“先猜后證”是解決存在性探究問題的有效途徑*

邱宗如

(福建省廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 361026)

所謂“存在性探究問題”就是探索滿足確定條件的某一數(shù)學(xué)對象(如點(diǎn)、數(shù)值等)是否存在．“存在”就是有滿足確定條件的數(shù)學(xué)對象，此時需要求出它們來；“不存在”則需說明理由．

由于存在性探究問題中的結(jié)論成立與否對問題的解決有直接的影響，所以如果事先能夠探明“結(jié)論”就顯得至關(guān)重要了．我們知道，“對普遍情況適用的對其中的特殊情況也必能適用；這是邏輯方面的常識．…從特殊到普遍，是我們獲得知識的最基本的途徑”．[1]所以解決存在性探究問題的一種有效策略是“先猜后證”．即從滿足條件的特殊情形入手，若找到這個可能的數(shù)學(xué)對象，則再通過邏輯推理給出一般的肯定性證明；否則，可借助反例予以證偽．

解析如果這個點(diǎn)Q存在，它的坐標(biāo)可能是什么？因?yàn)槭挛锏囊话阈栽⒂谔厥庑灾校⑼ㄟ^特殊性表現(xiàn)出來，沒有特殊性就沒有一般性．所以通過特殊化可以找到這個可能的點(diǎn)．

如圖1，因?yàn)榇藭r|PA|=|PB|，所以應(yīng)該有|QA|=|QB|，

圖1

即點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，亦即此時點(diǎn)Q在y軸上．

所以可設(shè)這個點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(0，y0)．

但是y軸上的點(diǎn)有無窮多個，點(diǎn)Q到底是哪個定點(diǎn)?

圖2

解得y0=1或y0=2．

所以不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q的坐標(biāo)只能為(0，2)．

這實(shí)際上是得到了結(jié)論成立的一個必要條件！

即如果滿足題目要求的點(diǎn)Q存在，它只能是(0，2)！

當(dāng)l與兩條坐標(biāo)軸都不垂直時，怎樣證明點(diǎn)Q(0，2)符合要求呢？

如圖3，注意到線段PA與QA在x軸上的投影重合，線段PB與QB在x軸上的投影也重合，所以可分別作AC⊥y軸于C，BD⊥y軸于D．

圖3

觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)Rt△ACP∽Rt△BDP，

只需證明Rt△ACQ∽Rt△BDQ即可．

證明當(dāng)l與兩條坐標(biāo)軸分別垂直時，由上可知，結(jié)論成立．

當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)其方程為y=kx+1．

易知Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以∠AQC=∠BQD，所以Rt△ACQ∽Rt△BDQ．

又Rt△ACP∽Rt△BDP，

本題的解決是首先假設(shè)這個點(diǎn)Q存在，其次是通過一種特殊情形猜測出這個可能點(diǎn)在y軸上，“變大海撈針為池塘捉魚”；再借助另一種特殊情形得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將目標(biāo)集中于一點(diǎn)Q(0，2)．在驗(yàn)證一般情形結(jié)論也成立的過程中，充分發(fā)揮了幾何圖形的直觀作用，比較容易地發(fā)現(xiàn)了證明的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即兩組直角三角形的相似．借助幾何直觀可以發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果．

解析如果不知道這個常數(shù)λ是否存在，以及存在時λ等于多少，那么直接求解不但幾乎不可能，甚至連求解的方向都找不到．反之，如果我們能預(yù)先把常數(shù)λ的值確定下來，無疑對尋找證明是有利的，那么如何確定λ的值呢？若我們確信這個常數(shù)是存在的，就應(yīng)該從特殊情形入手，找到這個可能的常數(shù)，并希望由此發(fā)現(xiàn)解題的可能思路．

