“三線八角”問題的教法探討

【摘要】三線八角問題之所以成為學生學習的難點，既與知識本身的復雜程度和學生的認知水平有關，也與教材對知識的呈現(xiàn)方式有關.要突破這一難點，需要在基本圖形中準確理解概念的內(nèi)涵，還要在圖形變式中把握概念本質(zhì)，以及正確建立平行線與角的關聯(lián).

【關鍵詞】三線八角；難點突破；教法探討

如果兩條直線被第三條直線所截，就會形成八個角，這就是所謂的“三線八角”，在這八個角中，有“同位角”、“內(nèi)錯角”、“同旁內(nèi)角”等幾個重要概念，因此習慣上把涉及同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的幾何問題統(tǒng)稱為“三線八角”問題.因為絕大部分平行線的性質(zhì)和判定問題都需要借助于“三線八角”來解決，所以它是平面幾何一個傳統(tǒng)的重點內(nèi)容，同時它也是一個難點內(nèi)容，一些學生往往因在解決三線八角問題時出錯而導致學習遇阻，甚至產(chǎn)生厭學和分化.筆者在教學實踐中對這一經(jīng)典內(nèi)容的教法作了一些探索，敘述于后供大家指正.1“三線八角”問題的教學難點及成因分析

在解決三線八角問題時，學生的出錯點主要有兩類：一類是不能正確識別圖形中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，另一類是在判定平行線或應用平行線的性質(zhì)時，不能正確關聯(lián)線和角.這兩類錯誤有時也相互纏繞，使學生深受其苦.

三線八角問題之所以成為學生學習的難點，既與知識本身的復雜程度和學生的認知水平有關，也與教材對知識的呈現(xiàn)方式有關.

知識本身的因素.三線八角問題涉及三條線、八個角，信息容量大，圖形變式多，而在變式圖形中，充斥著大量的干擾因素，這是學生感覺困難的根本原因.

學生因素.學生在之前接觸的幾何問題，除了對基本平面圖形和立體圖形名稱的識別外，系統(tǒng)學習的幾何知識主要是線段、射線、直線和角，基本沒有涉及變式圖形，對圖形的認識處于直觀感知階段，讀圖識圖能力較弱，對幾何關系的把握能力差，尤其是當接觸到包含變式圖形的問題時，往往因為外形直觀上的改變而無所適從.

教材因素.我校使用的北師大版教材，是在探索兩直線平行的條件一課中首次出現(xiàn)“同位角”的概念的，而且只做了簡單描述，顯然是有意淡化了概念.這樣雖然把學生的注意力引向平行線本身，但卻導致著學生對“同位角”這一概念的本質(zhì)認識模糊，也進而導致了進一步研究平行線時學生不能熟練使用三線八角這一有力工具的缺陷.實際上，作為研究平行線的重要工具，三線八角本身是需要學生在學習平行線之前深刻理解并熟練掌握的.2“三線八角”教學難點的突破

2.1在基本圖形中準確理解概念的內(nèi)涵

筆者認為，對初一學生來說，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角不是單從字面就能完全理解的概念，需要教師對概念本身的含義進行點撥講解，使學生準確理解概念是解決問題的基礎.

如圖1，直線AB、CD被直線EF所截，EF稱為“截線”，AB、CD是被截線.

同位角的字面意義是位置相同，識別同位角的關鍵是學生要領悟兩個位置上的“同”即在截線EF的同一旁，被截兩直線AB、CD的同一方向.根據(jù)以上可以判定圖中滿足“同位角”條件的有：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.

準確辨別內(nèi)錯角的要領是把握兩角在被截兩直線AB、CD的“內(nèi)部”，交錯在截線EF兩旁.據(jù)此∠4和∠6、∠3和∠5為“內(nèi)錯角”.

同旁內(nèi)角：在截線EF同旁，被截兩直線AB、CD之間.滿足的有∠4和∠5、∠3和∠6.

圖2也是標準的基本圖形，學生不難從基本圖形中識別有關角.

2.2在圖形變式中把握概念本質(zhì)

幾何圖形千變?nèi)f化，不管怎樣的圖形，只要能從中找到“基本圖形”，就容易識別三線八角，常用的方法有補齊法和分離法.

