函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)

武瑞雪+陳瑩

摘 要：讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過程，教師主導(dǎo)作用、學(xué)生主體作用均得以發(fā)揮，重視學(xué)生能力的提升和終身發(fā)展，這樣的教學(xué)才是有效教學(xué)，才值得學(xué)習(xí)和借鑒.

關(guān)鍵詞：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）；圖象；變換函數(shù)的圖象教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).教學(xué)目標(biāo)：（1）會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，觀察并研究參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)的圖象變化的影響；（2）函數(shù)（A>0，ω>0）的圖象與函數(shù)的圖象的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)（A>0，ω>0）的圖象與函數(shù)的圖象的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間的變換關(guān)系；函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間的變換關(guān)系[1].

要想將此節(jié)課上成功，實(shí)屬不易.在我校舉行的一次優(yōu)質(zhì)課比賽活動(dòng)中，其中一位教師對(duì)該節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施給筆者留下深刻的印象，現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，以期與同行探討新授課的有效教學(xué)模式及如何使用教材上的例題、習(xí)題. 所用教材為現(xiàn)行蘇教版，課前布置學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)案”引導(dǎo)下閱讀課本.

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）探究活動(dòng)

探究1 請(qǐng)同學(xué)們?cè)谏险n前，在同一坐標(biāo)系內(nèi)（注：在“導(dǎo)學(xué)案”上，給出5個(gè)標(biāo)有刻度的坐標(biāo)系），畫出下列各題中的兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象，分析得出各組中2個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），；

（5），.

課堂上，教師用PPT展示在同一坐標(biāo)系中這些函數(shù)的圖象，并讓學(xué)生將自己課前所畫與之對(duì)照，并自行糾正，然后再讓學(xué)生觀察圖象，分析得出各組中2個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

探究2 （1）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則在函數(shù)的圖象上必有點(diǎn).

（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則在函數(shù)的圖象上必有點(diǎn).

（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則在函數(shù)的圖象上必有點(diǎn).

（4）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則在函數(shù)的圖象上必有點(diǎn).

（5）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則在函數(shù)的圖象上必有點(diǎn).

課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生繪出下面的圖1、圖2、圖3，從兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，解釋各種變換的本質(zhì)，如，在函數(shù)的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)與函數(shù)的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，設(shè)為s，而點(diǎn)可以看作是由點(diǎn)向左平移個(gè)單位而得到，因此，函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位而得.其余的，完全放手讓學(xué)生自主解釋.

對(duì)于學(xué)生在探究2中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生獨(dú)立思考，并自行糾錯(cuò)，還表揚(yáng)了被提問而“出錯(cuò)”的學(xué)生，“謝謝你！因?yàn)槟愕某鲥e(cuò)，同學(xué)們有了討論的機(jī)會(huì)；因?yàn)槟愕某鲥e(cuò)，讓同學(xué)們對(duì)結(jié)論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)得更深刻了！”，“出錯(cuò)”的同學(xué)由之前的“沮喪”變得“開心”起來，覺得雖然自己出了錯(cuò)，但還是有意義的，自尊心得到了保護(hù)，自信心也大增，面露喜悅之情落座.

（二）建構(gòu)數(shù)學(xué)

由學(xué)生歸納總結(jié)，教師點(diǎn)評(píng)、補(bǔ)充，得出如下5個(gè)變換規(guī)律（以填空題形式出現(xiàn)，用PPT顯示）：

1.函數(shù)的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向 左 （當(dāng)時(shí)）或向 右 （當(dāng)時(shí)）平移個(gè)長(zhǎng)度單位而得到的.（左加右減）.

2.函數(shù)（ A>0，A≠1）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的.

3.函數(shù)（）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）而得到的.

4.函數(shù)（，）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）而得到的.

5.函數(shù)（ω>0，ω≠1，j?0）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向 左 （當(dāng)時(shí)）或向 右 （當(dāng)時(shí)）平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的.

教師在結(jié)論總結(jié)后，為了加深學(xué)生對(duì)結(jié)論本質(zhì)的理解，留下足夠的時(shí)間，讓學(xué)生閱讀、琢磨.

（三）數(shù)學(xué)運(yùn)用

例題 下列各題中兩個(gè)函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系？

（1），；

（2），；

（3），；

（4），；

（5），.

雖是例題，但教師仍放手讓學(xué)生獨(dú)自思考、板演、糾錯(cuò)，教師給予點(diǎn)撥、指導(dǎo)，并規(guī)范解題格式.

鞏固練習(xí) （1）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象的函數(shù)解析式為 ，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為 .（答案：）

（2）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度. （答案：左，）

分別讓兩個(gè)學(xué)生板演，然后由教師引導(dǎo)學(xué)生再次規(guī)范格式，并強(qiáng)調(diào)：左右平移，是因?yàn)樽宰兞康募又祷驕p值導(dǎo)致，左加右減；橫坐標(biāo)的伸縮，是因?yàn)樽宰兞肯禂?shù)（正數(shù)）的增大或減小導(dǎo)致，大縮小伸.

