讓探究成為習(xí)慣 使學(xué)習(xí)更加自然
——以“等比數(shù)列的前項n和”教學(xué)為例

吳新建

(江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 215600)

1 問題的提出

蘇霍姆林斯基說:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.在兒童的精神世界中,這種需要特別強烈.”[1]筆者認為,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿、和練習(xí).高中數(shù)學(xué)課還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究，動手實踐等學(xué)習(xí)活動.應(yīng)將數(shù)學(xué)探究活動植根于日常教學(xué)活動中，讓更多的教學(xué)環(huán)節(jié)滲透探究的元素、探究方法、探究思想.讓數(shù)學(xué)探究真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的習(xí)慣. 這樣才能真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

等比數(shù)列的前n項和公式的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容.推導(dǎo)公式的典型方法-“錯位相減法”是高中階段數(shù)列求和的基本方法之一.筆者曾聽過該內(nèi)容多節(jié)次的教學(xué)觀摩課，雖有不少老師在課上也嘗試通過一些方式引導(dǎo)學(xué)生探究錯位相減法，但效果似乎大多不太理想，最終大多還是教師直接“告知”或?qū)W生自己看教材得知.這樣的方式讓學(xué)生覺得很不自然, 也不是真正的探究學(xué)習(xí).如何讓學(xué)生更自然地自主探究發(fā)現(xiàn)錯位相減法是教學(xué)的難點.下面筆者結(jié)合自己設(shè)計的一節(jié)以猜想發(fā)現(xiàn)為先導(dǎo)的“等比數(shù)列的前n項和”探究教學(xué)為例，就如何讓探究教學(xué)更加真實自然，談一些膚淺認識，僅供同行參考.

2 教學(xué)設(shè)計及意圖

2.1 梳理舊知，提出問題

以表格的形式讓學(xué)生梳理等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)，并提出以下問題.

等差數(shù)列等比數(shù)列1. 定義an-an-1=d(n≥2)anan-1=q(n≥2)2. 通項an=a1+(n-1)dan=a1qn-13. 性質(zhì)由m+n=p+q?am+an=ap+aq由m+n=p+r?am·an=ap·aq4. 前n項和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d推導(dǎo)方法:倒序相加

問題1從表中可知，等比數(shù)列中還有什么內(nèi)容需要研究？

學(xué)生：等比數(shù)列的前n項和公式.

問題2類比等差數(shù)列的前n項和公式，你認為求等比數(shù)列的前n項和公式的目標是什么？

學(xué)生：用等比數(shù)列{an}的首項a1，末項an，公比q，項數(shù)n等基本量表示前n項的和Sn.

設(shè)計意圖通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的對比，一方面讓學(xué)生通過類比的方式自然地提出需要探究的課題及目標.同時也培養(yǎng)了學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題的意識和能力.

問題3Sn=a1+a2+…+an中含有n個未知量，如何計算呢？

學(xué)生：可以利用通項公式an=a1qn-1，將其轉(zhuǎn)化為僅含有三個未知量，即

Sn=a1+a1q+…+a1qn-1

=a1(1+q+q2+…+qn-1).

因此，要求Sn，只需求

Bn=1+q+q2+…+qn-1.

教師:如何求Bn呢？

教師：(學(xué)生思考后)逐項相加，行嗎？

學(xué)生：項數(shù)少可以，項數(shù)多了不行.

教師：用推導(dǎo)等差數(shù)列的前n和的方法(倒序相加)行嗎？

學(xué)生：不行，因為等比數(shù)列中ak+an-k+1≠a1+an，倒序相加后還是有很多不同的項.

學(xué)生：考慮到在等比數(shù)列{an}中，有ak·an-k+1=a1·an，可不可以將Bn倒序相乘呢？

教師：想法有一定的道理，請大家嘗試一下看行不行？

學(xué)生嘗試后， 發(fā)現(xiàn)Bn·Bn=(1+q+q2+…+qn-1)(qn-1+qn-2+…+q2+q+1)展開后遠不止qk·qn-1-k這樣的項,很難直接求出展開各項的和.探究陷入了困境.

教師：(故意帶著懷疑的神情)等比數(shù)列的前n項和會有統(tǒng)一的公式表示嗎？

設(shè)計意圖教師有意稚化了自己的思維，提出一些學(xué)生在探究過程可能的一些想法，雖然教師明白這些方法不能推導(dǎo)出求和公式，但這些問題有利于引起與學(xué)生的思維共振，促進各層次學(xué)生的思維參與.同時，也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)探究過程需要不斷的嘗試，并不是每一次都能成功.

