例談巧取倒數(shù)妙求特殊分式的值、比較大小

張前

【摘要】通過(guò)計(jì)算求值、比較大小，是初中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型，也是學(xué)生學(xué)習(xí)必須具備的基本技能，其中有些難度較大的特殊分式的求值問(wèn)題、比較大小問(wèn)題，若直接求解，往往無(wú)從下筆，如果變換思路，根據(jù)題目條件或所求結(jié)論，倒過(guò)來(lái)求解，則立即奏效，變難為易，此為倒數(shù)法.

【關(guān)鍵詞】倒數(shù)法;特殊分式求值;比較大小

倒數(shù)法分式求值的基本思路是：涉及的分子是單項(xiàng)式，分母是多項(xiàng)式的求值問(wèn)題時(shí)，直接求解往往有困難，可考慮它的倒數(shù)，將分式的分子和分母顛倒位置，再利用分式的加減法綜合題目條件求解;而倒數(shù)法比較特殊分式大小的基本思路是：涉及的分子是單項(xiàng)式，分母是多項(xiàng)式的比較大小問(wèn)題時(shí)，直接比較或用作差法比較往往很困難，此時(shí)考慮它們的倒數(shù)，將分式的分子和分母顛倒位置，再利用分式的加減法綜合題目條件，從而得出所求結(jié)論;下面來(lái)舉例進(jìn)行分析.

一、巧變形，妙求值：變形已知條件或待求式，求特殊分式的值

例1 已知xx2-3x+1=15，求x2x4+x2+1的值.

分析 將已知等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：x2-3x+1x=5，整理得：x+1x=8，而待求式子的倒數(shù)為x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1，將x+1x=8整體代入，求出待求式子的值.

點(diǎn)撥 本題中，通過(guò)方程，以學(xué)生的已有知識(shí)無(wú)法解出x的值，故采用倒數(shù)法，先求已知條件的倒數(shù)，再求所求式子的倒數(shù)，使問(wèn)題的解答得以簡(jiǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，而公式變形本身也是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn);同時(shí)也體現(xiàn)了整體思想.

反思 若給出的已知條件是一元二次方程，求分式的值，所用的方法是否依然可行？

變式 已知a2-3a+1=0，求a2a4+1的值.

解析 當(dāng)然可行.由題意得：a≠0.先將已知等式移項(xiàng)后兩邊同時(shí)除以a，整理可得：a+1a=3，而所求式子的倒數(shù)為：a4+1a2=a2+1a2=a+1a2-2，將a+1a=3整體帶入，解出所求式子的值.這就是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)之中所提倡的“反思與解釋”，也是數(shù)學(xué)理性精神之中的“理性反思”——在反思中求變、變中有不變、變中找不變.

例2 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，求abcab+bc+ca的值.

分析 發(fā)現(xiàn)本題所求的式子無(wú)法再化簡(jiǎn)，也不能直接把已知條件代入，而根據(jù)條件直接求出a，b，c的值，再帶入求值的方法顯然是不可取的，因此，只能將已知條件和待求式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化尋找突破口.我們來(lái)采用倒數(shù)法進(jìn)行求解.由已知條件顯然有a，b，c都不為0，將三個(gè)已知條件利用倒數(shù)的知識(shí)，得到：a+bab=3，b+cbc=4，cac+a=5，再將三個(gè)等式左邊拆分可得：1b+1a=3……①，1c+1b=4……②，1a+1c=5……③，由①+②+③得：1a+1b+1c=6.根據(jù)之前結(jié)論，再次利用倒數(shù)法先求出所求式子值的倒數(shù)，從而求出原分式的值.

解 ∵aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，

∴a，b，c都不為0，

∴a+bab=3，b+cbc=4，cac+a=5，

∴1b+1a=3，①

1c+1b=4，②

1a+1c=5.③

①+②+③得：21a+1b+1c=12，

∴1a+1b+1c=6，∴ab+bc+caabc=6，

∴abcab+bc+ca=16.

反思 若直接給出1a，1b，1c每?jī)蓚€(gè)的和，上述方法是否依然成立？

變式 已知1a+1b=16，1a+1c=19，1b+1c=115.求abcab+bc+ca的值.

解析 當(dāng)然成立.由已知的三個(gè)等式相加得到1a+1b+1c=31180.再將所求式的倒數(shù)形式表示出來(lái)進(jìn)行求值，所得值的倒數(shù)為所求式的值.

規(guī)律總結(jié)：不要一味地想到解方程求未知數(shù)的值，要用整體思想看條件和結(jié)論.本題的巧妙之處在于不是從已知條件和要求的形式入手，而是從它們的倒數(shù)入手，大幅度地降低了解題的難度，很巧妙地得到了分式的值.

二、巧妙變形，比較大?。鹤冃我阎獥l件或待求式，比較分式的大小

例3 已知a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，且ab

A.x>0

B.x≥0

C.x<0

D.x≤0

解 ∵a+bb=ab+1，c+dd=cd+1，

∴a+bb-c+dd=ab+1-cd+1，

∴a+bb-c+dd=ab-cd.

∵ab

∴a+bb-c+dd<0，

∴a+bb

∵a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，∴ba+b>dc+d，

∴ba+b-dc+d>0，∴x>0，故選A.

綜上所述，解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題，分析相關(guān)式子（已知的或待求的）在整體上的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)募记?，有時(shí)候需要幾種技巧融為一體，共同發(fā)揮作用.這樣變難為易，一目了然，可謂是“柳暗花明”了.