因式分解的方法與技巧

文/惠州市惠陽區(qū)新圩中學(xué) 嚴(yán)華春

因式分解的方法與技巧

文/惠州市惠陽區(qū)新圩中學(xué) 嚴(yán)華春

分解因式的數(shù)學(xué)思想分為類比思想和歸化思想，類比思想是指運(yùn)用整式的乘法進(jìn)行分解因式的探索活動(dòng)，體現(xiàn)整式乘法與分解因式之間的互逆關(guān)系。而歸化思想是指將求解方程化為f（x）=0，對(duì)f（x）進(jìn)行因式分解，然后令各個(gè)因式為0，從而求得原方程的解的思想。運(yùn)用類比思想和額歸化思想，較常見的因式分解方法有以下幾種。

1.提公因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式相乘的形式。提公因式法比較適用于一些各部分都有公共因式的題目，其可以比較快速的將題目化簡(jiǎn)，從而進(jìn)一步的觀察和嘗試。

例：分解因式5x3+10x2+5x

方法與技巧：顯然，每項(xiàng)均含有公因式5x，故可考慮提取公因式5x，接下來只剩下x2+2x+1，但仍可繼續(xù)分解；在這個(gè)多項(xiàng)式中，雖然可以用其它方法，但分解起來都很麻煩，只要提取一個(gè)公因式就得到一個(gè)可用完全平方和的式子，從而簡(jiǎn)單的就解答出來了。

解：原式=5x（x2+2x+1）=5x（x+ 1）2

2.公式法

多項(xiàng)式如果滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征時(shí)即可采用公式法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解，故對(duì)于一些常用的公式要求熟記，除教材的公式外，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常出現(xiàn)一些基本公式，歸納整理如下：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方和公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；完全平方差公式：a2-2ab+b2=（a-b）2；立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

3.分組分解法

根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)將其適當(dāng)?shù)姆纸M，然后各組分別變形。例如把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n) +b(m+n)，又可以提出公因式，從而得到 (a+b)(m+n)。

4.十字相乘法

在解決二次多項(xiàng)式時(shí)，十字相乘法是常用的基本方法，對(duì)于mx2+px+q形式的多項(xiàng)式，如果a× b=m，c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為 (ax+d)(bx+c)，為方便起見，我們將上形要求用下圖顯示。

例：分解因式7x2-19x-6方法與技巧：

1×7=7，-3×2=-6，1×2+（-3）× 7=-19

解：原式=（x-3）（7x-2）

5.配方法

對(duì)于那些不能利用公式的多項(xiàng)式，有部分可以利用配方法將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用完全平方公式，將其因式分解，以便進(jìn)一步觀察。

例：分解因式x2+6x-7

方法與技巧：把-7分成9-16就可以分配成（x2+6x+9）-16，而前三項(xiàng)是一個(gè)完全平方和，16是4的平方，又可以和前三項(xiàng)構(gòu)成平方差，因此式子可以這樣解：

原式=（x2+6x+9）-16

=（x+3）2-42

=（x+7）（x-1）

6.拆、添項(xiàng)法

把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng) （或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法，運(yùn)用公式或分組分解進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

例：分解因式x5+x+1

方法與技巧：在x+1中，增加一個(gè)x2才能形成一個(gè)完全平方和，因此原式中加一個(gè)x2，同時(shí)要減去一個(gè)x2才能使原式不變，因此有以下的解：

原式=（x5-x2）（x2+x+1）

=x2（x3-1）（x2+x+1）

=x2（x-1）（x2+x+1）（x2+x+ 1）

=（x2+x+1）（x3-x2+1）

7.換元法

在某些多項(xiàng)式的因式分解的過程中，通過換元，可以把形式復(fù)雜的多項(xiàng)式變?yōu)樾问胶?jiǎn)單、易于分解的多項(xiàng)式，從而使問題化繁為簡(jiǎn)，迅速的解答出來。

例：分解因式 （x2+7x-5）（x2+ 7x+3）-33

方法與技巧：在這式子里，如果先分解因式將會(huì)使式子變得更復(fù)雜，我們可以發(fā)現(xiàn)x2+7x-5和x2+ 7x+3都含有 x2+7x，因此設(shè) y=x2+ 7x。這種方法可以使式子的形式比較簡(jiǎn)單，使我們?cè)谧鲱}時(shí)不易出差錯(cuò)，但要在式子所有多項(xiàng)式都含有相同部分才能如此換元。

8.賦值法

取包含在問題的條件 (或結(jié)論)中的某個(gè)特殊值，或某個(gè)特殊情形，經(jīng)過簡(jiǎn)單的推理、判斷或運(yùn)算，就能得出問題的正確答案，由于分解因式是恒等變形，一個(gè)多項(xiàng)式分解后字母取任意值，它都應(yīng)該是成立的。因而可取某字母為“0”、 “1”等特殊值，把原式消元轉(zhuǎn)化后再來分解。

例：x2+2xy+y2+2x+2y-3

方法與技巧：直觀上不能比較快的觀察出有公因式或者可以直接運(yùn)用公式法，但我們可以先設(shè)x2+ 2xy+y2+2x+2y-3=(a1x+b1y+c1)(a2x+ b2y+c2)， 然后令 y=0求出 a1、a2、c1、c2，再令x=0，可求出 b1、b2，最后把所有未知數(shù)代入原來所設(shè)的式子，就可以簡(jiǎn)單的求解出來。

解：原式=(a1x+b1y+c1)(a2x+ b2y+c2)

令y＝0，則原式=x2＋2x－3

=（x＋3）（x－1）

=（a1x＋c1）（a2x＋c2）

所以，a1=a2=1，c1=3，c2=-1。

令x=0，同理可以求出b1=1，b2=1。

整理得：原式=（x+y+3）(x+y-1)。

責(zé)任編輯 黃日暖

見習(xí)編輯 黃博彥