初中數(shù)學中絕對值性質(zhì)的應用

鐘秋紅

絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對值符號的數(shù)學問題又是學生遇到的難點之一，解決這類問題的方法通常利用絕對值的意義，將絕對值符號化去，將其轉化為不含絕對值的問題.確定絕對值符號內(nèi)部分的正負，借此去掉絕對值符號的方法大致有以下幾種.

一、含有一個絕對值符號的化簡題

（一）已知未知數(shù)的取值或取值范圍進行化簡

如，當x>3時，化簡|2x-3|+2x（根據(jù)絕對值的意義直接化簡）.

解原式=2x-3+2x=4x-3.

（二）沒有告訴未知數(shù)的取值或取值范圍進行化簡

如，化簡|x-3|+2x（必須進行討論）.

我們把使絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為0的未知數(shù)的值叫作界值，顯然絕對值符號內(nèi)代數(shù)式是x-3，使x-3=0的未知數(shù)的值是3，所以我們把3叫作此題的界值，確定了界值后，我們就把它分成三種情況進行討論.

（1）當x>3時，則x-3>0是一個正數(shù)，則它的絕對值應是它本身，∴原式=x-3+2x=3x-3.

（2）當x=3時，則x-3=0，而0的絕對值為0，∴原式=0+2x=2x或|x-3|+2x=0+2×3=6.

（3）當x<3時，則x-3<0，是一個負數(shù)，而負數(shù)的絕對值應是它的相反數(shù)，∴原式=-（x-3）+2x=-x+3+2x=x+3.

二、含有兩個絕對值符號的化簡題

1.已知未知數(shù)的取值或取值范圍，進行化簡也應根據(jù)絕對值的意義直接化簡.

如，當x<-5時，化簡|2x-7|+|5x|.

解原式=-（2x-7）+（-5x）=-2x+7-5x=-7x+7.

2.沒有告訴未知數(shù)的取值或取值范圍進行化簡也必須進行討論

如，化簡|x+2|+|3x-1|.

|x+2|的界值為-2，|3x-1|的界值為13.

所以對此類化簡題，我們?nèi)詮娜齻€方面進行討論.

解（1）當x>13時（界值-2，13中13為較大界值，討論的第（1）種情況為大于大的界值）.

原式=（x+2）+（3x-1）=x+2+3x-1=4x+1.

（2）當x<-2時，（第（2）種情況為小于小的界值）

原式=-（x+2）+[-（3x-1）]=-x-2-3x+1=-4x-1.

（3）當-2<x<13時（第（3）種情況為大于小的界值小于大的界值）

原式=x+2+[-（3x-1）]=x+2-3x+1=-2x+3.

三、數(shù)形結合絕對值化簡題

如，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡：|2a-b|+|b-c|-|c-3a|.

解由a，b，c在數(shù)軸上的位置可知a<0，b>0，c<0且c<a，c>3a，2a<b.

∴原式=-（2a-b）+（b-c）-（c-3a）=-2a+b+b-c-c+3a=a+2b-2c.

綜上所述，含有絕對值符號的化簡題，如已確定某些未知數(shù)的取值，就按這個未知數(shù)的取值根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，進而化簡.如沒有告訴某些未知數(shù)的取值或取值范圍，那么就找出這個絕對值（或兩個絕對值）符號內(nèi)的界值，然后分三種情況進行討論.

四、絕對值性質(zhì)化簡問題

若abc≠0，則a|a|+b|b|+c|c|的所有可能值是什么？

解∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0.

（1）當a，b，c均大于0時，原式=3.

（2）當a，b，c均小于0時，原式=-3.

（3）當a，b，c中有兩個大于0，一個小于0時，原式=1.

（4）當a，b，c中有兩個小于0，一個大于0時，原式=-1.

∴a|a|+b|b|+c|c|所有可能的值為±3，±1.

本題的解法是采用把a，b，c中大于0與小于0的個數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用.

例已知|a-1|+|ab-2|=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+12017×2018.

解∵|a-1|+|ab-2|=0，∴|a-1|=0，|ab-2|=0，即a=1，b=2.

∴原式=11×2+12×3+13×4+…+12017×2018=1-12+12-13+13-14+…+12017-12018=1-12018=20172018.

互為相反數(shù)的絕對值相等，任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù).運用這些性質(zhì)可以去掉絕對值符號.

五、關于絕對值的最值問題

已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|，求y的最大值.

分析首先使用“零點分段法”將y化簡，然后在各個取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者.

解有三個分界點：-3，1，-1.

（1）當x≤-3時，y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，

∵x≤-3，∴y=x-1≤-4，y的最大值是-4.

（2）當-3≤x≤-1時，y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，

∵-3≤x≤-1，∴-4≤5x+11≤6，y的最大值是6.

（3）當-1≤x≤1時，y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，

∵-1≤x≤1，∴0≤-3x+3≤6，y的最大值是6.

（4）當x≥1時，y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，

∵x≥1，∴1-x≤0，y的最大值是0.

綜上可知，當x=-1時，y取得最大值，為6.

小結：絕對值是中學數(shù)學中一個非常重要的概念，不僅是有理數(shù)運算的基礎，還可以深化認識有理數(shù).它具有非負性，在數(shù)學中有廣泛應用.因而，學好絕對值性質(zhì)的應用顯得尤為重要.