數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下的立體幾何教學(xué)
——以“直線與平面垂直的性質(zhì)”為例

陳德燕

(福建省福州第一中學(xué) 350001)

眾所周知，立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的一門學(xué)科，直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等是基本的研究方法.立體幾何的教學(xué)，要使學(xué)生通過(guò)探索和認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、以及對(duì)基本圖形(點(diǎn)、直線、平面)位置關(guān)系的判定、性質(zhì)的探索，在獲得立體幾何知識(shí)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)幾何直觀、空間想象力和邏輯推理能力的發(fā)展，提升直觀抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

從上所述可以看出，“探索”是立體幾何教學(xué)的關(guān)鍵詞.具體而言，就是要使學(xué)生在探索空間圖形的結(jié)構(gòu)特征中形成幾何直觀、體會(huì)直觀抽象，感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程、體會(huì)數(shù)學(xué)抽象；在探索發(fā)現(xiàn)幾何元素(直線、平面)間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)過(guò)程中，學(xué)會(huì)“有邏輯地思考與推理”，培養(yǎng)運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物的能力；在探索判定與性質(zhì)的證明方法的過(guò)程中，培養(yǎng)邏輯推理能力，養(yǎng)成正確的思維方式.

上述目標(biāo)與讓學(xué)生學(xué)會(huì)解高考題、在高考中得高分的目標(biāo)是非常不同的，需要我們教師切實(shí)地改變數(shù)學(xué)教育理念，改進(jìn)教學(xué)行為.筆者認(rèn)為，實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的關(guān)鍵有三個(gè)，一是充分相信學(xué)生的探究能力；二是幫助學(xué)生明確探索的方向，構(gòu)建探索的路徑，找到探索的方法；三是給予學(xué)生足夠的獨(dú)立思考時(shí)間.基于這一認(rèn)識(shí)，筆者以直線與平面垂直為載體進(jìn)行了一次教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的嘗試.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行關(guān)系的判定、性質(zhì)，直線、平面垂直關(guān)系的判定，對(duì)直線、平面垂直關(guān)系的性質(zhì)的研究是立體幾何的“收關(guān)”階段.此時(shí)，必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)立體幾何的內(nèi)容、方法進(jìn)行歸納總結(jié)，使他們明確線面位置的“判定”研究什么？“性質(zhì)”研究什么？如何研究？同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體悟“幾何的思維”方式，構(gòu)建空間圖形位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的研究途徑、方法.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生運(yùn)用總結(jié)出的研究思路獨(dú)立探究直線、平面垂直關(guān)系的性質(zhì)，加深對(duì)直線、平面位置關(guān)系性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，切實(shí)掌握探究方法.為此，本課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)總體思路是：

先總結(jié)直線、平面平行關(guān)系的性質(zhì)的研究路徑，包括內(nèi)容、過(guò)程和方法，并由此構(gòu)建探究幾何元素位置關(guān)系的“性質(zhì)”的方向與路徑；再以此為依據(jù)，探究直線、平面垂直關(guān)系的性質(zhì)和證明.

由于學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過(guò)直線、平面平行的判定與性質(zhì)，已經(jīng)了解了研究一種幾何關(guān)系的“基本套路”，因此上述設(shè)計(jì)思路與學(xué)生的認(rèn)知水平是相一致的.

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 歸納總結(jié)直線、平面平行關(guān)系性質(zhì)定理的共性

教師通過(guò)如下表格形式展示直線、平面平行關(guān)系的性質(zhì)定理：

定理名稱直線與平面平行的性質(zhì)定理平面與平面平行的性質(zhì)定理文字?jǐn)⑹鲆粭l直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個(gè)平面平行,同時(shí)和第三個(gè)平面相交,則它們的交線平行符號(hào)表示a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.圖 示略略

續(xù)表

問(wèn)題1分析兩個(gè)性質(zhì)定理的結(jié)構(gòu)，你能歸納出它們的共性嗎？由此，你能給出探究與發(fā)現(xiàn)直線、平面平行關(guān)系的性質(zhì)的方法嗎？

學(xué)生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，將思考結(jié)果寫下來(lái)；再進(jìn)行小組交流，相互啟發(fā)；最后讓有不同想法的學(xué)生進(jìn)行全班發(fā)言.

這個(gè)問(wèn)題非常關(guān)鍵，同時(shí)也有一定難度，所以要留給學(xué)生充分的時(shí)間.教師在學(xué)生發(fā)言后進(jìn)行歸納總結(jié)，并把如下結(jié)論寫在黑板上：

共性以平行關(guān)系為條件，通過(guò)引入一個(gè)平面，并借助它得到圖形中某些幾何元素之間確定的位置關(guān)系.

