數(shù)學(xué)讓未來先來

陳六一

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》對于“用數(shù)對確定位置”的教學(xué)，有以下說明：“需要先在方格紙上標明正整數(shù)的刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對與方格紙上點（行列或者列行）的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間可以進行比較，這個過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標系?！盵1]特級教師周衛(wèi)東近日在我校以“小鴨在哪兒”為題，引導(dǎo)四年級學(xué)生學(xué)習(xí)“用數(shù)對確定位置”，可謂深刻體現(xiàn)了這一主旨。

【片段一】為什么是數(shù)對？

教學(xué)開始，老師出示

師：如何表示小鴨走到了哪里？

生：小鴨從0點出發(fā)向右走了5格。

師：這位同學(xué)的回答包含了兩條信息：一是向右，二是5格。

生：如果只有方向沒有距離，不能確定小鴨的位置；如果只有距離而沒有方向，也不能確定小鴨的位置。

師：小鴨不滿足于在一條線上行走，（隨機板書：線）世界這么大——

生：我想去看看。

老師接著出示

師：怎樣表示小鴨現(xiàn)在的位置呢？

生1：小鴨在第一格的上面。

生2：需要知道小鴨與橫線的距離。

生3：再加一條豎著的標注距離的線，就可以準確描述小鴨的位置了。

老師讓學(xué)生根據(jù)討論的想法，畫出需要的元素，學(xué)生統(tǒng)一到下圖：

師：那么這個點和哪兩條線有關(guān)系？

學(xué)生上黑板比畫如下：

師：那我們可以看到小鴨現(xiàn)在的位置分明就是兩條線的交點，即——

生：第1列第2行。

師：小鴨又游到了B和C的位置，如下圖，怎么表示？

生1：第2列第1行。

生2：第4列第3行。

師：畫面上這樣的點還有很多吧？為了研究的方便，老師把網(wǎng)格畫全，那么左下角這個點是否可以優(yōu)化一下？

生：把兩個0寫成一個0就好。

師：數(shù)學(xué)家在研究描述位置的時候，從未停止過腳步，而且數(shù)學(xué)是人類共同的語言，我們這樣的描述既不簡單，也不容易推廣，你們覺得可以怎樣描述更好一些？

生1：列2行1。

生2：因為有中文，不好。

生3：1∕2。

生4：也不好，容易和分數(shù)混淆。

生5：2| 1—。

生6：雖然好理解，但“|”和“—”容易和羅馬數(shù)字混淆，也不太美觀。

生7：1，2。

生8：既簡潔，又容易理解，只是1和2應(yīng)該是一個整體，如果加一個括號就更好了。

【賞析】確定物體的位置，在生活中是結(jié)合方位詞來描述的，常用的方位詞有：東、南、西、北、東南、東北、西南、西北、上、中、下、前、后、左、右、里、外。如果表述座位或者隊列中的位置，常用的方位詞是：第幾排第幾個。因此，周老師在教學(xué)起始之際，讓學(xué)生用方向和距離描述直線上的行走路徑，前述方位詞足夠滿足定位需要。但是，小鴨要去看世界，不在同一條線上游走了，那僅用方位詞就不夠了，這就需要創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法。

回顧片段一的教學(xué)，要表示出物體的動態(tài)或者說運動中的位置，顯然學(xué)生曾經(jīng)的所學(xué)無法滿足需求。周老師也正是以此為任務(wù)，逼迫著學(xué)生將橫線上的思考“立”起來，構(gòu)成兩個維度上的方向及距離。這樣，學(xué)生在平衡之處失衡，同時重新尋找平衡，即同化與順應(yīng)同時發(fā)生，直角坐標系這個本屬于未來的知識，被學(xué)生表征了出來。

同時，老師讓學(xué)生用自己的方式表達坐標系中的點，學(xué)生在創(chuàng)造符號的過程中，感悟了數(shù)學(xué)之所以深刻，是因為其任何一次擴張，都是一種思維的提升，其每一個規(guī)定，都是出于準確性的需要。這樣在否定肯定各種數(shù)對的表達中，學(xué)生明顯能感受到自己智力在拓開，那么創(chuàng)新這種品質(zhì)因為有了經(jīng)驗的積累，便積淀成了素養(yǎng)，化作學(xué)生的下意識。

【片段二】數(shù)對有什么用？

師：你能設(shè)計四只小鴨排成一個花樣游泳的圖案嗎？用數(shù)對表示它們的位置。

生：（1，4）、（3，4）、（1，2）、（3，2），它們排成了一個正方形。

師：先橫著看，再豎著看，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：橫著看，豎著看，每兩只小鴨相隔的距離都相等。

