千里之行始于足下

王志和

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是高中內(nèi)容概念課中的重要而又特別的一節(jié).是由有限向無限跨越的重要一環(huán).對學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)很難跨越的“坎兒”.對數(shù)學(xué)歸納法能夠深入淺出的描述具有重要意義.如何使得數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)更加通俗，更加適合學(xué)生的認(rèn)知層次；做到“低起點(diǎn)、小坡度、高品味、重人文”課堂中學(xué)生神采奕奕，信心滿滿；即有學(xué)科德育滲透，又使課堂輕松愉快，是教師力爭達(dá)成的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；人文關(guān)懷；熱傳導(dǎo)；遞推

1數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)實(shí)錄

導(dǎo)言常言道：千里之行始于足下.做事情要從眼下開始，一步一個(gè)腳印，堅(jiān)實(shí)的前行，百折不回，第一步是第二步的基礎(chǔ)，第二步是第三步的基礎(chǔ)，依次勇敢的走下去，任何艱巨的任務(wù)我們也可以完成.

這樣的思想，這樣的豪情壯語，就是今天的數(shù)學(xué)課的內(nèi)容——數(shù)學(xué)歸納法（書寫課題）.

以上語言的中心思想總結(jié)成兩點(diǎn)：

（1）要有良好的開端——良好的開端是成功的一半.

（2）承前啟后，持之以恒，步步登高.

有了以上兩個(gè)條件，我們就可以蒸蒸日上，永續(xù)華章.

下面從數(shù)學(xué)角度慢慢分析這個(gè)原理.

引例1上海地理等級考試傳出捷報(bào)，我班的同學(xué)中，1號是A+，2號是A+，3號是A+，…，于是，我斷定：我們班的38名同學(xué)都A+.

設(shè)計(jì)意圖采用不完全歸納法，為下面的問題作對比，形成認(rèn)知期待.

教師：這種推理方法叫做不完全歸納法，這樣猜到的結(jié)論不一定正確，那么通過什么樣的方法猜的結(jié)論一定是正確的呢，我們看一下引例2.

引例2拿一根短鐵絲，一頭燒得很熱，另一頭慢慢的也熱了，這時(shí)能否斷定整個(gè)鐵絲都是熱的.

通過物理知識（實(shí)際上學(xué)生在小學(xué)的科學(xué)課上就做過這樣的實(shí)驗(yàn)）可知，這是金屬的熱傳導(dǎo)，實(shí)際上是分子之間的能量的傳遞，即可以把熱由一處往另一處傳遞.

設(shè)計(jì)意圖關(guān)于用生活的例子解釋數(shù)學(xué)歸納法，我們經(jīng)歷了長時(shí)間的思考，也有一些例子，比如下面的“星星之火，可以燎原.”“千里之堤，毀于蟻穴.”等等.都是一些很好的例子，也和數(shù)學(xué)歸納法的思想很相近，但感覺這些例子距學(xué)生的生活比較遠(yuǎn)，對解釋數(shù)學(xué)歸納法有些欠妥.偶然聽物理公開課，突然想到在物理學(xué)科中有一些這樣的例子.比如波的傳遞，電流的傳遞等，有了這些想法以后，通過和物理老師交流，選定了用熱的傳遞來解釋更貼切.因?yàn)殍F絲傳熱是看得見摸得到的，每位同學(xué)都有體會，而波的傳遞等都比較抽象.

教師：想想，引例1中有沒有這樣的傳遞現(xiàn)象？

通過分析，引例1中學(xué)生的成績不具有傳遞性，即1號同學(xué)的成績對2號同學(xué)沒有影響，不能把1號同學(xué)得A+傳給2號同學(xué)使2號同學(xué)得A+.但鐵絲中前面分子如果具有很高的能量，就可以把能量傳給后面的分子.這樣可以使短鐵絲整體都熱.

引例3設(shè)a1，a2，a3，…，an，…都是實(shí)數(shù)，且a1=0，an+1=n3·an，求an.

解：有的學(xué)生馬上就說，an=0.

