PEP與MAC教材中數(shù)學探究的比較
——基于初中“圖形與幾何”內容

葉 珂 胡典順

(1．成都高新新科學校 611731；2．華中師范大學教師教育學院 430079)

1 問題提出

現(xiàn)代數(shù)學觀認為數(shù)學知識不是純粹傳遞與接受結論性產品，而是個人參與構建、探究的生產性過程，這種動態(tài)數(shù)學觀就是數(shù)學探究的本體論基礎[1]．我國最新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》強調動手實踐、自主探索與合作交流的數(shù)學學習方式[2]．全美數(shù)學教師理事會發(fā)布的《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》提出要創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)的學習環(huán)境，鼓勵學生合作與探索[3]．關于探究能力的重要性，溫伯格曾說過：最好的學生與次好的學生的區(qū)別不在于知識的多少，而在于對未知領域的探究能力．這些啟發(fā)我們賦予數(shù)學教育新的涵義：數(shù)學教育的根本在于培養(yǎng)學習者創(chuàng)造自己數(shù)學知識的能力．

有研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學探究在被人們認同和接受的過程中存在著不容忽視的危機[4]．教材作為進行數(shù)學探究的關鍵資源，不僅是實現(xiàn)課程目標的主要載體，也是影響學生數(shù)學探究能力形成的重要因素．中美教材在數(shù)學探究內容的呈現(xiàn)方式及處理方式上有何異同？對我國今后數(shù)學教材編寫有什么啟示？通過本研究將獲得對上述問題更深刻的認識．

2 研究設計

2.1 研究對象

研究選擇了Glencoe/McGraw-Hill出版社Mathematics:Applications and Concepts教科書Course1至Course3全套教材(簡稱MAC教材)和人民教育出版社義務教育教科書·數(shù)學七年級至九年級全套教材(簡稱PEP教材)作為比較教材．將兩套教材中“圖形與幾何”領域的顯性數(shù)學探究欄目內容確定為研究對象．經統(tǒng)計，PEP教材共有八種顯性數(shù)學探究欄目：“思考”、“探究”、“信息技術應用”、“閱讀與思考”、“實驗與探究”、“觀察與猜想”、“數(shù)學活動”、“課題學習”．MAC教材共有六種顯性數(shù)學探究欄目：“When am I ever going to use this?”、“Mini Lab”、“LAB: Activity”、“LAB: INVESTIGATE ”、“LAB: Writing Math”、“Spreadsheet Investigation”．

2.2 指標體系

通過概念梳理，本文給出數(shù)學探究如下定義：根據學習材料中的數(shù)學問題或任務，采用探究的方法經歷知識的形成過程，在發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律或結論的同時培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新精神的一種教育活動形式．根據以上定義并借鑒徐斌艷教授提出的高中數(shù)學教材探究內容分析框架，本研究從數(shù)學探究的數(shù)量與篇幅、主題、位置與功能、問題表達、活動與組織形式進行了指標分類和含義描述．

2.2.1 探究內容的數(shù)量與篇幅

為避免不同研究者由于主觀判斷導致選擇探究內容的不一致，本文研究對象只包含教材中的顯性探究欄目的內容，并結合數(shù)學探究內容的來源章節(jié)進行數(shù)量統(tǒng)計．

忽視數(shù)學探究的復雜程度僅根據個數(shù)來反映兩版教材在量上的差別難免有失偏頗．因此，本研究基于兩版教材的紙張規(guī)格將數(shù)學探究內容的篇幅進行了分類，見表1．

表1 數(shù)學探究內容篇幅的分類及含義

2.2.2 探究內容的主題

參閱《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中關于“圖形與幾何”領域的分類，結合兩版教材的實際情況，本研究對數(shù)學探究內容的主題進行了劃分，見表2．

