基本量思想的涵義與運(yùn)用

袁利江

(浙江省嵊州市教育體育局教研室 312400)

在一些數(shù)學(xué)問題中，雖然涉及到許多量，但其中有幾個(gè)量是可以獨(dú)立取值的，而其他量則是這些量的函數(shù)．我們把任意一組可以獨(dú)立取值的量作為基本量，從而數(shù)學(xué)問題就演變?yōu)閮H僅研究這些基本量之間的關(guān)系了．我們提出的“基本量思想”，其操作模式的思維方式是通過減少未知量個(gè)數(shù)，以求獲得問題的解的過程．它是從問題組成的若干個(gè)量出發(fā)有針對(duì)性的研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一種思維方法．

基本原理

若m(m∈N*)個(gè)變量滿足n(n∈N*，n

這種操作思想，具有模式化的效用，采用的方法是逐步消元，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．至于選哪m-n個(gè)量作為選定的基本量，可視具體問題的研究方便而定．

1 單個(gè)基本量問題

1．1 運(yùn)用于求值

例1(浙江省2016學(xué)年第一學(xué)期9+1高中聯(lián)盟高三年級(jí)期中考，第8題)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a，b，c均為非零整數(shù))，且f(a)=a3，f(b)=b3，a≠b，則c=

A．16 B．8 C．4 D．1

例2(2016年北京大學(xué)博雅計(jì)劃自主招生考試數(shù)學(xué)試題第5題)

若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為( )

A．-13 B．-9

C．-5 D．前三個(gè)答案都不對(duì)

解析1設(shè)方程x2-3x-1=0的兩根為x1，x2∈R，方程x4+ax2+bx+c=0的另外兩個(gè)實(shí)根為x3，x4∈R，由根與系數(shù)的關(guān)系式得：x1，x2，x3，x4滿足x1+x2=3，x1x2=-1，以及

解法2設(shè)x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)·(x2+mx+n)，其中m，n∈R．于是x4+ax2+bx+c=x4+(m-3)x3+(n-3m-1)x2-(m+3n)x-n，

上述方程組共涉及5個(gè)量a，b，c，m，n，滿足4個(gè)方程，從而有1個(gè)基本量，不妨選n，則a=n-10，b=-3-3n，c=-n．從而a+b-2c=-13．

點(diǎn)評(píng)上述解法1中，變量x1，x2，x3，x4的引入是立足于方程的實(shí)根；解法2中，則是利用了已知兩方程之間的實(shí)根之間聯(lián)系，而引入兩個(gè)新的變量m，n．不難看出，由于變量的選擇(引入)不同，使得問題解決的方式和效果也顯然不同．有時(shí)為了問題達(dá)到數(shù)學(xué)化表述的需要，需要引入必要的變量，從而使得問題產(chǎn)生了不同的基本量選擇，這也是產(chǎn)生“一題多解”的重要原因之一．但至少可以肯定的是，有基本量思想的指引，一定會(huì)在正確的解題線路上，即目標(biāo)意識(shí)不會(huì)缺失，只是能走多遠(yuǎn)的問題罷了．

1．2 運(yùn)用于確定最值或范圍

例3在等比數(shù)列{an}中，已知(a1+a4)-(a2+a3)=3，若an+1>an，求a6-a5的最小值．

所以

解法2因?yàn)?a1+a4)-(a2+a3)=3等價(jià)于(a4-a3)-(a2-a1)=3，而數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列，公比也為q，故a2-a1可以看作一個(gè)獨(dú)立的量．

點(diǎn)評(píng)從上述解法中我們不難發(fā)現(xiàn)，單個(gè)基本量思想運(yùn)用于代數(shù)式范圍或最值的確定，與函數(shù)思想有“異曲同工”之功效，其基本原理是相通的．

1．3 運(yùn)用于解決實(shí)際問題

例4(高考題)如圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖，公司在年初分配給A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、54、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為( )

A．18 B．17 C．16 D．15

解析設(shè)A→B件數(shù)為x1(x1<0時(shí)，為B→A，以下同)，B→C為x2件，C→D為x3件，D→A為x4件，則

解得x2=x1+5，x3=x1+1，x4=x1-10．

故調(diào)動(dòng)總件數(shù)為|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1-10|．

f(x1)=(|x1|+|-1-x1|)+(|x1+5|+|10-x1|)≥|x1-1-x1|+|x1+5+10-x1|=16．

當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x1≤0時(shí)等號(hào)取到，故x1=0或x1=-1．