師：我們來消化一下這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，能用數(shù)對間的關(guān)系來解釋你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：（1，4）、（3，4）這兩只小鴨在同一行上，3-1=2格，同樣（1，2）、（3，2）這兩只小鴨在同一行上，還是3-1=2格；而（1，4）、（1，2）這兩只小鴨在同一列上，4-2=2格，同樣（3，4）、（3，2），這兩只小鴨在同一列上，還是4-2=2格。

師：河面上還剩下2只小鴨，小白鴨說“我來做原點”，小黃鴨在哪里？

生：（1，1）。

師：小黃鴨再動一動，游到了哪里？如下圖：

生：（2.5，2.5）。

師：哪里來的2.5？

生：再畫兩條線就好了。（上臺在PPT上描述這兩條線相交于小黃鴨。）

師：是呀，不是所有的數(shù)字都會明明白白地寫出來，我們還可以在腦海里想象出沒有畫出的知識。

師：小黃鴨再動一動，游到了哪里？

生：（1，1）。

師：兩只小鴨玩累了，竟睡著了，軸也漂走了（如下圖），當小白鴨醒來睜開眼一看，發(fā)生了什么？

生：小白鴨的位置由（0，0）變成了（1，1），小黃鴨的位置由之前的（1，1）變成了（2，2）。

師：看來位置由誰決定？

生：軸。

師：軸由誰決定？

生：原點。原點動了，軸也就動了。

師：小黃鴨說“我再動一下”，如下圖，到哪兒了？

生：（-2，2）。

【賞析】有了縱橫兩個維度，點和數(shù)對就一一對應(yīng)了起來，有了數(shù)對，我們就可以研究物體的位置規(guī)律了。在片段二的教學(xué)中，周老師先是通過學(xué)生自行設(shè)計小鴨花樣游泳成正方形，來感受為什么要建立點與數(shù)對的關(guān)系。正如張奠宙先生所言：“為什么要建立數(shù)對和格點之間的對應(yīng)關(guān)系呢？是為了今后建立坐標系，為了研究曲線和方程。當然，小學(xué)里不可能也不必要說清楚建立坐標系的真正意義，但舉幾個容易體現(xiàn)坐標價值的示例還是不難做到的?！盵2]所以老師在課堂中引導(dǎo)學(xué)生分析“每兩只小鴨相隔的距離為什么都相等”。當然，如果再往前走一步，讓學(xué)生感受（1，2）、（1，4）構(gòu)成的邊向右平移兩格便是（3，2）、（3，4），（1，2）、（3，2）構(gòu)成的邊向上平移兩格便是（1，4）、（3，4），學(xué)生會感悟并積累對形的分析可以借助數(shù)的運算，數(shù)的運算也可以由形的直觀支撐。

事實上，用數(shù)來描述幾何圖形，其目的正是為了數(shù)形結(jié)合，學(xué)生看到了根據(jù)數(shù)對的某種特性，在幾何學(xué)上就可以表現(xiàn)出許多不同的直線。所以不乏名師們會設(shè)計（x，3）、（3，x）、（x，x）、（x，y）之類的變式辨析，就是同一個道理。

尤其值得再提及的是，周老師沒有讓學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光局限于第一象限，軸漂走了小黃鴨游到了軸外的設(shè)計，既讓學(xué)生體悟到了位置的相對性，又讓學(xué)生經(jīng)歷了整數(shù)對無法確定位置的失衡，從而將思維打開，負數(shù)就滿足重新建立平衡的需要，盡管這些知識是中學(xué)的，但學(xué)生已然明了為什么象限需要補充。不乏老師喜歡教學(xué)生用未來的知識解決當下的問題，可謂拔苗助長；但是周老師卻引導(dǎo)學(xué)生用眼前的知識解決了未來的問題，學(xué)生的智力邊疆得以拓寬，思維品質(zhì)得以加厚，這樣才算真正把學(xué)生當作學(xué)習(xí)的主體，才算學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

總之，縱觀上述兩個片段的教學(xué)，周老師引領(lǐng)學(xué)生從線上點的位置確定，遷移到用有序的整數(shù)數(shù)對、負數(shù)數(shù)對，確定面上的點的位置，感悟著代數(shù)數(shù)對對形的抽象；而且注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注起始點、標注兩個方向的刻度、定數(shù)對的順序，并據(jù)此滲透其幾何與圖形教學(xué)的價值，這正是有效教學(xué)要實現(xiàn)的過程性目標。同時，將點動起來，將數(shù)對代數(shù)化、關(guān)系化，又為今后學(xué)習(xí)變量、運動類的數(shù)學(xué)播下了種子。因為學(xué)生對數(shù)對的表征，已與未來的平面直角坐標系相吻合，這種高于生活的幾何學(xué)表示，正是笛卡爾當年提出的解析幾何的思想內(nèi)涵。

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校）

參考文獻

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：97.

[2]張奠宙，鞏子坤等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：225.