等差數(shù)列和等比數(shù)列的另類刻畫

李啟超

(北京市十一學(xué)校數(shù)學(xué)教研組 100039)

1 試題的回顧與比較

2017年1月中旬舉行的清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試數(shù)學(xué)部分(共40道不定向選擇題)包含如下一道題目：

(2017年-清華能力測試-33題)已知a1,a2,…,an(n≥3)不是等差數(shù)列，且滿足

①0≤a1

A.3 B. 4 C. 5 D. 6

事實上，本題有2009年高考理科北京卷壓軸題和2014年北京市順義區(qū)的一道高考模擬題的明顯背景.

(Ⅰ) 分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；

(Ⅲ) 證明：當(dāng)n=5時，a1,a2,a3,a4,a5成等比數(shù)列.

(2014年-順義二模-20題) 已知集合A={a1,a2,…,an}(1≤a1

(Ⅰ) 分別判斷集合M={0,2,4}與N={1,2,3}是否具有性質(zhì)Q；

(Ⅲ)當(dāng)n=3,4或5時集合A中的數(shù)列{an}是否一定成等差數(shù)列? 說明理由．

試題的賞析與探究2009年北京高考數(shù)學(xué)壓軸題第(Ⅲ)問要求考生證明滿足性質(zhì)P的有限數(shù)列{a1,a2,a3,a4,a5}是等比數(shù)列，題干簡潔，結(jié)論優(yōu)雅，令人耳目一新. 作為這道題的變式題，2014年順義區(qū)二模壓軸題將等比數(shù)列的性質(zhì)P巧妙地遷移到等差數(shù)列情形，結(jié)論也與等比數(shù)列情形類似.本文第二部分，我們將采用“有序化”和“一一對應(yīng)”的策略，證明這兩道題的推廣形式，即：滿足性質(zhì)P的數(shù)列a1,a2,…,an(n≥3)，在n≠4時一定是等比數(shù)列；滿足性質(zhì)Q的數(shù)列a1,a2,…,an(n≥3)，在n≠4時一定是等差數(shù)列. 據(jù)此結(jié)論我們不難解答上面的三道試題.

2 等差數(shù)列和等比數(shù)列的另類刻畫

本節(jié)我們證明上述問題的兩個推廣形式，相應(yīng)的結(jié)論可以看作一類有限等差、等比數(shù)列的另類刻畫.

命題1已知數(shù)集A={a1,a2,…，an}

anan>anan-1>…>ana2>an,

可知B∩A=?，根據(jù)性質(zhì)P，有

我們得到集合A中元素的一個重排，如下方數(shù)表所示：

a1,a2,a3,…,an-3,an-2,an-1,ananan,anan-1,anan-2,…,ana4,ana3,ana2,ana1,

ai·aj+1=an, 1≤i≤j≤n-1,i+j=n,

(1)

特殊地，a2·an-1=an,a3·an-2=an.

當(dāng)n>4時，我們考慮集合C={an-1an-1,an-1an-2,…,an-1a3}，這時集合C中有n-3個元素. 因為an-1an-1>an-1an-2>…>an-1a3>an-1a2=an,由性質(zhì)P可知

={a1,a2,a3,…,an-3}，

于是我們得到如下數(shù)表(這里要求n>4)：

a1,a2,a3,…,an-3,an-2,an-1,anan-1an-1,an-1an-2,an-1an-3,…,an-1a3,an-2,an-1,an

ai·aj=an-1, 1≤i≤j≤n-1,i+j=n,

(2)

比較(1)(2)兩式，我們得到

于是，數(shù)列a1,a2,…,an(n≥5)是首項a1=1, 公比q=a2的等比數(shù)列；

當(dāng)n=4時，任意集合{1,a1,a2,a1a2},a2>a1>1滿足性質(zhì)P，但不一定為等比數(shù)列. 證畢.

說明1文獻(xiàn)[1]中通過分類討論n的奇偶性證明了相同的結(jié)論.

命題2已知數(shù)集A={a1,a2,…，an}(0≤a1

證明本題證明與上一題類似. 我們?nèi)中最大的數(shù)an，由an>0，an+an?A，所以an-an=0∈A，于是A中最小數(shù)a1=0. 考慮集合

B={an+a2,an+a3,…,an+an}，

因為

an+an>an+an-1>…>an+a2>an,

可知B∩A=?，根據(jù)性質(zhì)Q，有

{an-a2,an-a3,an-a4,…,an-an}?A，

又因為an-a1∈A,且an-a1>an-a2>an-a3>…>an-an，我們得到集合A中元素的一個重排，如下方數(shù)表：

a1,a2,a3,…,an-2,an-1,anan-an,an-an-1,an-an-2,…,an-a3,an-a2,an-a1

在這個2×n數(shù)表中，每一列的數(shù)兩兩相等，也就是ai=an-an+1-i,i=1,2,…,n，我們將它等價地表述為

ai+aj+1=an, 1≤i≤j≤n-1,i+j=n,

(3)

特殊地，a2+an-1=an,a3+an-2=an.

容易知道，當(dāng)n=3時，a1=0,a2,a3=2a2成等差數(shù)列；

當(dāng)n>4時，我們考慮集合C={an-1+an-1,an-1+an-2,…,an-1+a3}，這時集合C中有n-3個元素. 因為an-1+an-1>an-1+an-2>…>an-1+a3>an-1+a2=an， 由性質(zhì)Q可知

{an-1-an-1,an-1-an-2,an-1-an-3,…,an-1-a3}?A,n≥5，

又因為an-1-an-1

{an-1-an-1,an-1-an-2,an-1-an-3,…,an-1-a3}={a1,a2,a3,…,an-3}，

于是我們得到如下數(shù)表(要求n>4)：

在這個2×n數(shù)表中每一列的數(shù)都是相等的，從而ai=an-1-an-i,i=1,2,…,n-3，并且，a2=an-1-an-2?a2+an-2=an-1,a1+an-1=an-1. 我們將這幾個式子等價地表述為：

ai+aj=an-1, 1≤i≤j≤n-1,i+j=n,

(4)

比較(3)(4)兩式，我們得到aj+1-aj=an-an-1=a2,j=1,2,…,n-1.

于是數(shù)列a1,a2,…,an(n≥5)是首項a1=0, 公差d=a2的等差數(shù)列；

當(dāng)n=4時，任意集合{0,a1,a2,a1+a2},a2>a1>0滿足性質(zhì)Q，但不一定為等差數(shù)列. 證畢.

說明2事實上，等差數(shù)列和正數(shù)等比數(shù)列相差一個對數(shù)變換，因而命題2和命題1在本質(zhì)上是同構(gòu)的.