數(shù)學(xué)歸納法的原理、推廣

丁穎

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的論證方法， 歸納公理和最小數(shù)原理是數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)。將數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推廣可以看作是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法的擴充，從而使對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍更加廣闊。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 歸納公理 最小數(shù)原理 歸納奠基 歸納遞推

一、數(shù)學(xué)歸納法的原理

1.意大利數(shù)學(xué)家C.皮亞諾（C.Peano 1858-1932 ）在1889年發(fā)表《算術(shù)原理新方法》，建立了自然數(shù)的公理體系，其中第五條公理是歸納公理。

歸納公理：自然數(shù)的某個集合若含1，而且如果含1個自然數(shù)a，就一定會含a（a=a+1，即a的后繼），那么這個集合含全體自然數(shù)（現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論中認(rèn)為自然數(shù)包括0）。

最小數(shù)原理：設(shè)M是自然數(shù)集的任一非空子集，則必存在1個自然數(shù)m∈M，使對一切n∈M，都有mn。

注：這個原理說明自然數(shù)集N的任一非空子集M都有最小數(shù)。

2.自然數(shù)的歸納公理及最小數(shù)原理證明了數(shù)學(xué)歸納法的正確性，數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)n的無限多個命題的重要方法。下面給出數(shù)學(xué)歸納法的兩種基本形式。

第一數(shù)學(xué)歸納法：已知一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果

（1）當(dāng)時，成立；

（2）假設(shè)時，成立，若成立，

那么命題對所有的自然數(shù)n都成立。

證明：（反證法）假設(shè)存在自然數(shù)n使命題不成立，設(shè)這些自然數(shù)組成的集合為M且非空，根據(jù)最小數(shù)原理，M中存在最小數(shù)m，顯然m≠1，若m=1，則，而由條件（1）知成立，與已知矛盾。故m≠1，知m≥2，，又因為m是M中的最小者，于是m-1使成立，由條件（2）可知也是成立的，與不成立矛盾，故對所有自然數(shù)都成立。

第二數(shù)學(xué)歸納法：已知一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果

（1）當(dāng)時，成立；

（2）假設(shè)時，成立.若也成立，

那么命題對所有自然數(shù)都成立。

證明：設(shè)使成立的自然數(shù)集合為M。因為成立，即，又因為成立，能夠得到成立，所以若，其后繼元。則M=N.故對所有自然數(shù)都成立。

注：在解決實際問題時，條件（1）不一定從n=1開始，這時只要將n=1換成n=n0即可，例如：證明多邊形的內(nèi)角和，n=1時不符合實際，故應(yīng)從n=3時開始論證。有時條件（1）驗證的n不止一個，甚至多個，在此就不舉例了，故對實際問題要具體問題具體分析。

數(shù)學(xué)歸納法的中心思想：用有限次的驗證和一次邏輯推理，代替無限次的驗證過程，實現(xiàn)從無限到有限的轉(zhuǎn)化。而數(shù)學(xué)歸納法的核心為歸納遞推，從而得出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟。

第一步（歸納奠基）：當(dāng)n=n0時，成立；是驗證命題奠基步的正確性。

第二步（歸納遞推）：假設(shè)當(dāng)n=k（n≤k）時，成立，推出成立，是推證命題正確性的可傳遞性，兩者缺一不可（為什么在應(yīng)用中說明），同時兩個步驟可以互化，沒有固定的順序，只是在實際學(xué)習(xí)生活中常常習(xí)慣以歸納奠基為第一步，歸納遞推為第二步。

3.數(shù)學(xué)歸納法的直觀顯示

為了更好地理解數(shù)學(xué)歸納法，不外乎是“剖析原理，理清脈絡(luò)”，為了更好地“剖析”“理清”，可以以直觀圖的形式向大家介紹，將“無形”化為“有形”。

（1）直觀圖一

數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)謹(jǐn)上講是需要對每個命題進(jìn)行驗證成立，而條件（1）和（2）是相互獨立的。條件（1）是奠基要說明成立，條件（2）是個假言命題，若成立，則有成立，即：若p則q，斷言為如果p存在則q一定存在，但是p是否存在并未給出事實，實際上說的是一種關(guān)系，而不是確定。在這里可以比喻為一種生產(chǎn)關(guān)系。此時，有一臺功能特殊的加工機，而這臺加工機的功能就是：只要將原料放進(jìn)去，此加工機就能輸出這個產(chǎn)品：

→加工機→

還是上面所說的問題，有了加工機并不代表有了原料，為了使這個加工機的功能更好，借助條件（1）將作為原料，送進(jìn)加工機，根據(jù)此機的功能便有

加工機的工作原理直接顯示了數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性。

（2）直觀圖二（流程圖解釋）

數(shù)學(xué)歸納法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法，中學(xué)數(shù)學(xué)教材為了說清數(shù)學(xué)歸納法利用多米諾骨牌全部倒下的兩個條件，介紹了數(shù)學(xué)歸納法的思想基礎(chǔ)，但是骨牌畢竟是有限的，而數(shù)學(xué)歸納法是有關(guān)自然數(shù)的命題，自然數(shù)是無限的，所以多米諾骨牌不能從無限的角度說明數(shù)學(xué)歸納法，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，我們知道，計算機語言中的流程圖和它的賦值語句則可以從無限的角度說明。

