借助幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

趙建宏

[摘要]幾何畫板能創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)情境，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與想象能力、解決問題的能力和邏輯思維能力，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

數(shù)學(xué)教師應(yīng)借助幾何畫板，通過動態(tài)作圖、由形及數(shù)、探究論證等途徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]幾何畫板；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；培養(yǎng)

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2017）20003402

隨著《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》的發(fā)布，如何培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)成為課程深化改革的熱點(diǎn)問題.學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上.幾何畫板是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較廣泛的教學(xué)軟件，借助幾何畫板能較好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).具體體現(xiàn)在以下幾個方面.

一、動態(tài)作圖，培養(yǎng)幾何直觀與想象能力

幾何畫板可以呈現(xiàn)幾何直觀和圖形變化的過程，幫助學(xué)生認(rèn)識事物的運(yùn)動規(guī)律、形態(tài)變化和位置關(guān)系，在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與想象能力方面有較大的優(yōu)勢.

在高中函數(shù)教學(xué)中，函數(shù)與函數(shù)圖像總是緊密聯(lián)系的，利用圖像解決問題，是解決函數(shù)問題的重要方法.在以往的教學(xué)過程中，教師對圖像的解讀并不是很精確，學(xué)生手工作圖速度慢，精度不高，且由于對圖像性質(zhì)不熟悉，常常根據(jù)主觀臆想畫圖，出現(xiàn)許多錯誤.通過幾何

畫板動態(tài)作圖，能輕松演示圖像的變化規(guī)律，糾正學(xué)生常見的易錯點(diǎn).

例如，在《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》的教學(xué)中，教師運(yùn)用幾何畫板，通過變換參數(shù)a，

就可以

得到圖1，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納出圖像的三個重要特征：定點(diǎn)、單調(diào)性和漸近線，其對應(yīng)的代數(shù)特征為：指數(shù)為0時冪等于1，底數(shù)大小決定單調(diào)性，值域大于0.學(xué)生對指數(shù)函數(shù)圖像有了直觀清晰的認(rèn)識，今后再繪制形如

y=2x-1

的圖像時，就不會出現(xiàn)圖像隨意向下延伸的錯誤情況了.

又如，在高一教學(xué)中，我們

經(jīng)常會涉及函數(shù)y=x+ax（a>0），傳統(tǒng)教學(xué)是用代數(shù)推證的方法，利用單調(diào)性的定義去求其單調(diào)區(qū)間，過程煩瑣且學(xué)生難以把握其本質(zhì)特征.現(xiàn)在教師可先利用幾何畫板變化參數(shù)a，得到圖2.通過觀察圖像，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性與x=a有關(guān).教師再在圖像上任取一點(diǎn)A，確定直線x=a與圖像的交點(diǎn)B，測量兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過拖動點(diǎn)A，學(xué)生能直觀地看到當(dāng)x=a時函數(shù)取得最小值，然后再進(jìn)行代數(shù)證明.這樣教學(xué)，學(xué)生對此函數(shù)的理解會比傳統(tǒng)教學(xué)更加深刻.

通過幾何畫板讓學(xué)生繪制各種函數(shù)圖像，在一系列的操作、觀察與理解的活動過程中，學(xué)生增強(qiáng)了對圖形的感性和直觀認(rèn)識，逐步積累了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了直觀想象能力.

二、由形及數(shù)，培養(yǎng)解決問題的能力

幾何畫板具有兩個特色功能：“拖動”和“測量”.“拖動”能讓圖形“動”起來，“測量”能反映圖形變化中的數(shù)量特征，它們能幫助學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，啟迪解決問題的思路.

有這樣一道題：過圓C：x2+y2=4外一點(diǎn)P（4，0），作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.學(xué)生根據(jù)條件運(yùn)用幾何畫板直接繪圖，得到軌跡圖形（如圖3），學(xué)生可感知到其是圓的一部分，但對于如何求軌跡方程，學(xué)生感覺無從下手.解析幾何題目有一個非常重要的特點(diǎn)，就是不斷變化的幾何圖形中存在不變的幾何規(guī)律.因此，教師需引導(dǎo)學(xué)生思考：圖形中可能會存在哪些不變的幾何關(guān)系？如何驗(yàn)證呢？為什么會有這種關(guān)系成立？其中“如何驗(yàn)證”這個環(huán)節(jié)非常關(guān)鍵，通過“以數(shù)助形”能將學(xué)生觀察猜測的結(jié)論確定下來.

學(xué)生通過操作探究，發(fā)現(xiàn)直線l與CM垂直（發(fā)現(xiàn)一，如圖4），驗(yàn)證的方法為它們斜率的乘積始終為-1；還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)PC中點(diǎn)D到點(diǎn)M的距離始終不變（發(fā)現(xiàn)二，如圖5）.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步思考，得出發(fā)現(xiàn)一的理論依據(jù)是垂徑定理，得出發(fā)現(xiàn)二的理論依據(jù)是“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

這個探究過程體現(xiàn)了求軌跡方程的兩個重要方法：直接法和定義法，其關(guān)鍵都是從圖形中找到不變的幾何關(guān)系，再將其代數(shù)化.幾何畫板的作用在于，將煩瑣的計

算放在一邊，從“解題思路”這個大方向上來考慮問題，直接探究問題的實(shí)質(zhì).對傳統(tǒng)教學(xué)而言，是很難達(dá)到這種效果的.學(xué)生通過這樣的活動經(jīng)驗(yàn)積累，能逐步形成有效的解題策略，提升解決問題的能力.

三、探究論證，培養(yǎng)邏輯思維能力

幾何畫板具有“可視化數(shù)學(xué)思維”的特點(diǎn)，學(xué)生通過拖動和測量，猜想問題中存在的規(guī)律，尋找規(guī)律成立的條件，在問題解決與問題再探究中，發(fā)展了邏輯推理的能力，形成了重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì).

[例題]（2014年高考全國Ⅱ理16）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是.

本題的難點(diǎn)在于點(diǎn)M和點(diǎn)N都是動點(diǎn)，因而用傳統(tǒng)靜態(tài)圖形的方法，對于思維還處在發(fā)展階段的高中生來說，是比較困難的.在實(shí)際教學(xué)中，教師利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了如下探究：如圖6，拖動點(diǎn)N，觀察∠OMN角度的變化，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線MN與圓相切時，角度最大，教師作出切線MN1和MN2，驗(yàn)證猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論正確.再進(jìn)一步改變點(diǎn)M的位置，觀察最大角的變化情況，如圖7，通過列表數(shù)據(jù)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)xM=∈[-1，1]時，最大角≥45°，此時存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°.問題得以解決，學(xué)生剛松了一口氣，教師接著又提問：“怎么證明？”此時學(xué)生的求知欲完全被激發(fā)起來，都積極地進(jìn)行思考、討論，最終得出了代數(shù)論證的方法.

這樣的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷了“探究—猜想—論證”的活動，參與并體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識的獲得過程，建構(gòu)起對數(shù)學(xué)的新認(rèn)識.相比傳統(tǒng)的教學(xué)方式，其體現(xiàn)了更高層次的數(shù)學(xué)思維活動，有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力.

以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)是今后高中數(shù)學(xué)課程改革研究的重要問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教師引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動和實(shí)踐.合理運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)在驅(qū)動力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[參考文獻(xiàn)]

[1]洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》的意見征詢[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（3）.

[2]楊建楠.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“問題—互動”教學(xué)中的培育[J].教學(xué)與管理，2016（9）.

（特約編輯安平）