表2 數(shù)學探究內容主題的分類及含義

2.2.3 探究內容的位置與功能

探究內容在教材中的具體位置與上下文有著緊密關系，不同的位置也間接影響了其功能的發(fā)揮．本研究對數(shù)學探究內容的位置及功能分類見表3．

表3 數(shù)學探究內容位置與功能的分類及含義

續(xù)表

2.2.4 探究內容的問題表達

問題解決是義務教育階段數(shù)學課程的四大目標之一，數(shù)學探究更是圍繞著問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決過程．本研究將數(shù)學探究內容的問題表述分為問題類型、情境、圖表三個要素，見表4．

表4 數(shù)學探究內容問題表述的分類及含義

2.2.5 探究內容的活動與組織形式

數(shù)學探究是獨立或與他人合作參與多種數(shù)學活動，尋找解決問題的方法，最終獲得一定理性認識的過程．本研究關于數(shù)學探究內容的活動與組織形式分類見表5．

表5 數(shù)學探究內容活動與組織形式的分類及含義

對各數(shù)學探究內容按其所屬版本、年級(冊)、章節(jié)、欄目進行編碼．依據上述指標體系對各數(shù)學探究內容所屬指標類型進行一一歸類，通過計數(shù)和統(tǒng)計圖表對比兩版教材中數(shù)學探究在數(shù)量、篇幅、主題、位置、功能、問題表達、活動形式和組織形式方面的差異，進而回歸教材深入分析原因，最終獲得對教材中數(shù)學探究較全面的認識．

3 初步比較的結果

3.1 探究內容的數(shù)量與篇幅

PEP教材中數(shù)學探究內容共186個，在各年級均有分布，但并沒有呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，且任意年級的教材都未能涵蓋全部數(shù)學探究欄目．MAC教材中數(shù)學探究內容共165個，在各年級分布比較均勻，且各年級教材都涵蓋了所有類型的數(shù)學探究欄目，說明了數(shù)學探究可以適應初中數(shù)學不同階段的知識．PEP教材中數(shù)學探究內容共分布在13章39節(jié)，MAC教材共分布在19章76節(jié)，PEP教材平均單節(jié)中數(shù)學探究的數(shù)量為4.8個，比MAC教材多約2.6個．這從側面反映了PEP教材加大了對數(shù)學探究內容的編寫力度，也與我國初中數(shù)學課程改革起步早，教材更新快有直接關系．

圖1 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的篇幅比較

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的篇幅分布差異達到顯著水平(2(3，N=351)=67.002，p<0.001)．值得關注的是，PEP教材中52.15%的數(shù)學探究屬于精小型，MAC教材52.12%的數(shù)學探究則分布在0.25～0.5范圍的篇幅上(見圖1)．此外，大于1頁的篇幅類別上PEP教材比MAC教材多7個，主要分布在“信息技術應用”和“課題學習”等欄目，基本都是兩整頁，涉及到較復雜的背景知識或比較完整的探究過程．MAC教材大于1頁的篇幅主要分布在“實驗室：活動”和“實驗室：調查”欄目，主要是將探究按照分步活動的形式展開并在教材中詳細呈現(xiàn)了每個步驟的要求．

3.2 探究內容的主題

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的主題分布差異達到顯著水平(2(3，N=351)=75.873，p<0.001)．MAC教材數(shù)學探究中測量主題占41.21%，PEP教材僅為3.23%，兩版教材在圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三個主題的數(shù)量比都趨于6∶3∶1(見圖2)．參看課標中“圖形與幾何”的內容標準發(fā)現(xiàn)各主題的知識內容數(shù)量與數(shù)學探究數(shù)量呈現(xiàn)正相關，也就是說數(shù)學探究在各主題的知識上分布均勻．

圖2 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的主題比較

測量主題的差異主要是由于MAC教材中測量主題的數(shù)學探究涵蓋的大部分知識在我國小學數(shù)學教材中已經出現(xiàn)過，由此可以推測在測量主題上MAC教材的數(shù)學探究難度比PEP教材要小很多．總體來說PEP教材中數(shù)學探究更側重 “為什么”、“怎么樣”，MAC教材更側重 “是什么”、“怎么做”．

