問渠那得清如許，為有源頭活水來

顏堅真

[摘 要] 筆者針對高考壓軸題的教學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)偏移可以通過構(gòu)造一元差函數(shù)來處理及對數(shù)平均值是它的數(shù)學(xué)本質(zhì). 由此，給出重視教材內(nèi)容及習(xí)題創(chuàng)新、滲透數(shù)學(xué)思想及方法提煉、典型試題的來源及篩選等教學(xué)與備考的啟示.

[關(guān)鍵詞] 極值點(diǎn)偏移；構(gòu)造；一元差函數(shù)；對數(shù)平均值；數(shù)學(xué)本質(zhì)；教學(xué)啟示

考題再現(xiàn)

（2016年全國Ⅰ卷理科壓軸題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解析：（1）對a進(jìn)行分類討論，得到a的取值范圍為（0，+∞）. 第（2）題學(xué)生一開始感到很陌生，不知怎么找突破口. 為此，讓學(xué)生回顧教材，尋找與之類似的題型.

考題探源

（選修2-2第32頁習(xí)題1.3 B組T1（3））利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：ex>1+x（x≠0）.

解析：本題來源于高中教材中的選修內(nèi)容，學(xué)生很快就有了想法：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-x-1，然后求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性. 由f（x）>f（0）=0，從而得證. 有了剛才的求解體驗，學(xué)生的興趣很快被調(diào)動了起來. 借助多媒體技術(shù)的教學(xué)功能，用幾何畫板畫出函數(shù)f（x）=ex-x-1的圖像，觀察得到函數(shù)的極小值點(diǎn)x=0也是函數(shù)唯一的零點(diǎn).把函數(shù)圖像向下平移一個單位長度，得出函數(shù)f（x）=ex-x-2的圖像，由圖像可知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，并且極小值點(diǎn)x=0偏移兩個零點(diǎn)的中點(diǎn). 從而，趁機(jī)可以對本題進(jìn)行改編.

改編：已知函數(shù)f（x）=ex-x-2有兩個零點(diǎn)x1，x2，證明：x1+x2<0.

證明： f ′（x）=ex-1，所以x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn).

構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（-x）-f（x） ，即F（x）=e-x-ex+2x，F(xiàn)′（x）=-（e-x+ex-2）.

當(dāng)x∈（-∞，0）時，F(xiàn)′（x）<0，故F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減.

所以F（x）>F（0）=0，即f（-x）-f（x）>0.所以f（x）

由圖像可知，兩個零點(diǎn)x1，x2在0的兩側(cè). 不妨設(shè)x1<0

由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x2<-x1，即x1+x2<0.

由于x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，要證x1+x2<0，就是證明極值點(diǎn)偏移. 什么是極值點(diǎn)偏移？我們知道，二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)x0，若f（x）=c的兩根的中點(diǎn)為 ，則剛好有 =x0，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移（如圖1）；而函數(shù)g（x）= 的極值點(diǎn)x0=1剛好在兩根的中點(diǎn) 的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏（如圖2）.

我們對極值點(diǎn)偏移問題進(jìn)行分類，一是按極值點(diǎn)偏移的特點(diǎn)來分，可以分為兩類：左偏 >x0和右偏

從改編題的求解過程中，注重構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（-x）-f（x） . 2016年高考題第（2）題就是典型的極值點(diǎn)純偏移型問題. 由f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，得f ′（x）=（x-1）·（ex+2a），可知f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增. 要使函數(shù)y=f（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2，則必須a>0，由此（1）得解. 這時，學(xué)生明白了原來所證問題是極值點(diǎn)偏移，高興極了，紛紛欲試，一展身手，想嘗試挑戰(zhàn)2016年高考壓軸題.下面提供學(xué)生的解答方法：

解法一：構(gòu)造一元非對稱性差函數(shù).

（2）證明：f ′（x）=（x-1）（ex+2a）.

由（1）知a>0，所以x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn).