從而，有兩種調(diào)動(dòng)方案．

(1)x1=0時(shí)，方案如下：

由x1=0，x2=5，x3=1，x4=-10得

調(diào)動(dòng)件次為：0+5+1+|-10|=16．

(2)x1=-1時(shí)，方案如下：

從表7可以看出，錫石多金屬硫化礦主要礦石礦物的吸波能力存在顯著差異，其中，脆硫銻鉛礦的吸波能力最強(qiáng)，其次是黃鐵礦，再次是錫石，閃鋅礦和脈石礦物的吸波能力最差。因此，錫石多金屬硫化礦主要礦石礦物的吸波能力差異奠定了錫石多金屬硫化礦的微波選擇性加熱的基礎(chǔ)。

由x1=-1，x2=4，x3=0，x4=-11得

調(diào)動(dòng)件次為： |-1|+4+0+|-11|=16．

點(diǎn)評(píng)本題是一個(gè)實(shí)際問題，為了數(shù)學(xué)化，我們引進(jìn)了4個(gè)變量x1，x2，x3，x4，并用這些變量將問題中的數(shù)量關(guān)系符號(hào)化，由此便得到題中的4個(gè)方程，實(shí)則3個(gè)獨(dú)立性方程，從而產(chǎn)生1個(gè)基本量．本解法，從理論上嚴(yán)格論證了調(diào)動(dòng)件次最少的兩種方案．

2 兩個(gè)基本量問題

2．1 運(yùn)用于求解最值或范圍

例5(2016年中國奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題)

已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+bx2+ax+1(a，b∈R)至少有一個(gè)零點(diǎn)．求a2-b的最小值．

即x0=1，a=-1，b=0，或x0=-1，a=1，b=0時(shí)，a2-b取到最小值1．

點(diǎn)評(píng)當(dāng)基本量個(gè)數(shù)有2個(gè)時(shí)，在基本量思想的操作下，目標(biāo)式被轉(zhuǎn)化為二元多項(xiàng)式，為得到最后的解，需要對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行逐個(gè)消元(即基本量)處理方能得到最后的值．本題是采用配方法達(dá)到逐個(gè)消元的目的．

例6(2017年浙江高考數(shù)學(xué)調(diào)測(cè)試卷第17題)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求3a+b的取值范圍．

于是3a+b=-3(x1+x2)+x1x2=(3-x1)·(3-x2)-9．

因?yàn)閤1，x2∈(0，1)，所以3-x1∈(2，3)，3-x2∈(2，3)，

于是(3-x1)(3-x2)∈(4，9)，

故3a+b=(3-x1)(3-x2)-9∈(-5，0)．

點(diǎn)評(píng)本例中，我們引進(jìn)x1，x2與題中a，b共產(chǎn)生4個(gè)變量，根據(jù)條件共建立2個(gè)方程，從而有2個(gè)基本量．由于目標(biāo)式是關(guān)于a，b的多項(xiàng)式，所以選擇x1，x2作為基本量較為妥當(dāng)．值得一提的是，本題中的條件也可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為

然后利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)求解．

2．2 運(yùn)用于證明恒等式

分析條件方程共涉及3個(gè)量α，β，γ，滿足1個(gè)方程，有2個(gè)基本量，顯然選α，β為基本量后，由已知解出cos2γ較為簡(jiǎn)單，然后代入求證式的右邊，再化簡(jiǎn)可得左邊，從而等式成立．

點(diǎn)評(píng)對(duì)于條件等式的證明，往往有多種思路，有一定的難度．用基本量思想，只需將cos2γ用α，β的三角式表示后，代入目標(biāo)式中化簡(jiǎn)即可，這樣就把條件等式問題簡(jiǎn)化為絕對(duì)等式問題了．