3.3 探究內容的位置與功能

圖3 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的位置比較

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的位置分布差異達到顯著水平(2(5，N=359)=200.05，p<0.001)，主要是受教材體例結構及欄目定位的影響．PEP教材中數(shù)學探究內容分布于五種位置，節(jié)首(17.74%)、節(jié)中(53.76%)和節(jié)末(5.38%)分布的欄目是“思考”和“探究”； 節(jié)后(12.37%)分布的欄目是“閱讀與思考”、“實驗與探究”、“觀察與猜想”和“信息技術應用”；章末(15.05%)分布的欄目是“數(shù)學活動”；“課題學習”呈現(xiàn)的是一節(jié)系統(tǒng)完整的數(shù)學探究過程(見圖3)．MAC教材中數(shù)學探究內容的位置分布較單一，節(jié)首(46.06%)分布的欄目是“何時應用”和“迷你實驗室”；節(jié)前(18.79%)和節(jié)后(35.15%)分布的欄目是“實驗室：活動”、“實驗室：調查”和“實驗室：寫數(shù)學”；“電子表格調查”分布在節(jié)后．

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的功能分布差異達到顯著水平(2(4，N=351)=146.821，p<0.001)．PEP教材比較注重發(fā)揮探究內容聯(lián)系上下文的過渡作用(41.40%)，其他四種功能分布相對差距不大，教材的組織編排與知識學習的一般過程相一致(見圖4)．MAC教材中數(shù)學探究內容在功能分布上非常不均衡，對探究內容作為新知識的引入作用十分重視，占74.55%的數(shù)學探究旨在促進這一功能的實現(xiàn)．通過選取選《角》一節(jié)中引入新知型數(shù)學探究詳細比較發(fā)現(xiàn)，MAC教材多開門見山地呈現(xiàn)探究再歸納出概念，PEP教材多遵循演繹的方法先給出概念或用較多文字鋪墊再呈現(xiàn)數(shù)學探究，這也是造成部分數(shù)學教學重結論，甚至出現(xiàn)讀背數(shù)學教材現(xiàn)象不可忽視的因素．

圖4 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的功能比較

借助SPSS19.0軟件對兩版教材中數(shù)學探究內容的各項指標進行兩兩相關性檢測，結果顯示兩版教材中數(shù)學探究內容位置與功能之間的相關系數(shù)分別是0.839，0.669；雙側t檢驗的顯著性概率均為0.000<0.01，拒絕零假設，表明兩個變量之間顯著相關，且PEP教材的相關性強于MAC教材．其他幾個指標間的相關性均不顯著．

3.4 探究內容的問題表達

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的問題類型差異達到顯著水平(2(3，N=351)=24.5，p<0.001)．兩版教材中數(shù)學探究內容均以封閉性問題為主，分別占總數(shù)的64.52%和72.12%(見圖5)．在半開放式問題中，PEP教材側重過程開放型，MAC教材側重結論開放型．

圖5 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的問題類型比較

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的情境類型具有顯著性差異(2(3，N=351)=17.606，p<0.001)．共性是兩版教材都是純數(shù)學情境即純粹的數(shù)學問題表述居多，差異是MAC教材數(shù)學探究中個人生活情境占41.82%，遠高于PEP教材(見圖6)．兩版教材都設計了一些將具體知識放在實際情境中的數(shù)學探究，如探究內容P2b.18G2分析了世界著名建筑中的黃金矩形設計引發(fā)學生探究黃金矩形的折疊方法；探究內容M1.13.1A用餅狀圖呈現(xiàn)了Mai-Lin在花園里種植的不同蔬菜的數(shù)量讓學生在此背景下探究角度大?。?/p>

圖6 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的情境比較

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的圖表類型具有顯著性差異(2(2，N=351)=105.061，p<0.001)．兩版教材中非純數(shù)學圖表的數(shù)量相差不大，但PEP教材中無圖表的數(shù)學探究幾乎是MAC教材的2倍(見圖7)．