構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（2-x）-f（x） （x<1），整理得F（x）=-[xe2-x+（x-2）ex]，則F ′（x）=（1-x）（ex-e2-x）.

當(dāng)x∈（-∞，1）時，F(xiàn)′（x）<0，故F（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減.

所以F（x）>F（1）=0，即f（2-x）-f（x）>0.所以f（x）

由（1）可知，兩個零點(diǎn)x1，x2分居1的兩側(cè)，不妨設(shè)x1<1

由（1）可知， f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又x2>1， 2-x1>1，所以x2<2-x1，即x1+x2<2.

解法二：構(gòu)造一元對稱性差函數(shù).

由已知得f（x1）=f（x2）=0，不難發(fā)現(xiàn)x1≠1，x2≠1.

故可整理得-a= = . 設(shè)g（x）= ，則g（x1）=g（x2）.

構(gòu)造函數(shù)G（x）=g（1+x）-g（1-x），（x∈（-∞，1）），利用單調(diào)性可證，此處略.

點(diǎn)評：證x1+x2<2，即要證 <1. 是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不等式右邊的1恰好是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，因此本質(zhì)上是證極值點(diǎn)右偏.解決極值點(diǎn)偏移的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造一元差函數(shù)是此題的難點(diǎn).

考題本質(zhì)

從解法一到解法二，解答極值點(diǎn)純偏移型，它的方法在于構(gòu)造函數(shù)，一般處理策略為：

（1）構(gòu)造一元差函數(shù)F（x）=f（x）-f（2x0-x）（非對稱性）或是F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）（對稱性）；

（2）對一元差函數(shù)F（x）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)符號，確定其單調(diào)性；

（3）結(jié)合F（0）=0，判斷F（x）的符號，從而確定f（x0+x）與f（x0-x）的大小關(guān)系；

（4）由f（x1）=f（x2）=f[x0-（x0-x2）]與f[x0+（x0-x2）]=f（2x0-x2）的大小關(guān)系，得到f（x1）>（或<）f（2x0-x2）；

（5）結(jié)合f（x）的單調(diào)性得x1>（或<）2x0-x2，進(jìn)而得到 >（或<）x0.

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力. 通過這道高考題求解過程的反思，了解了構(gòu)造一元差函數(shù)是證明極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵所在. 但在處理這類問題上，學(xué)生產(chǎn)生了困惑：此題為什么要構(gòu)造差函數(shù)相減才能奏效，而不能相加？課后筆者與學(xué)生共同探討過進(jìn)行相加構(gòu)造加函數(shù)而以失敗告終，相減構(gòu)造差函數(shù)的思想基礎(chǔ)是什么？其他極值點(diǎn)偏移的考題是否也可以效仿相減的思路構(gòu)造差函數(shù)？帶著這些問題，筆者期待與大家共同探討交流，對問題進(jìn)一步探究，試圖解決學(xué)生心中的困惑.

此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）滿足如下條件：①函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）= . 當(dāng)f（b）=f（a）時，即得到羅爾中值定理.

上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理，聯(lián)系到f（ξ）= 的結(jié)構(gòu)形式，想到函數(shù)中的平均變化率，而它有很好的幾何意義. 為此，相減構(gòu)造差函數(shù)這一代數(shù)方法之所以能奏效，其理論思想基礎(chǔ)就是數(shù)形結(jié)合思想——A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)所在直線斜率k的坐標(biāo)表示. 涉及平均值，高中數(shù)學(xué)教材中的基本不等式能不能提供理論思想基礎(chǔ)的來源？

考題的進(jìn)一步拓展與延伸

高中數(shù)學(xué)教材上熟悉的基本不等式： ≤ （a，b∈R+），即“幾何平均數(shù)”小于或等于“算術(shù)平均數(shù)”，等號成立的條件是a=b. 對這個不等式加強(qiáng)之后，引入另一個平均值——對數(shù)平均值，得到對數(shù)平均值不等式：a>0，b>0，a≠b， < < .

