歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)及其類(lèi)似

王 圣

(安徽滁州中學(xué) 239000)

設(shè)△ABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學(xué)家歐拉于1765年建立，該不等式具有簡(jiǎn)單而不平凡的特點(diǎn)，關(guān)于它的各種加強(qiáng)、隔離和推廣的研究從未間斷過(guò). 文[1]給出歐拉不等式與邊長(zhǎng)間的一個(gè)不等式鏈，文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式

定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

(2)

下面給出式(2)的證明.

由于

原本到此，對(duì)式(1)的探究可以暫告一個(gè)段落了，但是數(shù)學(xué)大師波利亞告誡我們：“沒(méi)有一道題目可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方”，那么式(1)是否還有東西可以進(jìn)一步的挖掘？

定理2設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).