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    “銳角三角函數”難點透析

    2017-12-25 02:18:17劉春陽
    初中生世界 2017年47期
    關鍵詞:銳角三角函數坡角銳角三角

    劉春陽

    “銳角三角函數”難點透析

    劉春陽

    銳角三角函數是初中數學的重要內容,也是中考重點考查內容之一,其涉及的知識點和數學思想方法較多.下面就三角函數的難點和解決問題的辦法進行解讀,希望對同學們有所幫助.

    難點一 銳角三角函數的概念

    例1 (2017·綏化)某樓梯的側面如圖1所示,已測得BC的長約為3.5米,∠BCA約為29°,則該樓梯的高度AB可表示為( ).

    圖1

    【難點】銳角三角函數正弦的概念.

    【解析】在Rt△ABC中,根據正弦的概念可知sin∠BCA等于∠BCA的對邊與斜邊的比,即3.5sin29°(米).

    【答案】選A.

    難點二 特殊角的三角函數值

    例2 (2016·衢州)如圖2,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的點,過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E,若∠A=30°,則sin∠E的值為( ).

    圖2

    【難點】特殊角的三角函數值.

    【解析】連接OC,由CE是⊙O切線,可證得OC⊥CE,又由圓周角定理,求得∠BOC的度數,繼而求得∠E的度數,然后由特殊角的三角函數值,求得sin∠E的值.

    圖3

    解:連接OC,如圖3,

    ∵CE是⊙O切線,∴OC⊥CE.

    ∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,

    故選A.

    難點三 解直角三角形

    例3 (2016·紹興)如圖4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以點A為圓心,BC長為半徑畫弧交AB于點D,分別以點A、D為圓心,AB長為半徑畫弧,兩弧交于點E,連接AE,DE,則∠EAD的余弦值是( ).

    圖4

    【難點】解直角三角形.

    【解析】設BC=x,由含30°角的直角三角形的性質得出AC=2BC=2x,求出AB=3BC=,根據題意得出AD=BC=x,AE=DE=AB=,作EM⊥AD于M,由等腰三角形的性質得出A在Rt△AEM中,由三角函數的定義即可得出結果.

    【答案】選B.

    難點四 銳角三角函數在實際問題中的應用

    1.構建兩個直角三角形和一個矩形.

    例4 (2016·海南)如圖5,在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點A、C、E在同一直線上.

    (1)求斜坡CD的高度DE;

    (2)求大樓AB的高度(結果保留根號).

    圖5

    【難點】銳角三角函數的應用——仰角、俯角、坡度、坡角問題.

    【解析】(1)在直角△DCE中,利用銳角三角函數定義求出DE的長即可;

    (2)過D作DF垂直于AB,交AB于點F,可得出三角形BDF為等腰直角三角形,設BF=DF=x,表示出BC,BD,DC,由題意得到△BCD為直角三角形,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可確定出AB的長.

    解:(1)在Rt△DCE中,DC=4,∠DCE=30°,∠DEC=90°,

    (2)過D作DF⊥AB,交AB于點F,

    ∵∠BFD=90°,∠BDF=45°,

    ∴∠DBF=45°,即△BFD為等腰直角三角形,設BF=DF=x,

    ∵四邊形DEAF為矩形,

    ∴AF=DE=2(米),即AB=(x+2)米,

    在Rt△ABC中,∠ABC=30°,

    DC=4,∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,

    ∴∠DCB=90°.

    在Rt△BCD中,根據勾股定理得:

    解得:x=4+43或x=4-43(舍去),

    ∴AB=(6+43)米.

    2.構建多個直角三角形.

    例5 (2017·荊門)金橋學?!翱萍俭w藝節(jié)”期間,八年級數學活動小組的任務是測量學校旗桿AB的高.他們在旗桿正前方臺階上的點C處,測得旗桿頂端A的仰角為45°,朝著旗桿的方向走到臺階下的點F處,測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的高度BE為1米,點C距地面的高度CD為3米,臺階CF的坡角為30°,且點E,F,D在同一條直線上.求旗桿AB的高.(計算結果精確到0.1米,參考數據: 2≈1.41, 3=1.73).

    圖6

    【難點】解直角三角形的應用.

    【解析】過點C作CM⊥AB于M,如圖6,則四邊形MEDC是矩形,設EF=x,根據AM=DE,列出方程即可解決問題.

    【答案】旗桿AB的高度約為18.4米.

    解決銳角三角函數的應用問題,要把實際問題轉化為數學問題,構建直角三角形問題來解決,這也體現了“轉化”“建模”的數學思想.

    江蘇省宿遷市鐘吾初級中學)

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