必要的，這樣不僅滿足了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果的需要即數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，也滿足了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的需要即形成數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與研究，數(shù)學(xué)抽象需要從體驗(yàn)走向認(rèn)識(shí)，需要從“幕后”走向“前臺(tái)”，需要在學(xué)生的認(rèn)識(shí)中變成清晰的認(rèn)識(shí). 只有這樣，數(shù)學(xué)抽象才能在核心素養(yǎng)的背景下得到進(jìn)一步發(fā)展，從而彰顯其在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要地位.