小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的研究、模擬及其教學(xué)啟示

殷慶

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)在新課改這一教育背景中，對問題解決能力的重視程度越來越高。數(shù)學(xué)問題解決過程即思維認(rèn)知、模擬以及分析的系列過程，同時，它能對后期數(shù)學(xué)教學(xué)給予重要啟示。本文以“異分母相加”問題為例，探究了小學(xué)數(shù)學(xué)在進(jìn)行問題解決時的認(rèn)知研究、模擬和啟示。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；認(rèn)知分析；問題；模擬；教學(xué)啟示

前言

近年來隨著科學(xué)的發(fā)展速度逐漸加快，部分專家學(xué)者對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的研究越來越深入。數(shù)學(xué)解題活動是較為典型的學(xué)習(xí)活動，分析該學(xué)科的問題解決認(rèn)知和模擬，不僅能夠探索相對系統(tǒng)的認(rèn)知規(guī)律，還能獲得有效的教學(xué)啟示，促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)有序發(fā)展。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬中存在的問題

現(xiàn)如今，計算機(jī)技術(shù)在社會發(fā)展中占有重要的社會地位，該技術(shù)廣泛走進(jìn)教育教學(xué)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)問題解答方面發(fā)揮著不可替代的重要作用，它能縮短問題的解決時間，降低問題的復(fù)雜程度。但是，該先進(jìn)技術(shù)如果從單一的機(jī)器角度進(jìn)行解題分析，它與學(xué)科規(guī)定的解答存在較大差異，一定程度上，超過了小學(xué)生已有的知識范圍，該技術(shù)對數(shù)學(xué)教學(xué)的貢獻(xiàn)相對較小。某教授針對數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程進(jìn)行分析時，雖然給出了相應(yīng)的認(rèn)知模擬理論，但是具體的認(rèn)知過程未能及時提供。除此之外，雖然相關(guān)研究學(xué)者對于數(shù)學(xué)問題解決進(jìn)行了各自分析，但是分析具有絕對獨立性，分析缺乏綜合性和實質(zhì)性，研究成果尚待完善。

二、 小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬的基本分析

（一） 典型的數(shù)學(xué)問題

小學(xué)數(shù)學(xué)異分母相加以小學(xué)生獨立進(jìn)行異分母運算為基本的教學(xué)目標(biāo)，同時，該問題也是程序性知識中較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)例題。學(xué)習(xí)這一數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之前，小學(xué)生要掌握基本的倍數(shù)知識，數(shù)學(xué)教師在分析教材和了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點的基礎(chǔ)上，應(yīng)合理設(shè)置數(shù)學(xué)問題。

（二） 具體認(rèn)知研究

數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知研究以認(rèn)知模擬做基本的分析依據(jù)，主要由六模塊構(gòu)成，分別為視覺模塊、產(chǎn)生式模塊、提取模塊、目標(biāo)模塊、空間模塊、輸出模塊。本文“異分母相加”數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知流程具體如下：首先，學(xué)生對于教師提出的數(shù)學(xué)問題通過視聽過感知后，準(zhǔn)確明細(xì)數(shù)學(xué)題意，然后將解題目標(biāo)確定為異分母相加，即1/5+2/3=？，該過程即文字問題到數(shù)字問題的轉(zhuǎn)換。其次，實際解決1/5+2/3=？時，產(chǎn)生式“不同分母相加運算，得出最小公倍數(shù)”，即分式運算變?yōu)?和3的最小公倍數(shù)運算，5×3=15。再次，將不同分母統(tǒng)一化，開始分母通分，通分結(jié)果為：3/15和10/15。然后，通分過后進(jìn)行同分母相加數(shù)學(xué)運算，運算原則為：相同或者不同分子相加，分母保持不變。最后，根據(jù)上述通分運算規(guī)則，進(jìn)行3+10=13的分子運算，最終結(jié)果為13/15，即完成異分母相加的數(shù)學(xué)問題解決運算。

三、 具體實驗驗證

（一） 研究對象

選取某小學(xué)校五年四班三名男生、三名女生為研究對象，其中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀、數(shù)學(xué)成績一般、數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生各占兩名，平均年齡131個月，年齡范圍在127～137個月之間。

（二） 基本材料

所設(shè)置的兩道數(shù)學(xué)問題分別是思維練習(xí)題和異分母相加題，具體問題如下：

問題一：五年一班進(jìn)行跳繩測驗，第二組7名學(xué)生在60秒鐘的跳繩成績分別為171、143、133、145、137、141、139，從成績中選出最能代表一般跳繩水平的成績。

問題二：給圖形為長方形的白卡紙?zhí)畛漕伾t顏色占紙張的五分之一，綠顏色占紙張的三分之二，并且紅綠顏色不能重合，提問，紅色和綠色共占紙張的多少？

（三） 數(shù)據(jù)整理

所收集的資料由兩部分構(gòu)成，第一部分是口語報告，第二部分是數(shù)學(xué)解題作業(yè)。前者由專業(yè)工作人員進(jìn)行文本翻譯，翻譯過后結(jié)合后者進(jìn)行編碼分析。編碼分析的過程中，要將分析內(nèi)容統(tǒng)一化，避免出現(xiàn)過大的編碼分歧。

