一類廣義歐拉型級(jí)數(shù)

鄭子華 楊思捷

【摘要】 本文研究了整函數(shù)f（z）=∑ ∞ k=0 ?znk （nk）！ 的性質(zhì)，包括它的對(duì)稱性、幾種有用的表達(dá)式和它的零點(diǎn)分布，然后利用根與系數(shù)關(guān)系推廣了萊昂哈德·歐拉在1735年發(fā)現(xiàn)的級(jí)數(shù)1+ 1 32 + 1 52 + 1 72 +…= π2 8 ，我們得到一類廣義歐拉型級(jí)數(shù).

【關(guān)鍵詞】 廣義歐拉型級(jí)數(shù);母函數(shù)法

一、源函數(shù)的定義及基本性質(zhì)

定義 ??z∈ C ，設(shè)n≥2為正整數(shù)，n次源函數(shù)由泰勒級(jí)數(shù)f（z）=1+ zn n！ + z2n （2n）！ +…=∑ ∞ k=0 ?znk （nk）！ 定義.

性質(zhì) ?（1）設(shè)ε=e 2πi n ，則f（εz）=f（z）.

（2）f（z ）=f（z） .

證 ?（1）f（εz）=∑ ∞ k=0 ?znkεnk （nk）！ =∑ ∞ k=0 ?znk （nk）！ =f（z）.

（2）由源函數(shù)的定義馬上得到.

注：由性質(zhì)（1），若f（ρ）=0，則f（ερ）=0;由性質(zhì)（2），f（z）的所有零點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.

定理一 ?f（z）的3種表達(dá)式：（?。ゝ（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk.

（ⅱ）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

f（z）= 1 n? ez+2∑ ?n-1 2 ?k=1 ecos 2π n kcos zsin 2π n k? .

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

f（ ε z）= 2 n ∑ ?n-2 2 ?k=0 ezcos ?π n （2k+1） cos zsin π n （2k+1） .

（ⅲ）f（z）=∏ ∞ k=1 ?1- zn ρnk? （ρk為源函數(shù)在某一零點(diǎn)射線上第k個(gè)零點(diǎn)）.

證 ?（?。┒xg（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk，易證 dnk ?1 n ∑ n-1 k=0 ezεk ?dnkz = 1（k∈ N +），對(duì)于若m≠n·k，恒有 dm? 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk ?dmz =0，所以g（z）=∑ ∞ k=0 ?g（k）（0） k！ zk= 1 n ∑ ∞ k=0 ?znk （nk）！ =f（z）.

（ⅱ）① 若n為奇數(shù)，

f（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk

= 1 n? ez+∑ ?n-1 2 ?k=1 （ezcos 2π n k+izsin 2π n k+ezcos 2π n （-k）+izsin 2π n （-k））

= 1 n? ez+2∑ ?n-1 2 ?k=1 ezcos 2π n kcos zsin 2π n k? .

② 若n為偶數(shù)，

f（ ε z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk ε = 1 n ∑ n-1 k=0 ezε 2k+1 2

= 1 n ∑ ?2n-2 2 ?k=0 （ezε 2k+1 2 +ezε- 2k+1 2 ）

= 2 n ∑ ?n-2 2 ?k=0 ezcos ?π n （2k+1） cos zsin π n （2k+1） .

（ⅲ）由性質(zhì)（2），f（z）的零點(diǎn)均可以表示為ρk，ερk，ε2ρk，…，εn-1ρk（ρk為n次源函數(shù)在某一零點(diǎn)射線上第k個(gè)零點(diǎn)）.可以證明，∏ n-1 m=0 ?1- z ρkεm? =1- zn ρnk ，由f（z）為整函數(shù)知f（z）=∏ ∞ k=1 ∏ n-1 m=0 ?1- z ρkεm? =∏ ∞ k=1 ?1- zn ρnk? .

定理二 ?定義函數(shù)F（z）=∑ r j=1 eajzcosbjz（aj，bj∈ R ，j，r∈ N +）;設(shè)ρk為F（z）在（-∞，0）內(nèi)第k個(gè)零點(diǎn)，ρk′為函數(shù)y=eakzcosbkz在（-∞，0）內(nèi)第k個(gè)零點(diǎn)，其中ak=min{a1，a2，…}.則當(dāng)z→-∞時(shí)，存在整數(shù)m，滿足 lim k→+∞ |ρk+m-ρk′|=0.

證 ?左右兩邊同時(shí)除以eak得 F（z） eak =cosbkz+∑ ?1≤j≤r j≠k ?e（aj-ak）zcosbjz，由ak=min{a1，a2，…}，得aj-ak>0（j≠k），所以lim z→-∞ e（aj-ak）zcosbjz=0，即∑? 1≤j≤r j≠k? e（aj-ak）zcosbjz=0.注意到函數(shù)y=cosbkz在z→-∞時(shí)不收斂，則當(dāng)z→-∞時(shí)，存在整數(shù)m，滿足 lim k→+∞ |ρk+m-ρk′|=0.

推論 ?設(shè)|ρk|為n次源函數(shù)在某一零點(diǎn)射線上第k個(gè)零點(diǎn)的模，則存在只與n有關(guān)的整數(shù)m，滿足 lim k→+∞ ??2sin π n? π ·|ρk+m|-（2k+1） =0.

定義 ?nk= 2sin π n? π ·|ρk|.例如，對(duì)三次源函數(shù)，我們可以算得n1≈1.020，n2≈3.000，n3≈5.000.

二、廣義歐拉型級(jí)數(shù)

考查n次源函數(shù)f（z）=∏ ∞ k=1 ?1- zn ρnk? =∑ ∞ k=0 ?znk （nk）！ ，對(duì)比zn這一項(xiàng)的系數(shù)知-∑ ∞ k=1 ?1 ρnk = 1 n！ ，即∑ ∞ k=1 ?1 nnk =- πn 2nsinn π n? ∑ ∞ k=1 ?1 ρnk = πn 2nn！sinn π n? .我們把這類恒等式叫作廣義歐拉級(jí)數(shù)，下面列出二至四次源函數(shù)生成的廣義歐拉級(jí)數(shù).

1+ 1 32 + 1 52 + 1 72 +…= π2 8 （由二次源函數(shù)生成），

1 1.0203 + 1 3.0003 + 1 5.0003 + 1 7.0003 +…= π3 18 3? （由三次源函數(shù)生成，零點(diǎn)的數(shù)值保留三位小數(shù)），

1+ 1 34 + 1 54 + 1 174 +…= π4 96 （由四次源函數(shù)生成）.