（四）回顧小結(jié)

由學(xué)生總結(jié)，教師補(bǔ)充.

（五）布置作業(yè)

必做題：教材P39 練習(xí)第1題，第2題.

選做題：（1）由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，你能找到多少種變換思路？請(qǐng)將下面的變換流程圖（圖4）補(bǔ)充完整[2].

（2）請(qǐng)將下面的變換流程圖（圖5）補(bǔ)充完整（其中）：

通過做作業(yè)，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí). 其中的選做題第（1）題，綜合考查幾種變換，共6種不同的變換順序和思路，利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，為“函數(shù)的圖象（第2課時(shí)）”做課前準(zhǔn)備；選做題第（2）題，幫助學(xué)生回顧之前學(xué)過的圖象變換的規(guī)律，并通過圖4與圖5的比較，滲透“特殊到一般”“具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法.

二、點(diǎn)評(píng)

（一）讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過程

對(duì)于“導(dǎo)學(xué)案”上的探究1，若要求學(xué)生當(dāng)堂畫出這10個(gè)三角函數(shù)的圖象，肯定費(fèi)時(shí)費(fèi)力，教學(xué)任務(wù)難以完成；若由教師當(dāng)堂用PPT直接展示這些函數(shù)的圖象又會(huì)影響學(xué)生經(jīng)歷自主建構(gòu)知識(shí)的過程.教師要求學(xué)生在課前，在同一坐標(biāo)系中，畫出各組函數(shù)的圖象，親自經(jīng)歷取值、描點(diǎn)、畫圖的過程，課堂上再與教師用PPT所展示的對(duì)照、糾正，既節(jié)省了課堂畫圖的時(shí)間，又讓學(xué)生親身經(jīng)歷了知識(shí)的建構(gòu)過程.

（二）重視幫助學(xué)生對(duì)結(jié)論的本質(zhì)的理解

對(duì)于“導(dǎo)學(xué)案”上的探究2，教師采用“圖示法”，引導(dǎo)學(xué)生分析每組中兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，幫助學(xué)生理解圖象變換的本質(zhì)，將抽象問題直觀化. 特別地，通過圖3，清楚地解釋了“由的圖象應(yīng)向左平移個(gè)單位得到的圖象”，而不是像部分學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)為“由的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象”，順利突破了教學(xué)難點(diǎn).

（三）重視錯(cuò)誤資源的利用

教師對(duì)于學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)解，沒有批評(píng)，沒有置之不理，也沒有馬上更正或否定，而是鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)錯(cuò)誤，然后讓同學(xué)們討論、探究，自行糾錯(cuò)，糾錯(cuò)之后還向“出錯(cuò)”同學(xué)致謝.教學(xué)實(shí)踐證明，課堂上學(xué)生的錯(cuò)誤是一把“雙刃劍”，處理不當(dāng)，往往會(huì)造成教育教學(xué)的失誤，挫傷學(xué)生的自尊心；處理恰當(dāng)，錯(cuò)誤將成為教育教學(xué)的有利資源，能讓學(xué)生在剖析錯(cuò)誤解法的過程中，經(jīng)歷由“誤”到“悟”的思維過程，加深對(duì)知識(shí)的理解，課堂教學(xué)也會(huì)因此而變得精彩、真實(shí)、生動(dòng)、有效.

（四）兼顧教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用

教師的教學(xué)過程中，既有教師的指導(dǎo)，又有學(xué)生的閱讀、思考、探究，始終讓教學(xué)處在教師可控制的過程中，兼顧了教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用.

（五）忠于教材而不囿于教材

教師不拘泥于教材內(nèi)容的安排，創(chuàng)造性地使用教材.首先，教材是按相位變換→振幅變換→周期變換→綜合變換，逐一進(jìn)行研究的，而教師在體現(xiàn)這種研究順序的基礎(chǔ)上，同時(shí)推進(jìn)，這樣處理，利于學(xué)生整體把握所要總結(jié)的變換規(guī)律；其次，教材總結(jié)出的是4個(gè)規(guī)律，而教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出5個(gè)規(guī)律，目的是讓學(xué)生區(qū)別規(guī)律4與規(guī)律5，更利于學(xué)生有意識(shí)地規(guī)避易犯的錯(cuò)誤；再次，為了便于學(xué)生用“五點(diǎn)法”描點(diǎn)、畫圖，教師將教材上作函數(shù)、的圖象分別換為“導(dǎo)學(xué)案”上的作函數(shù)、的圖象. 教師真正做到“用教材教，而不是教教材”、“忠于教材，而不囿于教材”的教學(xué)高境界、高水準(zhǔn).

參考文獻(xiàn)：

[1]單墫，李善良，陳永高，等.高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書×數(shù)學(xué)4（必修）[M].南京：江蘇教育出版社，2007：3.

[2]楊春樹.分組教學(xué)設(shè)計(jì)與發(fā)散性思維的培養(yǎng)——函數(shù)的圖象的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（7）：18-19.