剖析“一個(gè)漂亮的證明”中所隱含的錯(cuò)誤

賀 斌 閔 華

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 441700)

1983年第24屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽最后一題為

例1a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，求證：

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0，

并說明上式中的等號(hào)在何時(shí)成立．

文[1]在回顧、展示了楊克昌老師于1986年給出的巧妙證明和當(dāng)年參賽選手因證法簡(jiǎn)潔巧妙而獲得特別獎(jiǎng)的聯(lián)邦德國學(xué)生伯爾哈德·李的證法之后，寫道：“可喜的是，在1984年3月，湖南臨澧一中高二學(xué)生楊承紅提出一個(gè)漂亮的證明，是基于下述原理：欲證A≥B，如確認(rèn)它與C≥D同真假，則只要證A+C≥B+D就可以了．由于I=a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0與I′=b2a(b-a)+c2b(c-b)+a2c(a-c)≥0同真假，而I+I′=ab(a-b)2+bc(b-c)2+ca(c-a)2≥0，故原不等式成立．”

如果上述證明正確，那它的確稱得上是“漂亮的證明”．但令人遺憾的是，上述證明錯(cuò)了！錯(cuò)在沒有弄清“輪換對(duì)稱”與“對(duì)稱”之間的差異，從而造成證明無效(原結(jié)論可能正確，也可能不正確！)．反例如下：

例2設(shè)a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，求證(對(duì)于任意的a，b，c有)：

例1、例2不等式左邊都是關(guān)于a，b，c的輪換式，它不是關(guān)于a，b，c的對(duì)稱式．輪換對(duì)稱式通常只具有對(duì)其所涉及的所有字母，按某一順序依次輪換，其表達(dá)式不變的特性；而對(duì)稱式則具有對(duì)其所涉及的所有字母，任意交換兩字母的順序，其表達(dá)式都不變的性質(zhì)．所以，當(dāng)證明涉及輪換對(duì)稱式時(shí)，如果我們按另一種順序輪換其中字母而得到另一個(gè)類似式子，那么所得式子與原來式子對(duì)于所涉字母的同一組值，兩個(gè)式子的值不一定相等．此時(shí)文[1]所謂原理中所涉及的兩個(gè)不等式A≥B與C≥D完全可能出現(xiàn)：對(duì)于所涉字母的某一組值，此真彼假；而對(duì)于所涉字母的另一組值，此假彼真．此時(shí)“A≥B恒成立”與“C≥D恒成立”(注意：“恒成立”應(yīng)是文[1]所謂原理的本意！)必然同假！此種情況下運(yùn)用文[1]所謂原理必然得出錯(cuò)誤結(jié)論(例2正是如此)．

一般地，設(shè)A=A(a，b，c)，B=B(a，b，c)，C=C(a，b，c)，D=D(a，b，c)，其中所有(a，b，c)取值的集合為E．若A≥B恒成立與C≥D恒成立同真同假，則從A+C≥B+D恒成立并不能推出A≥B恒成立．這是因?yàn)椋寒?dāng)A≥B恒成立與C≥D恒成立同假時(shí)，完全有可能存在集合E的非空真子集F，G(其中F∩G=?，F(xiàn)∪G=E)，使得?(a，b，c)∈F有A

如果A≥B恒成立與C≥D恒成立同真，那么我們的任務(wù)已經(jīng)完成，完全沒必要按照文[1]所謂原理所說的那樣，繞著彎回來再搞個(gè)所謂的證明．值得注意的是：要判斷兩個(gè)命題的同真同假性往往比較容易，但要判斷兩個(gè)命題究竟是同真還是同假卻并不容易！

類似文[1]的錯(cuò)誤，在文[3]也存在．此類錯(cuò)誤比較隱蔽，而且時(shí)有發(fā)生，很有糾正必要．