教師：為什么？學(xué)生回答：a1=0可以推出a2=0，a2=0可以推出a3=0，…，

依次下去，就有an=0.

設(shè)計(jì)意圖提起數(shù)學(xué)歸納法，我們都會想到用多米諾骨牌去講授，但多米諾骨牌本身有些同學(xué)并不了解.而且需要一些假設(shè)才能完成.有人做過調(diào)查問卷，要使所有骨牌都倒下，學(xué)生想的條件并不是我們所想象的那樣簡單的給出數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟.并且其弱點(diǎn)是有限多個(gè)，對于無限多的問題在類比上欠妥當(dāng).在這個(gè)環(huán)節(jié)上有研究者撰文用集合元素的任意性以及直線與平面垂直的直線的任意性等來類比，我們感覺這里的圈子繞得有點(diǎn)大.我們這里給出的就是一個(gè)無限的問題，學(xué)生非常容易的得出an=0.事實(shí)上，這種設(shè)計(jì)就是多米諾骨牌的數(shù)學(xué)化.

師生共同總結(jié)：

這里a1=0傳到a2，得a2=0；由a2=0傳到a3，得a3=0，….可見這個(gè)問題具有傳遞性.依次傳下去，就有an=0（n∈N*）.

這里的“依次傳下去”，用數(shù)學(xué)語言怎樣解釋呢？就是前一個(gè)ak=0能推出后一個(gè)ak+1=0.也就是如果對某個(gè)ak=0，那么一定能推出它的后面的ak+1=0.

詳細(xì)一點(diǎn)說，k=1時(shí)成立，a1=0，推出k+1=2時(shí)成立，即a2=0；接著令k=2，即a2=0，推出k+1=3時(shí)成立，即a3=0；再令k=3，即a3=0，推出k+1=4成立，即a4=0，….即所有的an=0（n∈N*）.（這就是數(shù)學(xué)語言的優(yōu)勢?。?/p>

總結(jié)：上面能推出an=0需要什么條件：

（1）a1=0（鐵絲一端被燒熱）；

（2）這種解決問題的方式具有傳遞性（有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象發(fā)生），即如果ak=0，能推出ak+1=0.

用這種方法證明下面的引例4

引例4數(shù)列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a2n-nan+1（n∈N*），求證：an=n+1.

證明（1）由a1=2=1+1（可知此時(shí)要證命題成立）（鐵絲一頭被燒熱）

（2）下面看一看這個(gè)問題是否具有傳遞性（是否有導(dǎo)熱現(xiàn)象發(fā)生）？

這時(shí)實(shí)踐表明，學(xué)生們大都還是在進(jìn)行如下操作：由a1=2得a2=3；由a2=3得a3=4，由a3=4得a4=5，….

到這里，有的同學(xué)說：an=n+1.

有另外的同學(xué)反對：沒有全算出來，不行！

教師：這種算法永無止境，那么回顧一下引例3，如何說明這種算法具有傳遞性.

總結(jié)出：如果（即假設(shè)）n=k時(shí)命題成立，即假設(shè)ak=k+1；那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1=a2k-kak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1.

即可以把a(bǔ)k=k+1傳給它后面的ak+1，使得ak+1=（k+1）+1.依次下去，當(dāng)n∈N*時(shí)，都有an=n+1.

設(shè)計(jì)意圖傳統(tǒng)的引例是用關(guān)于正整數(shù)n的等式（如下面的例2）等闡述遞推規(guī)律，但簡單的等式一般要選擇等差數(shù)列和等比數(shù)列，這時(shí)學(xué)生常常感覺用遞推方法解題（數(shù)學(xué)歸納法）是多此一舉.即選擇用遞推數(shù)列時(shí)應(yīng)遵循的原則是這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式很好歸納（如本處的引例4），而且很難轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.這樣的例子是很難找的，我們也是經(jīng)過長時(shí)間思考才想到這個(gè)引例4的.當(dāng)學(xué)生看到引例4時(shí)，因?yàn)橛猩厦娴囊?做鋪墊，加之遞推數(shù)列的結(jié)構(gòu)，很容易做出猜想判斷.