2.2 合情推理，發(fā)現(xiàn)公式

教師：當我們對一個數(shù)學(xué)問題的一般情形研究有困難時，我們常?？梢詮膯栴}的特殊情形開始研究.

問題4如何將Bn=1+q+q2+…+qn-1進行特殊化呢？

學(xué)生：可以將公比q和項數(shù)n取一些特殊值.比如：q=1時，Bn=n.

教師：q=2時呢？設(shè)Tn=1+2+22+…+2n-1,再讓n取一些特殊值，會得到什么結(jié)果？

學(xué)生：T1=1T2=3，T3=7，T4=15，T5=31， 歸納猜想：Tn=2n-1.

教師：那么可猜想Bn=1+q+q2+…+qn-1=qn-1了嗎？

學(xué)生：q=3時顯然就不成立.

教師：設(shè)Xn=1+3+32+…+3n-1，那么Xn與3n-1有什么關(guān)系呢？請完成下表1.

表1

表2

設(shè)計意圖牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”.由特殊到一般是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法.通過對幾個特殊的、簡單的等比數(shù)列求和結(jié)果歸納出一般公式，一方面降低了思維的坡度，另一方面也培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識.

2.3 演繹推理，證明公式

問題5現(xiàn)在可以用歸納出的公式去求等比數(shù)列的前n項和了嗎？

學(xué)生：不行，因為這只是通過歸納猜想得到的，其正確性還需要嚴格證明.

問題6如何證明以上公式呢？

學(xué)生：當q=1時，Sn=na1顯然成立.

只要證明：Sn(1-q)=a1(1-qn),

要得到上式，只需將等式

Sn=a1+a1q+…+a1qn-1

①

兩邊同時乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

②

將①式減②式即得Sn(1-q)=a1(1-qn).

教師：①式右邊有n-1項與②式右邊的n-1項“錯位”相同，兩式相減時相同的n-1項就消去了，我們將這樣的方法稱為錯位相減法.

設(shè)計意圖問題5對教師和一些思維比較嚴密學(xué)生來說，答案顯然是否定的，但對一些邏輯思維不是很嚴謹學(xué)生來說，也許就認為公式可以直接用了.教師再次通過稚化思維的方式提出問題，目的是讓學(xué)生將錯誤的思維充分暴露出來.

2.4 回顧小結(jié)，反思再發(fā)現(xiàn)

教師：將以上兩個等式左邊推廣到一般情形即：(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)，將其展開后的結(jié)果為qn-1，因此,等比數(shù)列的求和公式實質(zhì)是源于一個恒等式：(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)=qn-1， 這正是錯位相減法的本質(zhì)所在.

設(shè)計意圖將錯位相減法與學(xué)生頭腦中已有知識與方法聯(lián)系起來，目的是適當降低學(xué)生理解錯位相減法的突兀感，有助于學(xué)生形成更加完整、和諧的知識結(jié)構(gòu).讓新知識的學(xué)習(xí)變得更加自然.

2.5 公式應(yīng)用及課堂小結(jié)(略)

3 讓探究活動更自然的幾點教學(xué)建議

高中數(shù)學(xué)人教A版主編寄語：“數(shù)學(xué)是自然的，清楚的”，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，它們是水到渠成的渾然天成的產(chǎn)物.[2]因此，基于數(shù)學(xué)學(xué)科自身特點的探究學(xué)習(xí)過程不是強加于學(xué)生.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生研究探究對象背景、形成過程及與其他對象之間的聯(lián)系. 讓學(xué)生真正經(jīng)歷探究的過程，這樣探究活動才是真實且自然的.下面筆者就如何讓探究活動更自然談幾點建議.

3.1 選擇的探究內(nèi)容要自然

并不是所有學(xué)習(xí)內(nèi)容都需要用探究學(xué)習(xí)的方式來進行，接受學(xué)習(xí)也是必要的.因此，數(shù)學(xué)探究首先要選擇好適合探究的對象，不能為探究而探究，讓探究成為課堂的“標簽”.要讓學(xué)生感到提出的探究內(nèi)容是自然的,必要的.同時,探究內(nèi)容難度要適當.內(nèi)容太簡單,學(xué)生會覺得沒有探究的必要，不能激發(fā)學(xué)生探究的興趣；內(nèi)容太難，學(xué)生感到無從下手，失去探究的信心.探究內(nèi)容的選擇要讓大多數(shù)學(xué)生做到“跳一跳能摘到”.這樣才能讓更多學(xué)生參與到探究活動中來.

