高中數學實驗，由“做”向“說”的演繹

蘇旭

[摘 要] 數學實驗成為新的促進學生構建數學知識的方式，經驗與研究表明，數學實驗不能只是“指令性操作”，數學實驗需要學生在思維的牽引下去“做”，數學實驗的過程與結果需要讓學生用數學語言去“說”. 只有經歷了由“做”向“說”的演繹，才能讓學生對數學實驗有深刻的認識，才能真正達到數學理解的境界.

[關鍵詞] 高中數學；數學實驗；做；說

這是一個注重體驗的時代，因為只有體驗才能讓學生形成深刻的經驗，也只有經驗才能支撐起學生有效的學習（其實對于成人來講，體驗也是讓人擁有更豐富知識與能力的重要途徑），所謂的“不經一事，不長一智”的說法就是這個意思. 因此，教師從關注自身能力形成及學生有效學習的角度來看，注重體驗是一個重要的選擇. 對于教學來說，由于其需要在短時間內將人類長期積淀的文化知識進行傳遞，因此真正的體驗機會并不是很多，而對于高中數學教學來說，由于學科特點與知識特征，能夠直接體驗的內容更是很少. 為了改變這一現狀，人們將數學學習的方式投向了實驗的方式，取得了不錯的成果. 在對數學實驗進行觀察的過程中，筆者注意到數學實驗在高中數學課堂上的存在還顯得有些初步，很多時候因為沒有把握好實驗的實質與目的，而使得實驗僅僅是“做”了一下，并沒有讓學生形成真正的數學理解，“經事”而不“長智”的情形在數學實驗中并不少見. 而要改變這一現狀，在筆者看來并不需要太“高大上”的招式，只要遵循不僅要“做”還要“說”的思路，就可以讓數學實驗向有效的方向再進一步.

用“做”構建數學實驗的基礎

既是實驗，那肯定是要做的，但在對自然科學及其教學的研究中，筆者發(fā)現很多研究者都持一個觀點，那就是實驗不能是學生照著實驗步驟亦步亦趨地做，因為那只是像機器人一樣“指令性地操作”，而不是真正的“做”. 真正的做，應當是學生在自身思考的驅動下生成的一種肢體性動作. 在真正做實驗的過程中，“做”只是一種外在行為，學生大腦中的思考才是最需要關注的地方.

例如，在“橢圓”知識的教學中，筆者注意到不少課堂甚至高級別的公開課堂上，教師都會給學生一些器材，如一個木板上釘著兩顆釘子，一根長度超過兩顆釘子距離的低韌性細線，一支記號筆等. 而在課堂上，教師則會明確讓學生“將細線兩端系在釘子上，然后用記號筆將細線拉直，并在木板上轉動，留下轉動的軌跡”. 學生在一番操作之后，教師便向學生提問：“我們得到了一個圖形，大家說這個圖形是什么??？”在這種情況下，只要智力正常的學生都會猜測到教師的意圖，于是便異口同聲地說出“橢圓”也就是自然而然的事了. 這樣的課堂，學生沒有多余的行為，也不會出現錯誤的行為，而正確結果之后的異口同聲還可以將課堂氣氛推向高潮，于是教師、學生、聽課者面前出現了一番熱鬧的場景. 課后有人評課，持“這個教學環(huán)節(jié)高效高能，沒有浪費時間，是值得贊賞的”評價. 但筆者在想，這個過程中學生“做”了什么呢？他們又獲得了什么呢？只要將這兩個問題擺出來，這個教學環(huán)節(jié)的問題也就出現了.

因此，數學實驗的“做”是需要深刻理解的，只有“做”能夠為學生的數學學習奠定理解基礎的時候，這個“做”才是有意義的. 同樣，如在橢圓概念的教學中，筆者進行了這樣的設計：第一步，只給出一個小木板和鉛筆，讓學生在上面畫出自己所理解的橢圓的樣子. 這是讓學生利用自己的經驗去構造對橢圓的初步理解，此時學生的生活經驗會得到一定程度的改造，因為他們原來只認為只要把圓壓扁了就可以得到橢圓，而真正要動手畫的時候，他們會思考“多扁的圓才是橢圓”等問題，這樣的思考奠定了興趣基礎與思維基礎. 第二步，用視頻播放木工師傅是如何用土辦法得到橢圓的（具體如上例，不贅述）. 第三步，一個小組給出學生兩顆釘子和一根細線，讓學生確定好位置之后教師幫他們固定，然后讓他們去模仿視頻中的方法得到橢圓. 在實際教學中，學生會思考兩個問題：一是釘子之間的距離是多少；二是細線該用多長. 而學生的選擇往往是隨機確定的（請注意，這里的隨機是思考之后沒有辦法的隨機，實際上是一種試錯心理的運用）. 而實踐之后，學生會發(fā)現不同的釘子間距與不同的線長，會得到不同的橢圓，于是他們會自發(fā)地與別的小組進行比較，還會自發(fā)地嘗試第二次構造橢圓. 最后，當他們將兩次構造的橢圓進行比較，并與最初用鉛筆畫出來的橢圓（其實這個時候已經知道它未必是橢圓）進行比較時，他們對橢圓的印象無疑深刻了許多.

