三角形一個性質(zhì)在四面體中的推廣*

曾建國

(贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 341000)

1 引言

眾所周知，三角形的葛爾剛(Gergonne)點是指圖1中三線之交點，即有

圖1

命題1[1]連結(jié)三角形的頂點和內(nèi)切圓與對邊切點的直線，三線交于一點.

筆者在文[2]中將三角形的葛爾剛點的性質(zhì)推廣至四面體中，即有

定理1[2]若四面體有棱切球，則過每一條側(cè)棱及棱切球與其對棱切點的平面，6個平面交于一點.

三角形還有另一個性質(zhì)(參見圖2、圖3)

圖2

圖3

命題2[3]一圓交△ABC的各邊或其延長線于兩點，設(shè)直線BC、CA、AB上的交點分別是D與D′，E與E′，F(xiàn)與F′，若AD、BE、CF三線共點，則AD′、BE′、CF′三線共點或平行.

筆者注意到，命題1與命題2有密切的聯(lián)系：命題2中當(dāng)圓與△ABC各邊上兩個交點重合為一點(即圖2、3中的圓變成△ABC的內(nèi)切圓)時，結(jié)論就變成命題1.因此，命題1是命題2的特例，命題2可以看作命題1的一種推廣.

既然命題1可以推廣至四面體中(定理1)，那么命題2是否也可以推廣至四面體中？本文試圖研究此問題.

2 命題2的推廣

將命題2推廣至四面體中，有

定理2在四面體A1A2A3A4中，設(shè)側(cè)棱AiAj(或其延長線)與一球面交于兩點Bij，Bij′(1≤i

依題設(shè)知，平面A1A2B34、A1A3B24、A1A4B23有兩個公共點A1和M，所以此三平面交于直線A1M.依題設(shè)又知A1M與側(cè)面A2A3A4必交于一點M1，則直線A2B34、A3B24、A4B23交于一點M1.

(1)當(dāng)A2B34′、A3B24′、A4B23′交于一點N1時，因N1∈側(cè)面A2A3A4，則直線A1N1與側(cè)面A2A3A4相交于N1(見圖4)；

圖4

圖5

綜合(1)(2)知：

同理可證：

當(dāng)A1N1與A2N2均與所對側(cè)面相交時(參見圖4)，A1N1與A2N2不平行是顯然的；

綜上可知，A1N1與A2N2共面但不平行，故可設(shè)A1N1與A2N2相交于點M′.

在定理2中，當(dāng)球面與四面體每條棱上的兩交點重合，即當(dāng)四面體有棱切球時，就得到定理1的結(jié)論.因此，定理2可看作定理1的一種推廣.

3 結(jié)語

細(xì)心的讀者可能會發(fā)現(xiàn)，定理2對點M的位置進(jìn)行了限制，這是為了確保直線AmM(m=1,2,3,4)與頂點Am所對側(cè)面均相交，從而便于在證明過程中能應(yīng)用命題2的結(jié)論.至于M在其他特殊位置時情況較為復(fù)雜，有待進(jìn)一步研究.