（1）補齊法

圖3的各圖中有同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角嗎？信息的缺失也會導致識別困難.和基本圖形相比，這種圖形似乎是殘缺的、不完整的，剛開始接觸這類圖形時可用補齊法.比如，只要把圖3各圖中的相關線段適當延長，都可補齊為圖4的基本圖形，各類角也就很容易識別了.

（2）分離法

分離法，就是在復雜圖形中分離出基本圖形，以去除干擾信息（包括交點、線段和角），準確識別三線八角.

當考察∠1和∠2時，將與兩角無關的因素去掉，比如按圖6的方式把虛框中的圖形遮擋，剩下的圖形就是圖7，此時就很容易看到直線AB、EF被直線CD所截，∠1和∠2在截線CD同旁，被截線AB、EF同方向，所以兩角是同位角.類似的方法可識別圖5中∠1和∠3是內(nèi)錯角，∠2和∠3是同旁內(nèi)角.

2.3正確建立平行線與角的關聯(lián)

學習“三線八角”，不可避免的會遇到由平行線推斷相關角的數(shù)量關系，或是由角的數(shù)量關系推斷直線的位置關系的題目，此時正確建立線和角的關聯(lián)是解決問題的關鍵.下面看兩個例子.

例1如圖8，（1）如果AB∥CD，可推出∠1=∠2，∠3=∠4嗎？

（2）已知∠1=∠2或∠3=∠4，能得到AB∥CD嗎？

直線AB、CD為被截線，分別將直線AC、AD、BC作為截線分離出來，得到圖9中的三個圖形，很容易觀察到∠1和∠2是內(nèi)錯角，而∠3和∠4是無關角.圖10圖11

反過來，已知∠1=∠2或∠3=∠4，可以把與∠1、∠2或∠3、∠4無關的線段隱藏，分別得到圖10中的兩個圖形，可以看出，由∠1=∠2能推出AB∥CD，而由∠3=∠4不能推出AB∥CD.此類問題，也可用“描線法”分析，即在原圖上用紅筆或粗筆描繪出∠1和∠2的兩邊，或∠3和∠4的兩邊，可分別得到圖11中的兩個圖，這兩個圖中描了線的突出部分，就分別是圖10中的兩個圖形.

例2如圖12，已知∠1=∠2=∠3=59°，求∠4的度數(shù).

此題的難點在于圖形中的干擾信息多，學生面對此題，往往不能正確判斷由哪對角來判別a，b是平行的，求得a、b平行后，又不能識別哪個角與∠4是關聯(lián)的？解決此問題的關鍵是排除干擾信息，解決問題的方法是分離法，比如把圖中的線d平移到圖13的位置，則立得兩個三線八角的基本圖形，∠1和∠3的同位角關系以及∠2和∠4的關聯(lián)性也變得一目了然，問題順利得到解決.

2.4實際問題數(shù)學化

新課程注重數(shù)學在實際生活中的應用，因此教材及近幾年考試出現(xiàn)了大量以實際生活為背景的題目，解決這類問題的基本方法是把實際問題抽象成數(shù)學模型.

例3如圖14，潛望鏡中的兩個鏡子是互相平行放置的，光線經(jīng)過鏡子反射時，入射角等于反射角，則有∠1=∠2，∠3=∠4.請解釋：為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？

由于實際問題情境的限制，雖然圖14已經(jīng)對平行鏡面作了“放大”處理，但學生仍不易識別其中的三線八角.此時可以去除無關要素，放大有用信息，把此問題進一步抽象成幾何圖形，得到圖15，這樣原題就轉(zhuǎn)化為：已知，如圖15，a∥b，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：c∥d.

利用分離法，去除無關因素后得到圖16，即可由鏡面a、b平行得到∠2=∠3，進而通過推理得到∠5=∠6，再由內(nèi)錯角相等得到c、d平行，問題得以順利解決.

作者簡介袁軍霞，碩士，榮獲青島開發(fā)區(qū)新教師優(yōu)質(zhì)課比賽二等獎并成功開設區(qū)公開課.多次指導學生參加《全國中學生數(shù)理化學科能力展示活動》取得省一等獎.