3 多個(gè)(超過2個(gè))基本量問題3．1 運(yùn)用于求最值或范圍

例8已知a，b，c，x，y滿足ax+by+2c=0，c≠0，ab-c2≥0，求xy的最大值．

解析1此題滿足2個(gè)數(shù)量關(guān)系式a+by+2c=0與ab-c2≥0，共涉及5個(gè)量，可以認(rèn)定為3個(gè)基本量，可取為x，b，c．

點(diǎn)評(píng)求解多個(gè)基本量問題，一般采用逐步調(diào)整消元法．此題條件中共有2個(gè)數(shù)量關(guān)系(1個(gè)等式，1個(gè)不等式)，出現(xiàn)5個(gè)變量，故有3個(gè)基本量．不等關(guān)系的介入，使得問題相對(duì)于等量關(guān)系更為復(fù)雜，變量之間相互表示也變得困難，尤其是單項(xiàng)式的次數(shù)是2次(甚至超過2次)時(shí)，變量之間的關(guān)系就變得更加緊密而難以分離，這在某種程度上使得部分基本量的選擇失去了其該有的靈活性．也就是說，方程變?yōu)橄鄳?yīng)的不等式，會(huì)隨著單項(xiàng)式次數(shù)的升高，使得基本量難以表示所有的非基本量，加上條件關(guān)系式又少，從而使得問題變得更為抽象復(fù)雜，而難以解決．本題中，我們利用方程解出y代入目標(biāo)式，可以達(dá)到消元的目標(biāo)，但不等式關(guān)系卻難以實(shí)現(xiàn)單個(gè)參變量的代換，因?yàn)樽兞縜，b符號(hào)的不確定性使不等式不能直接除以a或b予以實(shí)現(xiàn)，如本題兩種解法中，目標(biāo)式xy均是關(guān)于a，b，c，x的多項(xiàng)式，基本量雖是3個(gè)，但變量卻留下了4個(gè)．所以，在解析1中，我們是對(duì)條件不等關(guān)系先進(jìn)行變形，把變量a，b與b，c先整合在一起，然后整體代入，再通過逐步放縮消元得到目標(biāo)式的最大值；而解析2中，我們則先利用基本量思想消去y，然后通過配方消去變量x，再利用條件不等關(guān)系ab-c2≥0放縮求得目標(biāo)式的最值．

基于基本量思想的運(yùn)用原理，條件等式一般是在問題求解之初使用，但在多個(gè)基本量問題中的運(yùn)用，則不能循規(guī)蹈矩，需要隨具體情況而論，或整合參變量，或滯后代入．

3．2 運(yùn)用于確定數(shù)組個(gè)數(shù)

例9(中等數(shù)學(xué)2016年第7期第40頁，數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(205)第8題)

結(jié)合yz≥1，從而正整數(shù)y，z須滿足y=z=1．

上述1個(gè)方程涉及3個(gè)量，有2個(gè)基本量，不妨選a，b．

若b≥2，則a≥b≥2，結(jié)合a≥c有

2a+b+4c+10≤7a+10≤7a+5a=12a<8ab≤8abc，矛盾；

綜上所述，滿足條件的六元數(shù)組(a，b，c，x，y，z)的個(gè)數(shù)為0．

4 感悟

數(shù)學(xué)中的思想，它可以是一種解題的方法，但又高于方法．因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)應(yīng)注重背后數(shù)學(xué)思想方法的提煉與應(yīng)用，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)者必須遵守的重要原則．當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法也不能混為一談．?dāng)?shù)學(xué)思想可以認(rèn)為是基于思維活動(dòng)概括總結(jié)得到的處理數(shù)學(xué)問題的一種基本觀點(diǎn)，是數(shù)學(xué)策略的一種，而數(shù)學(xué)方法是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．它們之間的本質(zhì)區(qū)別，其實(shí)就在于是否有數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的介入．

本文中提到的基本量思想，它可以理解為操作層面的一種解題方法，但其解題思維具有一定的普遍性，所以筆者稱之為“思想”．“數(shù)學(xué)知識(shí)好比是人的肌肉，數(shù)學(xué)思想方法好比是人的血液，沒有血液的流動(dòng)，肌肉則是僵的”．借用章建躍博士的話來形容，就是道與術(shù)的關(guān)系，“道”即“思想”．我們要數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要追求的，便是教學(xué)中的“道”！