設置不同的圖表用意也不盡相同，探究內容P2b.17.1B1讓學生利用單元格直觀操作后猜想直角三角形的三邊長的平方關系．探究內容M2.11.6B用兩幅圖片展示了在探索圓的面積公式時的關鍵步驟，作為思維的固著點幫助學生理解和記憶公式的推導．

圖7 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的圖表比較

3.5 探究內容的活動形式

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的活動形式具有顯著性差異(2(3，N=351)=17.200，p<0.001)．兩版教材都是以解答活動為主，接下來依次是實驗活動、作品活動、閱讀活動．MAC教材的實驗類數(shù)學探究是PEP教材的2倍多，而PEP教材的閱讀類數(shù)學探究是MAC教材的3倍多(見圖8)．PEP教材的閱讀材料主要選自數(shù)學發(fā)展史中的一些重要數(shù)學家和數(shù)學事件或是推動人類進步的重大數(shù)學應用等，如閱讀與思考欄目就介紹了幾何學的起源、費馬大定理、視圖的產生與應用等．MAC教材中閱讀內容的選材相對狹窄些，都是呈現(xiàn)一個漫畫故事讓學生思考其中的數(shù)學問題．由此看來，PEP教材更重視挖掘教材傳播數(shù)學文化、普及數(shù)學應用的價值，MAC教材更注重閱讀的趣味性．兩版教材都編寫了如做包裝盒、設計圖案等活動．讓學生通過完成簡單的作品實現(xiàn)學以致用．

圖8 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的活動形式比較

對解答活動詳細比較發(fā)現(xiàn)，PEP教材比較注重推理證明和總結交流，MAC教材沒有單獨這兩類解答要求的數(shù)學探究，產生這一差異的原因有二：我國傳統(tǒng)的幾何教學有重視演繹推理和方法總結的優(yōu)勢；美國的課程標準沒有建立起類似平面幾何的證明體系，證明都是非常零散地出現(xiàn)在各種題目中[5]．另外，MAC教材中有明確要求進行數(shù)學寫作的解答，與此形成鮮明反差的是PEP教材中沒有單獨要求數(shù)學寫作的數(shù)學探究，這與我國初中數(shù)學教學中常常進行口答的現(xiàn)象如出一轍．

對實驗活動詳細比較發(fā)現(xiàn)，兩版教材都很重視信息技術的引入．PEP教材專門設置了“信息技術應用”欄目介紹如何利用幾何畫板的繪圖、度量、圖形變換等功能探究圖形的性質及關系，MAC教材專門設置了“電子表格調查”欄目介紹如何利用電子表格的輸入、輸出、計算等功能探究與幾何相關的數(shù)量規(guī)律．

3.6 探究內容的組織形式

PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的組織形式具有顯著性差異(2(2，N=351)=80.817，p<0.001)．PEP教材中高達88.17%的數(shù)學探究是以個人形式進行或者更確切地說沒有指明具體組織形式(見圖9)．一方面反映了教材對學生獨立思考、自主探究的能力要求較高，另一方面距課程標準提倡的合作交流尚有差距．相比之下，MAC教材中數(shù)學探究內容的組織形式相對均衡，其中以同伴或團隊形式進行的數(shù)學探究內容占56.36%， PEP教材僅為11.83%．

圖9 PEP與MAC教材中數(shù)學探究內容的組織形式比較

除此，MAC教材對數(shù)學探究活動的組織人數(shù)有明確的表述，如“Work with a partner”“Work in groups of 2 or 3”“Work in groups of three”“Work in groups of 4 or 5”“Work as a class”，PEP教材的表述則比較籠統(tǒng)，有“同學”和“同學們”兩種．