以下給出證明：

由對稱性，不妨設(shè)a>b>0.

（1） < lna-lnb> ln > lnx> . 構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx- （x>1），則f ′（x）= . 因為x>1，所以f ′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增. 所以f（x）>f（1）=0，所以 < 成立.

（2） < lna-lnb< ln < 2lnx

構(gòu)造函數(shù)g（x）=2lnx-x- （x>1）， 則g′（x）=- -1 .

因為x>1，所以g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以g（x）

由（1）和（2）可知，當(dāng)a>0，b>0，且a≠b時，有 < < .

下面利用這個不等式解答2016年全國Ⅰ卷這道高考的壓軸題.

證明：設(shè)？搖f（x1）=f（x2）=0，則

（x1-2）ex1+a（x1-1）2=0，

（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0（x1

移項并兩邊取對數(shù)，得

ln（2-x1）-ln（1-x1）2+x1=lna①，

ln（2-x2）-ln（1-x2）2+x2=lna②.

①-②得

ln（2-x1）-ln（2-x2）-[ln（1-x1）2-ln（1-x2）2]=x2-x1（顯然x1<1

- =1

+（x1+x2-2）·

根據(jù)對數(shù)平均值不等式，有

> ；

> .

由③式，可得 +（x1+x2-2）· <0，即（x1+x2-2）· + <0.

因為 + >0，

所以x1+x2-2<0，所以x1+x2<2.

點(diǎn)評：證明極值點(diǎn)偏移問題，由于所給函數(shù)是與指數(shù)和對數(shù)有關(guān)的函數(shù)，而且底數(shù)都是e，所以很難用到基本不等式，但可以利用對數(shù)平均值不等式求解，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化利用該不等式，其解題沿循著如下處理方式：

（1）根據(jù)f（x1）=f（x2）=c建立等式；

（2）如果含有參數(shù)，則消參；如果等式中含有指數(shù)式，則兩邊取對數(shù)；

（3）通過恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均值，利用對數(shù)平均值不等式直接求解并適當(dāng)變形.

考題變式

例1：（2010天津理）已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R）. 若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）. 證明：x1+x2>2.

例2：（2011遼寧理）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x. 若函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f ′（x0）<0.

例3：（2013湖南文）已知函數(shù)f（x）= ex. 證明：若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）時，則x1+x2<0.

上面這三道高考題所證不等式盡管不同，但本質(zhì)上都是證明極值點(diǎn)偏移問題，都可以利用上面兩種方法進(jìn)行求解.

考題對教學(xué)的啟示

解決極值點(diǎn)偏移問題可以構(gòu)造一元差函數(shù)和利用對數(shù)平均值不等式這兩種方法，本質(zhì)上都是把兩個變元的不等式轉(zhuǎn)化為一元問題求解，途徑都是構(gòu)造函數(shù)，解法一和解法二都是構(gòu)造一元差函數(shù)，而利用對數(shù)平均值不等式的解法是捆綁式構(gòu)造函數(shù)（證明對數(shù)平均值不等式的方法）. 其中，對數(shù)平均值不等式盡管在現(xiàn)行教材中未曾被提起，但是在高考題中，以這個不等式為背景的壓軸題已悄然進(jìn)入我們的試題中. 給我們高三備考的教學(xué)啟示就是：

1. 重視教材內(nèi)容及習(xí)題創(chuàng)新

我們知道，高考數(shù)學(xué)的全國卷命題以突出能力為特點(diǎn)，秉承“源于教材，高于教材”的原則. 在教學(xué)中給我們的啟示就是要充分研究每年的《考試說明》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容，讓復(fù)習(xí)的方向能依綱靠本. 在備考中，要回歸教材，挖掘教材，對教材內(nèi)容加工再創(chuàng)造. 像今年高考壓軸題并沒有在教材中直接與之相似的題型，但經(jīng)過對教材習(xí)題加工再創(chuàng)造，在原題基礎(chǔ)上適當(dāng)創(chuàng)新改編就是一道很好的高考題. 讓學(xué)生明白教材的重要性，復(fù)習(xí)過程中不能脫離教材，丟棄教材，應(yīng)對教材內(nèi)容及習(xí)題再創(chuàng)新.