教師給出說(shuō)明：這里要求位置關(guān)系是“確定的”，就是無(wú)論引入的平面如何變化，只要它經(jīng)過(guò)直線a，那么在a∥α的條件下，這個(gè)平面與α的交線總是與a平行的.如果不是這樣，那就不能成為一條性質(zhì).如由a∥α，引入直線b，若b∥α，則a與b或相交或平行或異面，就不是直線與平面平行的一個(gè)性質(zhì)，至少不是一個(gè)“好的性質(zhì)”.

追問(wèn)1事實(shí)上，引入的幾何元素可以是多樣的，由此可以得到不同的位置關(guān)系.你能根據(jù)上述思路，自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)直線、平面平行關(guān)系的性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)一個(gè)已經(jīng)學(xué)過(guò)的平行關(guān)系的性質(zhì)，為后續(xù)研究“熱身”.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立探究，獲得成果后進(jìn)行全班交流.

例如，由a∥α，引入直線b，若b⊥α，則a⊥b，這也是直線與平面平行的一個(gè)性質(zhì)：若直線與平面平行，則該直線與平面的垂線垂直.(a∥α，b⊥α?a⊥b).

追問(wèn)2結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的直線與直線、直線與平面平行的性質(zhì)定理，你能得出探究直線、平面在某種位置關(guān)系下的性質(zhì)的一般方法嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，最后要總結(jié)出如下結(jié)論：

探究直線、平面在某種位置關(guān)系(主要是平行、垂直)下的性質(zhì)，就是探究它們與其他直線、平面是否形成確定的關(guān)系.探究這種性質(zhì)的一般思路是：引入恰當(dāng)?shù)膸缀卧?直線、平面)，觀察它在變化的過(guò)程中是否與已知直線、平面形成某些確定的位置關(guān)系.

2.2 直線與平面垂直的性質(zhì)的探究

問(wèn)題2根據(jù)上面的結(jié)論，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)探究直線與平面垂直性質(zhì)的“路徑”嗎？

以a⊥α為條件，研究除直線a與平面α以外的直線或平面與直線a以及平面α之間的位置關(guān)系.即在a⊥α的前提下，引入輔助的幾何元素(直線或平面)，探究輔助的幾何元素在變化過(guò)程中與直線a或平面α間是否形成確定不變的位置關(guān)系.

學(xué)生自主探究：請(qǐng)你根據(jù)上述思路，獨(dú)立探究直線與平面垂直的性質(zhì)(至少2條性質(zhì)).

教師可以在學(xué)生自主探究的過(guò)程中進(jìn)行全班巡視，了解學(xué)生探究的情況.在大多數(shù)學(xué)生得出結(jié)論的基礎(chǔ)上，讓有代表性的學(xué)生發(fā)言，教師將學(xué)生探究得到的性質(zhì)分類整理成如下表格：

(1)引入的幾何元素為直線

引入的幾何元素直線b直線b直線b直線b直線b與已知線面的關(guān)系b?αb⊥αb∥ab⊥a,b?αb∥α性質(zhì)(符號(hào)表示)a⊥α,b?α?a⊥ba⊥α,b⊥α?a∥ba⊥α,b∥a?b⊥αa⊥α,b⊥a,b?α?b∥αa⊥α,b∥α,?b⊥a;圖 示文字?jǐn)⑹?現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例與性質(zhì)的證明,作為課后作業(yè).

(2)引入的幾何元素為平面

引入的幾何元素平面β平面β平面β平面β與已知線面的關(guān)系a?βa∥βa⊥ββ∥α性質(zhì)(符號(hào)表示)a⊥α,a?β?α⊥βa⊥α,a∥β?α⊥βa⊥α,a⊥β?α∥βa⊥α,α∥β?a⊥β圖 示文字?jǐn)⑹?現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例與性質(zhì)的證明,作為課后作業(yè).

2.3 直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其證明

問(wèn)題3上面我們探究出了9條直線與平面垂直的性質(zhì).如果要選擇其中的一條作為直線與平面垂直的性質(zhì)定理，你會(huì)選擇那一條？說(shuō)說(shuō)你的理由.

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)問(wèn)題可以有不同的答案.讓學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題，目的是希望他們了解，教材中給出的性質(zhì)定理是數(shù)學(xué)家選擇的結(jié)果，選擇的標(biāo)準(zhǔn)主要是簡(jiǎn)單、直觀、有用.考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和課堂時(shí)間，不做展開，主要由教師給出說(shuō)明.

