數(shù)學問題解答

(解答由問題提供人給出)

2371已知實數(shù)a,b,c都不等于1，且滿足abc=1,求證：

(陜西省咸陽師范學院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

可以用做差證法，事實上

2372已知：如圖，AB、AC1、AC2、AE為逆時針排列的四條弦，且AB為⊙O的直徑，∠BAC1=∠EAC2.

求證：2AC1·AC2≤AB2+AB·AE.

(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

證明如圖，連接C1C2并延長與AE的延長線交于點D.

連接EC2、EC1、EB、BC1、BC2，

則∠AEB=∠AC2B=∠AC1B=900.

因為∠BAC1=∠EAC2，

所以 ∠AEB=∠ADC2=900.

所以Rt△ADC2∽Rt△AC1B.

?AC1·AC2=AB·AD=AB·(AE+ED)

=AB·AE+AB·ED……①

因為點A、E、C2、B四點共圓，

所以∠DEC2=∠ABC2.

所以Rt△EDC2∽Rt△BC2A.

?AB·ED=BC2·EC2.

所以AB·ED=BC1·BC2.……②

由①與②得

AC1·AC2=AB·AE+BC1·BC2.

③

所以

?BC1·BC2

?BC1·BC2≤

?BC1·BC2≤AB2-AC1·AC2.……④

由③與④得

AC1·AC2≤AB·AE+AB2-AC1·AC2,

所以 2AC1·AC2≤AB2+AB·AE.

當且僅當AC1、AC2重合為∠BAE的平分線時，不等式中的等號成立.

2373在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的三邊長分別為a、b、c，面積為Δ，求證：

(a+b-c)2+(b+c-a)2+(c+a-b)2

(浙江省開化縣第二中學 曹嘉興 324300)

證明設(shè)a+b-c=x,b+c-a=y,c+a-b=z,則

于是原不等式等價于

?2x2+2y2+2z2-(z-y)2

由二元均值不等式得

①+②+③得

故原不等式成立.

2374如圖，△ABC的內(nèi)切圓I分別切AB、AC、BC于點D、E、G,BC邊上的高交DE于點H，若H為△ABC的垂心，求證：AH等于內(nèi)切圓半徑r.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

證明不妨設(shè)∠B≥∠C,連接BH、CH,

因為AD=AE，所以 ∠ADE=∠AED.

則 ∠BDE=∠CEH.

又因H為垂心，

所以 ∠DBH=∠ECH.

則 △BDH∽△CEH.

所以BH/CH=BD/CE.

所以BH/CH=BG/CG.

從而HG為∠BHC的角平分線，

=90°-∠A/2=(∠B+∠C)/2.

注意 ∠FHG=∠BHG-∠BHF

=(∠B+∠C)/2-∠C=(∠B-∠C)/2,

又 ∠HAI=∠DAI-∠DAH=∠A/2-(90°-∠B)

=(∠B-∠C)/2,

所以∠HAI=∠FHG, 所以HG∥AI.

又因為AH∥IG,

所以四邊形AHGI為平行四邊形，

所以AH=IG=r.

2375在△ABC中，a,b,c；ta,tb,tc；分別表示三邊長，內(nèi)角平分線長，則有

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

證明設(shè)△ABC的半周長為p，面積為Δ，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，ha,hb,hc分別是三邊a,b,c上的高．

先證左端的不等式

(2)

由ta≥ha,tb≥hb,tc≥hc

和三角形面積公式

及不等式

得

再由Δ=pr，abc=4Rrp，a+b+c=2p可得

即(2)式成立．

再證右端的不等式

(3)

由三角形內(nèi)角平分線公式

于是，由柯西不等式和恒等式abc=4Rrp，

a+b+c=2p,a2+b2+c2=2p2-8Rr-2r2，

及Euler不等式R≥2r可得

即(3)式成立．

由(2)，(3)兩式可知不等式(1)成立．

2017年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2376某委員會開了40次會議，每次有10人出席，而且委員會任兩個成員都未在一起出席過一次以上的會議，證明：該委員會成員一定至少有82人.

(浙江省富陽市第二中學 許康華 311400；浙江省富陽市永興中學 段春炳 311400)

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

2378設(shè)正實數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1+x2+…+xn=s,且p≥1,求證:

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

2379如圖，在四邊形ABCD中，DA、CB分別和圓O相切，切點A、B，AC交BD于H，F(xiàn)、E分別為DA、CB中點，當FE切圓O于G時,求證：

GH延長線平分AB．

(江西師范高等?？茖W校 王建榮 335000；溫州私立第一實驗學校 劉沙西 325000)