2. 滲透數(shù)學(xué)思想及方法提煉

高考數(shù)學(xué)壓軸題的題意，重點(diǎn)在考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)、最值問題，以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識分析、解決問題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法. 因此，日常的教學(xué)過程中，得充分貫徹各種數(shù)學(xué)思想方法，以題型為載體，潛移默化地滲透解題中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法提煉.

3. 典型考題的來源及其篩選

今年有九個省份地區(qū)參加數(shù)學(xué)高考全國Ⅰ卷，通過調(diào)查，筆者所在學(xué)校的學(xué)生對極值點(diǎn)偏移感到陌生.其實，極值點(diǎn)偏移不屬于特別新的內(nèi)容，各地歷年高考題和模擬考題都有出現(xiàn)過，如考題變式中的例1、例2和例3. 因此，說明命題人在出題時也參考過其他省份地區(qū)高考的出題模式. 命題人可能考慮到今年高考有多個省份采用全國Ⅰ卷，而且有些省份高考還是第一次參加全國Ⅰ卷，如廣東省就是今年第一次參加. 命題專家可能為了尋找最大公約數(shù)，避免各個省份波動太大，采用了大家“相對”熟悉的素材——極值點(diǎn)偏移. 所以，在準(zhǔn)備本省份地區(qū)高考備考時，也要參考其他省份地區(qū)高考出現(xiàn)過的類型試題.其次，各地的模擬考題也是值得我們關(guān)注的對象. 為此，在高三復(fù)習(xí)課的備考中，注意精選題型，選題必須具有典型性和代表性，選題的來源可以是歷年高考題、各地區(qū)的高考題及模擬考題.

4. 關(guān)注熱點(diǎn)問題及高考動態(tài)

極值點(diǎn)偏移這個素材是在近幾年各地刊物上熱烈討論關(guān)于非對稱函數(shù)的性質(zhì)，所以我們要深入教學(xué)研究，關(guān)注近期核心刊物發(fā)表的熱點(diǎn)數(shù)學(xué)問題，給我們提供教學(xué)研究的素材. 另外，每年高考動態(tài)千變?nèi)f化，作為教師，我們必須關(guān)注其變化，理清其方向，這是我們備考的指明燈.

5. 挖掘考題背景及數(shù)學(xué)出處

雖然我們無法猜測高考命題者的出題意圖，但是在我們高考的考題中，以高等數(shù)學(xué)為背景的題目類型已經(jīng)進(jìn)入我們的考題，如高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理和對數(shù)平均值不等式. 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說過：“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”所以，在解題教學(xué)中，不但要對題型詳細(xì)分析和講解，還得挖掘試題的背景，明白命題人命題意境“問渠那得清如許，為有源頭活水來”的數(shù)學(xué)背景及出處.

在高考備考中，教師的專業(yè)化素養(yǎng)需要發(fā)展，要想給學(xué)生“一滴水”，教師應(yīng)有“一桶水”. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“在學(xué)習(xí)中要敢于做減法，就是減去前人已經(jīng)解決的部分，看看還有哪些問題沒有解決，需要我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q.”因此，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需要研究考題與考情，學(xué)情與教材，等等. 在學(xué)習(xí)研究中，提高教師的專業(yè)能力水平. 中學(xué)數(shù)學(xué)教師更要順應(yīng)時代的發(fā)展，從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)出發(fā)，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體能動性，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，讓學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)、解決問題，享受發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的樂趣，獲得成功的喜悅，使教師的一桶水甚至一杯水引發(fā)出學(xué)生一條奔騰不息的創(chuàng)造力之河成為可能.endprint