（四） 結(jié)果分析

為了驗證模型的有效性，本次實驗主要應(yīng)用對比分析法，即將口語報告結(jié)果與計算機(jī)模擬結(jié)果進(jìn)行對比，通過比較觀察對后者實施有效性分析。在異分母相加數(shù)學(xué)問題解決中，口語報告的同學(xué)在實際解題中均具有環(huán)節(jié)一致性，在最小公倍數(shù)這一數(shù)學(xué)環(huán)節(jié)中，其中一位同學(xué)在不規(guī)范產(chǎn)生式的影響下導(dǎo)致了解題失誤，其余同學(xué)都能正確求得最小公倍數(shù)為15。這一數(shù)學(xué)問題的口語報告和解決認(rèn)知模擬相比，二者具有一致性。

四、 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從中得到的啟發(fā)

隨著社會經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展步伐的逐漸加快，人工智能等先進(jìn)設(shè)備的不斷問世，它能為小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決提供新的發(fā)展方向，與此同時，它還能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，深入分析數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)設(shè)計，完善數(shù)學(xué)培訓(xùn)系統(tǒng)。

（一） 解決方式多樣

解決異分母相加這一數(shù)學(xué)問題時，雖然同學(xué)最終的解題結(jié)果均是15，但是在解決問題的過程中，其中一位同學(xué)提到了質(zhì)數(shù)這一數(shù)學(xué)概念，指兩個分子互為質(zhì)數(shù)，從而激活了大腦中互質(zhì)數(shù)數(shù)學(xué)定義，記憶模式特點為陳述性。另兩位同學(xué)忽略互質(zhì)數(shù)，直接說出了公倍數(shù)，這兩人的激活記憶模式特點為程序性。從中能夠看出，當(dāng)解決同一數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生考慮問題的角度和解題策略存在差異性，因此，教師在實際教學(xué)中應(yīng)重點培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平、開闊學(xué)生的思維空間，對于多角度思考數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，教師應(yīng)及時給予表揚。

（二） 自動化現(xiàn)象明顯

在解決異分母相加最小公倍數(shù)這一數(shù)學(xué)問題時，某位同學(xué)求最小公倍數(shù)期間提出了互質(zhì)數(shù)概念，其余兩位同學(xué)將數(shù)值15直接說出。從中可以看出，小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒁延械臄?shù)學(xué)知識經(jīng)過認(rèn)知操作實現(xiàn)知識壓縮，隨著學(xué)習(xí)時間的不斷積累，多個認(rèn)知操作能夠融合統(tǒng)一，最終形成“組塊”，同時能夠說明自動化現(xiàn)象的存在，學(xué)習(xí)者經(jīng)過系統(tǒng)性數(shù)學(xué)訓(xùn)練后，面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，能運用視覺編碼和部分系列輸出操作將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、自動化呈現(xiàn)。某位研究專家這樣指出：要想在某領(lǐng)域中取得顯著成就，在長時間的知識記憶中要具備五萬個知識組塊，并且五萬個知識塊作為具體目標(biāo)在該領(lǐng)域中實施思維操作，大多時候?qū)⑵湟暈椴呗詰?yīng)用，但是實際這類知識塊相對完善和成熟。同時，足以說明數(shù)學(xué)成績差異較大的同學(xué)對同一問題存在解題不同、思維分析不同，成績相對優(yōu)異的同學(xué)對自動化知識的運用更加自如，然而，成績相對較差的同學(xué)運用自動化知識時會較困難。

（三） 構(gòu)建正確的產(chǎn)生式

在本文的異分母相加數(shù)學(xué)解決中能夠看出，上述同學(xué)之所以會出現(xiàn)錯誤的解題現(xiàn)象，主要是因為該同學(xué)構(gòu)建了錯誤的產(chǎn)生式，她將分子和分母做了乘法運算。導(dǎo)致該同學(xué)產(chǎn)生錯誤產(chǎn)生式的原因主要有兩種，一種是這位同學(xué)對分?jǐn)?shù)知識的把握不夠牢固，對分?jǐn)?shù)知識理解和運用的認(rèn)識較模糊，分?jǐn)?shù)語義模型分析存在一定問題。另一種是這位同學(xué)不明晰通分知識，對通分方法和意義的掌握不夠扎實，所以后期出現(xiàn)了分子和分母相乘。由此可見，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，一定要構(gòu)建正確的產(chǎn)生式，如果產(chǎn)生式發(fā)生了錯誤，那么最后的結(jié)果也會是錯誤的，從而大大降低了數(shù)學(xué)解題準(zhǔn)確率。

（四） 細(xì)化認(rèn)知分析過程

異分母相加的數(shù)學(xué)計算中，上述失敗現(xiàn)象屬于這類數(shù)學(xué)知識運算中較為典型的錯誤，該同學(xué)分別將分母相乘=15，分子相乘=2，乘法運算是準(zhǔn)確無誤的，從中能夠看出，該同學(xué)能扎實掌握乘法運算法則、能準(zhǔn)確辨別分子、分母，同學(xué)主要錯在未能創(chuàng)建正確的產(chǎn)生式。為了促使該同學(xué)能創(chuàng)建規(guī)范的產(chǎn)生式，數(shù)學(xué)教師要為該同學(xué)輸入正確的最小公倍數(shù)這一產(chǎn)生式，從而糾正同學(xué)錯誤。

結(jié)論

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知分析、模擬在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)揮著重要作用，構(gòu)建規(guī)范的認(rèn)知模型后，教師能利用該模型有效把握學(xué)生學(xué)習(xí)心理以及知識認(rèn)知程度，能合理控制教學(xué)進(jìn)度。小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決過程較復(fù)雜，教師為此要細(xì)化學(xué)科內(nèi)容，具體落實教學(xué)步驟，提高學(xué)生對已學(xué)數(shù)學(xué)問題的吸收效率。

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