以上求證過程可簡單的梳理成：

第一步是，先證實(shí)（驗(yàn)證）n取第一個(gè)正整數(shù)（上面的是n=1）時(shí)（命題）成立；

第二步是，證明這樣命題的正確性具有傳遞性，即如果（假設(shè)）n=k時(shí)命題成立，能推出n=k+1時(shí)命題成立.

用這樣證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的方法我們稱為數(shù)學(xué)歸納法.

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法，有詩為證：

開山鼻祖，基業(yè)輝煌；

父業(yè)子承，永續(xù)擔(dān)當(dāng)；

代代相傳，傳統(tǒng)弘揚(yáng)；

前程似錦，萬世流芳.

設(shè)計(jì)意圖用言簡意賅的小詩做方法的總結(jié)和提煉，學(xué)生喜聞樂見，同時(shí)也道出了數(shù)學(xué)歸納法的思想精髓.使得深邃的道理在愉快愜意中得到理解，促使認(rèn)識的提高和升華.

例1（1）已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=an+3·4n，對任意n∈N*，求證：an是3的倍數(shù).

（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-1，對任意n∈N*，求證：an是3的倍數(shù).

設(shè)計(jì)意圖第（1）小題是學(xué)生常見的一類數(shù)列，實(shí)踐表明，一些學(xué)生常常是求出通項(xiàng)公式，即第二問的an=4n-1.我們這里給出第（2）小題，有兩個(gè)意圖，第一是使有的學(xué)生迷途知返，以期用數(shù)學(xué)歸納法證明第（1）小題，熟悉數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟；第二是對整除問題的解法先給出一個(gè)鋪墊，因?yàn)橛辛说冢?）小題，使得第（2）小題可以借用第（1）小題的遞推式去解.實(shí)踐證明，學(xué)生作第（2）小題時(shí)可能出現(xiàn)：

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即ak=4k-1是3的倍數(shù)，ak+1=4k+1-1，

兩式相減得：ak+1-ak=3·4k，亦即ak+1=ak+3·4k，于是可知ak+1是3的倍數(shù)，

即n=k+1時(shí)命題成立.

由第一步和第二步可知對任意n∈N*均有命題成立.

還可能出現(xiàn)把a(bǔ)k+1=4k+1-1寫成ak+1=4（4k-1）+3，即ak+1=4ak+3，一樣可得命題.

例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

證明過程略.

設(shè)計(jì)意圖熟悉方法，簡單應(yīng)用.

例3（1）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=（n2-5n+5）2，小欣計(jì)算得：a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，于是，小欣斷言，對所有的n∈N*，都有an=1.

小欣的斷言是否正確.

（2）小明想用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=n（n+1）2+2016，證明方法如下，請同學(xué)們思考一下是否合理，并說明理由.

假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2+2016成立，

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）+2016=k（k+1）2+2016+（k+1）=k（k+1）+2（k+1）2+2016=（k+1）（k+2）2+2016.

右邊=（k+1）（k+2）2+2016，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立

所以等式對一切正整數(shù)都成立.

（3）小紅想用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+…+n=n（n+1）2，證明方法如下，請同學(xué)們思考一下是否合理，并說明理由.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立

（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=（k+1）（1+k+1）2=（k+1）（k+2）2.

右邊=（k+1）（k+2）2.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.

由（1）（2）知，對n∈N*公式都成立

設(shè)計(jì)意圖（1）是防止學(xué)生由不完全歸納法做出錯(cuò)誤判斷.（2）和（3）反復(fù)緊扣數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條件，（2）問缺少了奠基，結(jié)果用“數(shù)學(xué)歸納法”證出了一個(gè)假命題，引起學(xué)生認(rèn)識沖突，讓學(xué)生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；（3）問在突出第二個(gè)條件：傳遞性，剛開始學(xué)生可能認(rèn)為第二小問的證法是正確的，在教師點(diǎn)撥后學(xué)生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心.三個(gè)反例對學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法起到警示作用.

2關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法引例的若干思考

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的導(dǎo)引，我們通過了幾年時(shí)間的思考，想過了很多例子，在這里舉出若干，以供教學(xué)參考.