右邊的流程圖可以表示數(shù)學(xué)歸納法，其中，k=k+1為賦值語句，同一個符號在等式右邊代表相應(yīng)變量的值，在等式的左邊代表賦值對象。

流程圖中，當(dāng)k=n0時，判斷正確即為數(shù)學(xué)歸納法的第一步。

流程圖循環(huán)部分是判斷第一次的k+1成立，即指k=n0+1成立，在通過賦值語句k=k+1循環(huán)，第二次判斷（k+1）+1正確，即k=n0+2時命題正確。第三次循環(huán)k又增加了1，即k=n0+3時，命題正確。

……

這樣的循環(huán)可以無限下去，就解決了數(shù)學(xué)歸納法的無限問題，通過計算機中的流程圖更好地將“無形”的數(shù)學(xué)歸納法變?yōu)椤坝行巍钡?，更加逼真確切。

通過以上兩個直觀圖將數(shù)學(xué)歸納法直觀地顯示在眼前，并將數(shù)學(xué)歸納法的原理通過“有形”的方式體現(xiàn)得淋漓盡致，達(dá)到了從無限的角度說明數(shù)學(xué)歸納法，希望有助于您對數(shù)學(xué)歸納法的理解。

二、數(shù)學(xué)歸納法的推廣

數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有用的數(shù)學(xué)工具，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它在論證有關(guān)自然數(shù)n的無限多命題時十分重要，為了使數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍更加廣闊，進(jìn)而對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推廣。

先來看數(shù)學(xué)歸納法的兩個變形應(yīng)用。

定理1：設(shè)和都是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，則等式對一切自然數(shù)n都成立的充要條件是：

（1）

（2）對一切自然數(shù)n都成立。

證明：（充分性）設(shè)n為任意自然數(shù)，因為（已知）。

=

=

=

=

由上可知，，充分性證畢。

（必要性） 因為，n為任意自然數(shù)。則

當(dāng)n=1時，

當(dāng)n=n-1時，

于是，顯然成立，證畢。

例1：求證：對一切自然數(shù)成立。

證明：設(shè)

故。因此原式對一切自然數(shù)成立。

注：證明有關(guān)自然數(shù)的等式的問題，定理1給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。

定理2：若和分別是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，若他們滿足下列條件：

（1）

（2）對任意自然數(shù)n 成立，

則對任意自然數(shù)n成立。

證明：設(shè)n為任意自然數(shù)。因為（已知），故

=

=

=

因為且

所以

故

例2：求證對大于1的自然數(shù)都成立。

證明：設(shè)n為大于1的自然數(shù)

令

當(dāng)n=2時，

故。由定理2，知對大于1的自然數(shù)都成立。

注：證明有關(guān)自然數(shù)的不等式的問題，定理2給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。

定理3：若是定義在自然數(shù)集上的整系數(shù)多項式，m能整除的充要條件是：

（1）m整除

（2）m整除對任意自然數(shù)n都成立.。

證明：（必要性）因為m能整除，n為任意自然數(shù)。

當(dāng)n=1時，m能整除

而m能整除，從而m能整除。

（充分性）因為m能整除，所以m能整除。故

因此m能整除。

例3：求證能被9整除。

證明：設(shè)n為任意自然數(shù)且

則當(dāng)n=1時，能被9整除。

故對一切自然數(shù)上式都能被9整除。

注1：證明一些有關(guān)整除性的問題，定理3給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。

注2：對于以上所述要指出“一切自然數(shù)”是廣義上的自然數(shù)集。例如定理2中的應(yīng)用：n是大于1的自然數(shù)。

我們還可以將自然數(shù)系的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)一步推廣到下有界整數(shù)集上，具體看一下：

定理4 設(shè) 是與整數(shù)有關(guān)的一列命題且滿足一下條件：

（1）成立；

（2）成立成立，

則對于任意整數(shù)，命題都成立。

證明：為了使的n為一切自然數(shù)，則構(gòu)造函數(shù)。

定義此時是與自然數(shù)有關(guān)的命題，并且滿足

（1）成立；

（2）成立成立。

故對一切自然數(shù)都成立，即對整數(shù)命題也成立。

注：此定理將自然數(shù)集的數(shù)學(xué)歸納法推廣到了整數(shù)集，實質(zhì)上都是遞推的原理。

總之，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種很重要的方法，進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法不但能夠培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、數(shù)學(xué)化能力、觀察能力、解決綜合性問題的能力以及邏輯思維的能力，還能為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)，因為數(shù)學(xué)歸納法是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的一個紐帶。

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