以本節(jié)課為例，如果設(shè)計成一開始就直接讓學(xué)生探究一般等比數(shù)列的求和公式，這對大多數(shù)學(xué)生來說是很困難的,探究活動很難進行下去.而先從一些特殊的等比數(shù)列的前n和的結(jié)果去歸納猜想發(fā)現(xiàn)公式，再結(jié)合公式的特點去尋找證明公式的方法，則要容易得多，這樣也有利于提高學(xué)生探究學(xué)習(xí)的信心.

3.2 創(chuàng)設(shè)的探究情境要自然

探究的情境既可以從生活情境中抽象出來,也可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生.其作用除了能夠激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生探究的必要性以外，還應(yīng)在探究活動進一步展開中對學(xué)生的探究起到導(dǎo)向作用，這樣的情境才更加符合學(xué)生的認知規(guī)律，才能讓學(xué)生覺得更加真實、自然.

以本節(jié)課為例，不少教師喜歡選擇一個生活中等比數(shù)列的求和問題作為問題情境，如國際象棋發(fā)明者與國王的故事等.筆者認為，這樣的情境的確可以用來說明研究等比數(shù)列求和公式的必要性，但對進一步探究求和公式的作用不大，而且對一個已具備一定理性思維的高中學(xué)生來說，這樣情境似乎過于做作，不能真正激發(fā)學(xué)生的探究欲望.而從等差數(shù)列與等比數(shù)列知識體系和研究方法一致性角度提出等比數(shù)列的求和問題，則會讓學(xué)生感覺更自然，且有利于培養(yǎng)學(xué)生通過類比方式去提出問題和解決問題的意識.而探究活動開始前讓學(xué)生梳理等差、等比數(shù)列概念、性質(zhì)及方法也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)求和公式方法.這正是筆者設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)2.1的意圖.

3.3 設(shè)計的探究過程要自然

探究過程的設(shè)計要充分體現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展及學(xué)生心理認知的過程，并能促進學(xué)生有效參與探究活動.在教學(xué)設(shè)計時，要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的探究方向，對教學(xué)過程中學(xué)生出現(xiàn)的一些“意外”想法即使不能探究成功，也要分析其合理的因素并給予肯定和鼓勵，要保護學(xué)生探究的積極性.這樣才能讓探究的過程更加真實、自然.

比如在本課例中，學(xué)生提出將等比數(shù)列前n項和倒序相乘后求和，這樣的想法雖然不能得到求和公式，但學(xué)生能從等差數(shù)列的倒序相加求和類比到等比數(shù)列的倒序相乘求和，體現(xiàn)了其通過類比進行合情推理的意識.法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(Laplace, 1749—1827)說：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比.”[3]這句話深刻說明歸納和類比等合情推理方式在數(shù)學(xué)探究中的意義.因此筆者沒有過早打斷學(xué)生的思路，而是及時肯定了他的想法，并給出一定時間讓學(xué)生嘗試.這樣學(xué)生可以充分經(jīng)歷公式的探究過程.

3.4 提出的探究問題要自然

在數(shù)學(xué)探究中，探究活動首先是基于問題的活動，恰當?shù)膯栴}是促進學(xué)生進行探究的引擎，也是學(xué)生探究歷程中的航標燈.因此，教師在設(shè)計探究的問題時要充分研究學(xué)生的認知水平，本著“惑學(xué)生所惑，難學(xué)生所難，錯學(xué)生所錯”的原則，提出符合學(xué)生思維狀態(tài)的問題.為了讓提出的問題更加符合學(xué)生課堂上真實的心理狀態(tài)，“稚化思維”是教學(xué)中常用的一種提問策略和藝術(shù).

所謂“稚化思維”，就是教師有意識把自己的思維降格到與學(xué)生想仿的水平，退回到初學(xué)者的狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的認知狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上因勢利導(dǎo)，實現(xiàn)師生“思維共振”的一種教學(xué)藝術(shù)[4].本節(jié)課中筆者多次采用“稚化思維”方式提出了學(xué)生在探究公式過程的可能想法，有效地促進了學(xué)生的思維的參與，讓整個探究過程顯得更自然、流暢.