假設(shè)存在常數(shù)λ(λ>0)，使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立．

則對于第一象限內(nèi)雙曲線C上的任意一點(diǎn)Q，∠QF2A=λ∠QAF2都應(yīng)該成立，

特別地，當(dāng)QF2⊥x軸時，∠QF2A=λ∠QAF2也成立．

如圖4，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，3a)，又A(-a，0)，

所以直線AQ的斜率等于1，即∠QAF2=45°．

又∠QF2A=90°，所以∠QF2A=2∠QAF2．

于是，我們完全有理由猜想所求的常數(shù)λ如果存在，那么它一定等于2．

當(dāng)然，這只是個猜想，正確與否還有待于從一般的角度予以證明，即驗(yàn)證．

圖4

圖5

證明當(dāng)QF2⊥x軸時，∠QF2A=2∠QAF2．

如圖5，當(dāng)QF2不垂直于x軸時，設(shè)Q(s，t)(s>a，s≠2a)，

又F2(2a，0)，

所以

所以tan∠QF2A=tan2∠QAF2，

即∠QF2A=2∠QAF2．

所以，存在常數(shù)2，使得∠QF2A=2∠QAF2恒成立．

“數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想然后是被證實(shí)．”(波利亞語)對于這個問題，我們先假設(shè)探究的數(shù)學(xué)對象λ存在(即結(jié)論成立)，執(zhí)果索因，通過特殊情形猜想出λ的可能值，由此展開必要的邏輯推理．

在本文的兩個存在性探究問題中，因?yàn)轭}設(shè)中并不知道這個定點(diǎn)或參數(shù)的值是否存在，以及如果存在它們是什么，所以求解會有一定的困難．通過特殊情形猜出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)的值，則問題完全就變成驗(yàn)證了．而驗(yàn)證是有明確方向的，因此就簡單得多．畢竟論證一個結(jié)論明確的數(shù)學(xué)命題比解決一個不明就里的數(shù)學(xué)命題要來得容易一些．

圖6

如圖6，設(shè)橢圓C與坐標(biāo)軸分別交于P，Q，M，N，顯然∠MOQ=∠NOP=90°，但是直線MQ與直線NP并沒有公共點(diǎn)，即它們不過同一點(diǎn)．進(jìn)而可知不存在滿足條件的定點(diǎn)H．

對于存在性探究問題，如果通過兩次不同的特殊情形得到不同的結(jié)論，那么可以肯定探究的數(shù)學(xué)對象就不存在，即通過反例證明結(jié)論是錯誤的．

但是，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)．猜想數(shù)學(xué)命題和解題思路是數(shù)學(xué)研究中重要的思維過程．需要注意的是，任何一個有價值的“猜想”都不是空穴來風(fēng)，它與無方向的亂猜，或者用擲骰子的方法碰運(yùn)氣是格格不入的．它需要對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的精準(zhǔn)理解和數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用．幾乎每一個復(fù)雜或困難問題的求解都會經(jīng)歷探索、嘗試、猜想等過程，有時需要大膽地跳躍到某種結(jié)論上(即先有一個大致的方向)，然后，再去小心地求證．

本文表明，通過特殊化而獲得一般性結(jié)論是猜想的有效途徑之一．對此數(shù)學(xué)大師希爾伯特有精彩的論述：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我們相信特殊化比一般化起著更為重要的作用．可能在大多數(shù)場合，我們尋求一個問題的答案而未能成功的原因，是在于這樣的事實(shí)，即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題還沒有完全解決或是完全沒有解決．這時，一切都有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們．”[3]

著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞對“猜想”亦非常重視，把它列為對數(shù)學(xué)教師的基本要求之一，他認(rèn)為“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊敬的”．他還向所有數(shù)學(xué)老師呼吁：“讓我們教猜想吧！”[4]他語重心長地告誡我們，“先猜后證”是大多數(shù)情況下的發(fā)現(xiàn)過程．?dāng)?shù)學(xué)教師有極好的機(jī)會向?qū)W生說明猜想在發(fā)現(xiàn)過程中的作用，以此給學(xué)生奠定一種重要的思維方式．并希望數(shù)學(xué)教師在這方面不要忽略了對學(xué)生的要求：讓他們學(xué)會猜想問題．

求解圓錐曲線存在性探究問題是教學(xué)生猜想的一個極好機(jī)會，有意識地進(jìn)行“先猜后證”的思維訓(xùn)練，對于提高學(xué)生的解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是極為有益的．