4 啟示與建議

4.1 為自主探究提供顯性支持

初中生經過小學階段的積累具備了一定的學習能力但自我監(jiān)控的策略性和持久性仍不足以達到完全獨立的水平，需要采用多種方法保證其思維始終處在學習的中心．學法指導的內容在我國教材中多內隱于知識內容，更多依賴教師的輔導和學生的學習習慣，可在教材中設計適當?shù)闹笇托“鍓K為學生進行自我探究和評價提供引導和標準．另外，將一些比較復雜的探究以分步活動的形式展開也能夠為學生自主探究提供更多支持，但要避免步驟過細過全而限制了學生主觀能動性的發(fā)揮．PEP教材中的數(shù)學探究多呈現(xiàn)在概念后或有較多文字鋪墊，建議教材適當減少純描述性文字，提升教材的數(shù)學體驗感，突出數(shù)學的概括性和條理性，促進“看”教材向“用”教材的轉變．

4.2 賦予問題更開放、豐富的表達

數(shù)學探究與單一解題的本質區(qū)別在于它能提供更豐富的問題背景、更現(xiàn)實的約束條件、更多的探索形式、更自主的策略選擇以及更多交流反思的機會．教材編寫應合理搭配，兼顧數(shù)量與質量，設計不同層次的開放性問題滿足學生的不同需求．以純文字赤裸裸呈現(xiàn)的數(shù)學探究對初中生的學習如同嚼蠟，情境的設置意在加深認知而非增加理解障礙，教材應及時捕捉與學生息息相關的素材改造為探究的問題情境．圖表既可以展現(xiàn)關鍵步驟、直觀空間幾何體、進行數(shù)形結合又可以強化對結論的理解記憶，各式各樣的圖表使得教材圖文并茂，更加豐滿鮮活．生動有趣的非數(shù)學圖表，精煉簡潔的數(shù)學圖表應互為補充，與教材其他內容合理搭配構成密不可分的整體．

4.3 探究的活動形式要百花齊放

受我國傳統(tǒng)幾何教學重視演繹推理的影響，PEP教材中判斷解釋、猜想驗證、推理證明、總結交流等解答活動遠多于MAC教材，而數(shù)學寫作和實驗類活動遠少于MAC教材．新課程改革倡導把合情推理與演繹推理相結合，加強幾何直觀，教材編寫應進一步克服慣性，拓寬范圍，多借鑒如主題演講、數(shù)學游戲、專題調查等活動形式，平衡數(shù)學探究中實驗操作與思維活動的比例．口答與寫作相比更易使學生產生思維惰性、對較復雜的數(shù)學探究易淺嘗輒止、不能對每個學生進行針對性評價，教材應針不同類型的數(shù)學探究提出不同的書寫要求，切忌變成默寫公式定理和羅列步驟．信息技術能夠為數(shù)學探究提供直觀教學手段和實驗研究的環(huán)境，教材編寫可借鑒國內外成功經驗，將諸如電子表格、圖形計算器等適時引入到數(shù)學教材中，為教學所用．

4.4 適當增加合作類數(shù)學探究

合作類探究能滿足不同學生在數(shù)學探究中廣泛多樣的需求，強調學習者的相互依賴和知識構建中的共性．PEP教材中絕大多數(shù)的數(shù)學探究以

個人形式進行，這么高的比例距課程標準提倡的合作交流尚有差距．個人形式的學習側重培養(yǎng)學生的自主性，特別是對探究過程的計劃、監(jiān)控、調節(jié)和評價．同伴或團隊形式的學習側重培養(yǎng)學生的合作精神，尤其是團隊中的角色分工、數(shù)學交流、人際互動和知識共建等．現(xiàn)代建構主義認為，學習應該是社會交互、情境性與自我體驗相互統(tǒng)一的過程．在設計數(shù)學探究時應辯證認識自主與合作的不同功能，優(yōu)勢互補，提倡個人獨立思考基礎上的合作，并對合作的人數(shù)、開展形式、具體任務提出要求，防止學生的合作流于形式，最終實現(xiàn)教材價值的均衡互補．