別呦呦說(shuō)：“有句話叫‘雨后春筍’，說(shuō)得就是這個(gè)。春筍的力量可大了，別說(shuō)穿破泥土，就是石頭也能掀翻。春筍得了雨，力氣大了，膽子也大了，頂著我的褻褲，在風(fēng)中賣弄呢。這風(fēng)看起來(lái)，也花花綠綠的?！?/p>

問(wèn)題4我們把“同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行”作為主要的性質(zhì)定理，選擇理由是：它給出的條件都是直線與平面垂直，而且體現(xiàn)了垂直與平行間的化歸.你能給出證明的思路嗎？

【注】考慮時(shí)間關(guān)系，課內(nèi)以介紹證明策略(方法)、易錯(cuò)點(diǎn)為主，具體的證明過(guò)程作為作業(yè)讓學(xué)生課后完成.

師生活動(dòng)：在學(xué)生獨(dú)立思考后，先讓學(xué)生發(fā)言，要讓學(xué)生之間進(jìn)行相互補(bǔ)充，基本完善后教師再講解.

證明平行關(guān)系的一般策略(方法)：

(1)在空間中可用的定理：線面平行、面面平行的性質(zhì)定理(平行關(guān)系較少)；

【體現(xiàn)對(duì)結(jié)論的理性分析，有邏輯地思考問(wèn)題】

(2)轉(zhuǎn)化為在平面中考慮，可以利用：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行.(垂直關(guān)系較多，利用垂直關(guān)系比較容易實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)化)

在此基礎(chǔ)上，教師展示學(xué)生中的兩種思路，請(qǐng)全班學(xué)生思考是否妥當(dāng)，并說(shuō)明理由.

思路一如圖，設(shè)a⊥α于A，b⊥α于B，連結(jié)AB.

則a⊥AB，b⊥AB.

所以，a∥b.

【注】證法錯(cuò)誤.沒有a、b、AB共面的支撐.

思路二如圖，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)O，過(guò)O作直線a′∥a，b′∥b.

則由a⊥α，b⊥α，得a′⊥α，b′⊥α，這樣過(guò)點(diǎn)O有兩條直線與平面α垂直，這不可能.

所以，a′與b′重合.

因此，a∥b.

【注】證法錯(cuò)誤.推理的依據(jù)“過(guò)空間一點(diǎn)O與平面α垂直的直線唯一”本質(zhì)上與要證的結(jié)論是等價(jià)的，陷入了“循環(huán)論證”.

結(jié)合上述兩種思路的分析，給出本題證明過(guò)程(反證法).

2.4 歸納小結(jié)、課后作業(yè)

小結(jié)：本節(jié)課我們從復(fù)習(xí)與分析直線、平面平行關(guān)系的2個(gè)性質(zhì)定理入手，歸納了“性質(zhì)定理”的結(jié)構(gòu)，明確了“位置關(guān)系的性質(zhì)”的含義，從而明確了直線、平面位置關(guān)系的性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容，構(gòu)建了研究直線、平面的“位置關(guān)系的性質(zhì)”的路徑，并以此為依據(jù)，探索了9條直線與平面垂直的性質(zhì).這里，明確直線、平面平行或垂直的性質(zhì)到底指什么、一種幾何位置關(guān)系的性質(zhì)是如何表現(xiàn)的等等是非常重要的，它給我們研究性質(zhì)指明了方向.

課后作業(yè)：

1.完成課堂中探究的8條直線與平面垂直性質(zhì)的：文字?jǐn)⑹觥F(xiàn)實(shí)生活實(shí)例、及其證明.

2.探究平面與平面垂直的性質(zhì).

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這里，“知何由以知其所以然”就是要求我們把“如何思考”、“如何研究”等作為幾何教學(xué)的核心目標(biāo)，實(shí)際上這就是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者在作出上述教學(xué)設(shè)計(jì)后進(jìn)行了教學(xué)實(shí)施，實(shí)踐表明，只要給學(xué)生充分的時(shí)間，他們都能夠?qū)Α靶再|(zhì)”的表現(xiàn)方式、研究的內(nèi)容和方法等作出歸納，盡管語(yǔ)言表述比較稚嫩(其實(shí)這也是我們?cè)谝酝慕虒W(xué)中沒有注意這方面的訓(xùn)練造成的)，但主要的意思都是到位的.上述直線與平面垂直的8個(gè)命題都是學(xué)生探究出來(lái)的，而且大部分學(xué)生都表示“比較容易發(fā)現(xiàn)”.所以，只要我們樹立正確的學(xué)生觀，充分相信學(xué)生，放手讓學(xué)生去獨(dú)立探究，學(xué)生的創(chuàng)造力就能體現(xiàn)出來(lái).這樣的教學(xué)，與“定理——證明——例題——練習(xí)”的目標(biāo)追求有很大的差異，教學(xué)路徑也有很大的不同，學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也會(huì)很不一樣.通過(guò)實(shí)踐使筆者堅(jiān)信，這樣的教學(xué)才是落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的正道.