（1）多米諾骨牌.

（2）萬丈高樓平地起，用建造樓房說明原理.

（3）火車跑得快，全靠車頭拽.用火車頭及其聯(lián)接來說明.

（4）星星之火，可以燎原.

原意是：有一點(diǎn)火焰，從里到外，慢慢燃燒，會燃遍所有草原.即：首先有一個(gè)火種，其次是前面草燃燒的火焰能將后面的草點(diǎn)燃，這樣會燃遍所有草原.

（5）奧運(yùn)火炬接力.

（6）美國故事：金盞花的純白色種子的形成過程.

（7）小米1、小米2，……，小米手機(jī)系列；或者用微信圈等.

（8）杜牧的詩：過華清宮：

長安回望繡成堆，山頂千門次第開.

一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來.（用古代的驛站去說明.）

（9）佛教的思想：世間有輪回，人能轉(zhuǎn)世.前生是今生的因，來世是今生的果.前世修來今生受，今生修積后世人.用佛教修煉來生去說明原理.

（10）宋代秦觀（即秦少游）的《客懷》：靜思伊久阻歸期，久阻歸期憶別離.憶別離時(shí)聞漏轉(zhuǎn)，時(shí)聞漏轉(zhuǎn)靜思伊，…….去說明遞推.

（11）老子的：“道生一，一生二，二生三，三生萬物.”

（12）學(xué)生在東方綠舟軍訓(xùn)玩過的“人浪”游戲 .

（13）上課伊始，跟學(xué)生玩如下游戲：按班級同學(xué)的學(xué)號從小到大再接回，我們班級是38人，一號接二號，依次下去，38號結(jié)束后一號再接，無限下去…，如一號說：一馬當(dāng)先，二號接：先人后己，三號接：己所不欲，勿施于人，四號接：人定勝天，五號接：天理不容，六號接：容我好好想想，七號接：鄉(xiāng)間小路（短語、諧音語句都可以）……，問學(xué)生，這樣接下去，能接多久，學(xué)生答：要永遠(yuǎn)接下去….

（14）腳著謝公屐，身登青云梯，半壁見海日，空中聞天雞，…….——李白《夢游天姥吟留別》，用登天梯表示遞推.

（15）欲窮千里目，更上一層樓.

（16）千里之堤，毀于蟻穴.

（17）江山代有人才出，各領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)百年.（18）高一軍訓(xùn)，學(xué)生排成一隊(duì)，教官命令，報(bào)數(shù)：學(xué)生：1，2，3，4，….

（19）史書《周禮》中有這樣一段記載“在各國從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺，接連不斷，臺上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時(shí)，烽火臺就一個(gè)接一個(gè)地燃放煙火傳遞警報(bào).

有什么條件可使烽火臺依次全部點(diǎn)燃？

①第一個(gè)點(diǎn)燃；

②看到第一個(gè)烽火臺點(diǎn)燃，第二個(gè)烽火臺就要點(diǎn)燃，依次第三個(gè)烽火臺，….

即在第k個(gè)烽火臺點(diǎn)燃時(shí)，能引起第k+1個(gè)烽火臺點(diǎn)燃.

（20）我姓王，我為什么姓王，是因?yàn)槲业胀酰业鶠槭裁葱胀?，是因?yàn)槲业牡胀酰?，一直追溯上去，直到我的祖輩中第一輩被封為王氏，一直傳遞下來.

我們來梳理一下，我們家族都姓王有幾個(gè)條件，首先第一輩姓王，其次，姓王的這個(gè)姓氏能永遠(yuǎn)傳遞下去（假如每代王姓都能傳到下一代），使得我們這個(gè)家族祖祖輩輩姓王了.

即“n=1（第一代）時(shí)姓王；如果某一代姓王亦即n=k（代）時(shí)姓王，推出（下一代）即n=k+1（代）姓王.”于是我就姓王了.

（21）芝麻開花節(jié)節(jié)高.這實(shí)際上是數(shù)學(xué)歸納法的很好寫照.