在這個過程中，學生的“做”不是機械的“做”，而是在自己的思考下進行的探究式的“做”，進行的試錯式的“做”. 在這個過程中，由于有了思維的參與，“做”也就有了更豐富的意義，從而為后面數學概念的形成奠定了堅實的基礎.

用“說”升華數學實驗的意蘊

在筆者的教學觀念中，每一個數學概念或規(guī)律的得出，都應當是一個高貴而莊重的過程，因為數學發(fā)展史上，數學概念的形成本就有這樣的意味，在數學課堂上如果讓學生感覺到一個數學概念的來之不易，如果讓學生感覺到數學概念得出之后有著巨大的作用，那這個過程自然是有意義的. 如果說數學實驗為學生的“做”提供了機會，為學生的思維開拓了空間的話，那進一步的“說”就為學生從經驗走向數學理論提供了寬闊的通道.

這里的“說”是指用數學語言來說，是指用數學語言去描述自己在數學實驗中的所思、所想. 數學語言最大的特點就是概括性、精確性及簡潔性，其用最少的字表達出最豐富的內涵，這是其他學科的語言所難以達到的一種境界. 在上面的“橢圓”實驗中，學生經過“做”，已經形成了豐富的經驗，但這個時候的經驗還是比較初步的，他們知道橢圓的得出方式，但是他們肯定也知道，不能用“在兩顆固定的釘子上系上一根細線，用記號筆繃緊后畫出的圖形就是橢圓”來定義橢圓. 教師應當知道，學生此時是已經有了這樣的認識的，只是這應當界定為學生的生活語言而已. 要從生活語言向數學語言過渡，就需要學生形成運用數學語言的意識與能力.

關于運用數學語言的意識，教師可以作適當的指引：在剛才的實驗過程中，我們已經親身經歷了一個得到橢圓的過程，那么大家不妨來嘗試一下，如何將我們剛才的有形的數學實驗抽象（加重語氣）成一個簡潔的數學過程呢？由于強調了要抽象，那很顯然，下面的工作就是將數學實驗中的釘子、細線等抽象成兩個固定點、一個不變的距離，而所得到的橢圓就應當視作點的集合了. 到了這個時候，橢圓的定義就呼之欲出了.

需要指出的是，經過剛才的一段學習歷程，學生思維中的印象就有兩點比較深刻：一是自己的操作過程，也就是“做”的過程，這里教師要幫學生總結兩個“做”的環(huán)節(jié)都比較重要，其一是徒手畫橢圓（這個時候學生已經知道未必是橢圓了），其二是用標準方法畫橢圓. 讓學生對這兩個“做”形成深刻的印象，有利于后面橢圓標準方程知識的學習. 二是用數學語言來定義橢圓. 由于不僅“做”了，而且“說”了，因此學生的思維就完成了動作技能向言語知識的過渡，就實現了操作經驗向數學經驗的升華. 這不僅讓學生對橢圓的定義有了純粹的數學的認識，還讓學生的數學學習品質得到了提高，最起碼的學生更清晰地認識到了只有用數學語言描述的內容才是真正屬于數學的.

從“做”到“說”促進數學理解形成

從“做”到“說”，不僅是一個教學選擇的問題，更是一個教學理念的問題. 為什么有教師只重視“做”，因為他們認為只要“做”了學生自然就會“說”了. 但事實上并非如此，在高中數學教學中，我們都是強調數學理解的，數學理解如何形成？不是教師的想當然，而是要經過學生縝密地思考.數學實驗作為一種重要的學習方式，其“做”必須具有思考的意味，其“說”必須成為促進學生思考的一種方式. 每一次“做”都應當是學生思考進一步深入的機會，每一次“說”都應當成為學生進一步熟練運用數學語言的機會，只有這樣才能達成數學理解.

如果在數學實驗中多一點整體意識，還可以發(fā)現數學實驗的“做”與“說”可以為下次學習奠定基礎. 比如說上面的橢圓概念教學，就可以為橢圓的定義之后橢圓標準方程的學習提供契機. 在研究橢圓標準方程的過程中，筆者幫學生回憶曾經的數學實驗，然后提問：自己徒手畫的那個扁圓是不是標準的橢圓呢？于是這就涉及一個橢圓的判定問題，而由于前面已經有了其他圓錐曲線的學習，學生自然知道橢圓也應當存在一個標準方程. 在本知識的學習過程中，會發(fā)現此前的“說”與“做”，為學生建立橢圓標準方程發(fā)揮了多大的作用，當學生將“做”與“說”的結果遷移到標準方程形成的過程中時，那種殊途同歸的數學理解過程，就是一段難得的高峰體驗.

因此，數學實驗是必須“做”的，但要形成數學理解，也要必須“說”的. 以“做”促“說”，以“說”引“做”，應當成為高中數學實驗的基本思路.endprint