銳角三角函數(shù)中的不確定因素

雍艷梅

銳角三角函數(shù)中的不確定因素

雍艷梅

數(shù)學中的分類討論就是根據(jù)數(shù)學現(xiàn)象的本質(zhì)屬性的相同點或者不同點，將數(shù)學對象劃分為不同種類的一種數(shù)學思想.在解決數(shù)學問題時，如果問題不能以同一種方法處理，就需要按照某一確定的標準，在比較的基礎(chǔ)上，然后進行分類討論，再把這幾條結(jié)論匯總，從而得出問題的答案.

銳角三角函數(shù)的定義揭示了直角三角形中的銳角與邊之間的關(guān)系，在銳角三角函數(shù)的學習過程中，經(jīng)常會遇到一些邊、角、點、形等位置不明確的問題.這個時候就需要我們審清題意，分清情況，畫出圖形，分類型討論，探索解決問題.應(yīng)用分類討論思想解決問題的關(guān)鍵是弄清何時分類、為何分類、如何分類.下面結(jié)合幾個問題，和同學們一起體會分類討論思想在解決三角函數(shù)問題中的應(yīng)用.

一、由邊的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，兩邊長分別為3和4，求sinA的值.

解：（1）若3和4為直角邊長度：

①如圖 1，當 BC=4，AC=3時，AB=5，則sinA的值為；

②如圖 2，當 BC=3，AC=4時，AB=5，則sinA的值為.

圖1

圖2

（2）若3和4分別是直角邊和斜邊的長度：

④如圖4，當AB=4，AC=3時，BC=7 ，則sinA的值為

圖3

圖4

【啟示】當我們求銳角三角函數(shù)值的問題時，發(fā)現(xiàn)直角三角形中斜邊和角的對邊的位置未確定，這時需要分類討論.

二、由角的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例2 已知，在△ABC中，AB=5，BC=4，S△ABC=8，求tanC.

【分析】為了求tanC，根據(jù)正切的定義，需要構(gòu)造直角三角形，故作高AD.可由BC=4，S△ABC=8，三角形的面積公式求出AD=4.再利用勾股定理求出BD的長，由于有∠B是銳角和∠B是鈍角兩種情況，因此本題需要根據(jù)角的不同位置，分類畫出圖形，分別求出CD的長，然后根據(jù)求出tanC的值.

解：（1）若∠ABC是銳角，作高AD，如圖5，

圖5

（2）若∠ABC是鈍角，如圖6，

圖6

【啟示】當我們遇到角的位置不確定時，常常需要分類討論.根據(jù)角進行分類討論，可分為角是銳角和鈍角兩種情況.

三、由點的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

【分析】認真審題可以發(fā)現(xiàn)，點D可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，依據(jù)題意畫出兩種情況下的圖形，再將∠BCD構(gòu)造在直角三角形中，依據(jù)銳角三角函數(shù)定義解決問題.

解：（1）如圖7，當點D在線段AB上時，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，

圖7

（2）如圖8，當點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，

圖8

【啟示】當動點的位置不確定時，需要分類討論.根據(jù)動點在線段上和在線段的延長線上分別畫出圖形，再構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解決問題.

四、由形的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例4 在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點P（1，1），與x軸交于點A，與y軸交于點B，且tan∠ABO=3，求A點的坐標.

【分析】本題考查了三角函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用，由于一次函數(shù)y=kx+b與x軸交點A的位置不確定，從而導致Rt△ABO圖像位置不確定.因此應(yīng)按形的位置分類討論，即分△ABO在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況.分別畫出圖形，再依據(jù)條件tan∠ABO=3，構(gòu)造直角三角形解決問題.

解：（1）當k＞0時，△ABO位置如圖9所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖9

（2）當k＜0時，△ABO的位置如圖10所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖10

解得AC=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

綜上，A的坐標為（-2，0）或（4，0）.

【啟示】當角所在的三角形位置不確定時，需要分類討論，考慮k＞0和k＜0兩種情況，通常作x軸或y軸的垂線來構(gòu)造直角三角形，從而將點的坐標轉(zhuǎn)換為線段的長，再綜合利用知識，解決問題.

分類討論，既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種數(shù)學解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，使知識條理化，訓練思維的嚴謹性.所以它既是思想又是方法，同時也是一種思維習慣.在應(yīng)用分類討論思想解決問題時，一定要明確何時、何類、為何分類，這樣才能不重不漏，使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴密的完美解答.

小試牛刀

1.已知：在等邊△ABC中，點P是直線BC上一點，且PC∶BC=1∶4，則tan∠APB=________.

2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點P在邊AB上，若△APC為以AC為腰的等腰三角形，則tan∠BCP=_____ .

（關(guān)注公眾號，回復(fù)“2017年12月數(shù)學”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學）