多角度分析問題 提高數(shù)學素質(zhì)

屈娜 劉華 陳春梅

【摘要】本文針對一道高等數(shù)學競賽試題，分別用洛必達法則、無窮小代換、拉格朗日中值定理、導數(shù)定義等知識給出了五種解法.對于培養(yǎng)學生發(fā)散思維和探索思維，提高學生綜合分析和解決問題能力，具有積極的促進作用.

【關鍵詞】洛必達法則;無窮小代換;導數(shù)定義;拉格朗日中值定理

【基金項目】高等學校大學數(shù)學教學研究與發(fā)展中心教改項目（CMC20160405）.

一、引 言

一題多解，即對一個問題從多角度進行分析解答，它有助于學生對所學知識進行鞏固、深化和靈活應用.鼓勵學生對一個問題進行多角度思考分析，將有助于學生對數(shù)學概念的理解和應用，幫助學生進一步加深數(shù)學知識、方法和思想的理解和鞏固，同時也能把學到的知識、方法和思想遷移到新問題的解決中，可提高學生分析問題、解決問題的能力，利于拓展思路，激發(fā)學習興趣，對于培養(yǎng)學生發(fā)散思維和探索思維，提高學生綜合分析和解決問題能力，具有積極的促進作用.下面對一道高數(shù)競賽極限試題，通過不同解題思路，得到五種解法，供學生參考.

二、例題分析

例 （2017年陜西省第十一次大學生高數(shù)競賽）

求 limx→∞xsinln1+3x-sinln1+2x.

分析1 首先由于函數(shù)自然定義域的限制，該題目中的極限過程應為x→+∞.極限類型為∞·0型，可考慮使用洛必達法則，而洛必達法則處理的是商的極限問題.基于此，可做倒代換，有解法1.

解法1 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+cosln（1+3t）31+3t-cosln（1+2t）21+2t

=3-2=1.

分析2 在上述解法倒代換后，得到了較簡單的極限形式.此時，可用三角函數(shù)和差化積公式或者拉格朗日中值定理來處理，如解法2和解法3.

解法2 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+2cosln（1+3t）+ln（1+2t）2sinln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+2·1·ln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+ln1+t1+2tt=limt→0+t1+2tt=1.

解法3 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）ln（1+3t）-ln（1+2t）·ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=limξ→0+cosξ·limt→0+ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=1·limt→0+ln1+t1+2tt=1.

分析3 可用點導數(shù)定義式來解決，如解法4.

解法4 原式=

limx→+∞3sinln1+3x-sinln13x-limx→+∞2sinln1+2x-sinln12x

=3（sinlnt）′|t=1-2（sinlnt）′|t=1

=1t（coslnt）|t=1=1.

分析4 對于該極限問題，學生首先想到的可能是無窮小代換，但注意教材上結(jié)論只適用于乘積（商）的極限中，對于和差中的因子卻不能直接替換，注意到此問題后，有解法5.

解法5 當x→0時，sinln（1+x）～ln（1+x）～x，

原式=limx→+∞sinln1+3x1x-limx→+∞sinln1+2x1x

=limx→+∞3x1x-limx→+∞2x1x=3-2=1.

三、小 結(jié)

極限概念幾乎貫穿于整個高等數(shù)學的學習中，極限形式的豐富多彩決定了求極限方法的多種多樣.學生可在求解極限的過程中，將思維指向不同的方向，運用過去學過的各種概念、定理、公式等數(shù)學知識多種途徑、多角度地去探索，這樣可加深對所學過的知識的記憶、理解與運用，提高學生的發(fā)散思維能力，更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì).

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：第6版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]樊映川，等.高等數(shù)學講義[M].北京：高等教育出版社，1964.