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    例談巧取倒數(shù)妙求特殊分式的值、比較大小

    2018-01-07 04:14:59張前

    張前

    【摘要】通過(guò)計(jì)算求值、比較大小,是初中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型,也是學(xué)生學(xué)習(xí)必須具備的基本技能,其中有些難度較大的特殊分式的求值問(wèn)題、比較大小問(wèn)題,若直接求解,往往無(wú)從下筆,如果變換思路,根據(jù)題目條件或所求結(jié)論,倒過(guò)來(lái)求解,則立即奏效,變難為易,此為倒數(shù)法.

    【關(guān)鍵詞】倒數(shù)法;特殊分式求值;比較大小

    倒數(shù)法分式求值的基本思路是:涉及的分子是單項(xiàng)式,分母是多項(xiàng)式的求值問(wèn)題時(shí),直接求解往往有困難,可考慮它的倒數(shù),將分式的分子和分母顛倒位置,再利用分式的加減法綜合題目條件求解;而倒數(shù)法比較特殊分式大小的基本思路是:涉及的分子是單項(xiàng)式,分母是多項(xiàng)式的比較大小問(wèn)題時(shí),直接比較或用作差法比較往往很困難,此時(shí)考慮它們的倒數(shù),將分式的分子和分母顛倒位置,再利用分式的加減法綜合題目條件,從而得出所求結(jié)論;下面來(lái)舉例進(jìn)行分析.

    一、巧變形,妙求值:變形已知條件或待求式,求特殊分式的值

    例1 已知xx2-3x+1=15,求x2x4+x2+1的值.

    分析 將已知等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得:x2-3x+1x=5,整理得:x+1x=8,而待求式子的倒數(shù)為x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1,將x+1x=8整體代入,求出待求式子的值.

    點(diǎn)撥 本題中,通過(guò)方程,以學(xué)生的已有知識(shí)無(wú)法解出x的值,故采用倒數(shù)法,先求已知條件的倒數(shù),再求所求式子的倒數(shù),使問(wèn)題的解答得以簡(jiǎn)化,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,而公式變形本身也是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn);同時(shí)也體現(xiàn)了整體思想.

    反思 若給出的已知條件是一元二次方程,求分式的值,所用的方法是否依然可行?

    變式 已知a2-3a+1=0,求a2a4+1的值.

    解析 當(dāng)然可行.由題意得:a≠0.先將已知等式移項(xiàng)后兩邊同時(shí)除以a,整理可得:a+1a=3,而所求式子的倒數(shù)為:a4+1a2=a2+1a2=a+1a2-2,將a+1a=3整體帶入,解出所求式子的值.這就是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)之中所提倡的“反思與解釋”,也是數(shù)學(xué)理性精神之中的“理性反思”——在反思中求變、變中有不變、變中找不變.

    例2 已知a,b,c為實(shí)數(shù),且aba+b=13,bcb+c=14,cac+a=15,求abcab+bc+ca的值.

    分析 發(fā)現(xiàn)本題所求的式子無(wú)法再化簡(jiǎn),也不能直接把已知條件代入,而根據(jù)條件直接求出a,b,c的值,再帶入求值的方法顯然是不可取的,因此,只能將已知條件和待求式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化尋找突破口.我們來(lái)采用倒數(shù)法進(jìn)行求解.由已知條件顯然有a,b,c都不為0,將三個(gè)已知條件利用倒數(shù)的知識(shí),得到:a+bab=3,b+cbc=4,cac+a=5,再將三個(gè)等式左邊拆分可得:1b+1a=3……①,1c+1b=4……②,1a+1c=5……③,由①+②+③得:1a+1b+1c=6.根據(jù)之前結(jié)論,再次利用倒數(shù)法先求出所求式子值的倒數(shù),從而求出原分式的值.

    解 ∵aba+b=13,bcb+c=14,cac+a=15,

    ∴a,b,c都不為0,

    ∴a+bab=3,b+cbc=4,cac+a=5,

    ∴1b+1a=3,①

    1c+1b=4,②

    1a+1c=5.③

    ①+②+③得:21a+1b+1c=12,

    ∴1a+1b+1c=6,∴ab+bc+caabc=6,

    ∴abcab+bc+ca=16.

    反思 若直接給出1a,1b,1c每?jī)蓚€(gè)的和,上述方法是否依然成立?

    變式 已知1a+1b=16,1a+1c=19,1b+1c=115.求abcab+bc+ca的值.

    解析 當(dāng)然成立.由已知的三個(gè)等式相加得到1a+1b+1c=31180.再將所求式的倒數(shù)形式表示出來(lái)進(jìn)行求值,所得值的倒數(shù)為所求式的值.

    規(guī)律總結(jié):不要一味地想到解方程求未知數(shù)的值,要用整體思想看條件和結(jié)論.本題的巧妙之處在于不是從已知條件和要求的形式入手,而是從它們的倒數(shù)入手,大幅度地降低了解題的難度,很巧妙地得到了分式的值.

    二、巧妙變形,比較大?。鹤冃我阎獥l件或待求式,比較分式的大小

    例3 已知a,b,c,d都是正實(shí)數(shù),且ab

    A.x>0

    B.x≥0

    C.x<0

    D.x≤0

    解 ∵a+bb=ab+1,c+dd=cd+1,

    ∴a+bb-c+dd=ab+1-cd+1,

    ∴a+bb-c+dd=ab-cd.

    ∵ab

    ∴a+bb-c+dd<0,

    ∴a+bb

    ∵a,b,c,d都是正實(shí)數(shù),∴ba+b>dc+d,

    ∴ba+b-dc+d>0,∴x>0,故選A.

    綜上所述,解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題,分析相關(guān)式子(已知的或待求的)在整體上的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)募记?,有時(shí)候需要幾種技巧融為一體,共同發(fā)揮作用.這樣變難為易,一目了然,可謂是“柳暗花明”了.

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