基于MPCK的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

【摘要】概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.為了預(yù)防某些特定數(shù)學(xué)概念及應(yīng)用概念過(guò)程中可能出現(xiàn)的偏差乃至錯(cuò)誤，不妨“特意預(yù)設(shè)”并“故意生成”錯(cuò)誤，在辨析中糾正錯(cuò)誤，在糾正中完善，在完善中精致概念. “有意差錯(cuò)”不僅是一種早期介入及防范的教學(xué)策略，更是一門(mén)藝術(shù).

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；有意差錯(cuò)；MPCK

長(zhǎng)期以來(lái)，人們普遍認(rèn)為只要擁有豐富的CK（學(xué)科內(nèi)容知識(shí)）就是好教師.70年代以前的美國(guó)教師資格認(rèn)證制度的“范式缺失”充分說(shuō)明僅有CK遠(yuǎn)不算優(yōu)秀教師，教師還必須熟練掌握PK（一般教學(xué)法知識(shí)）.只有當(dāng)PK與CK高度融合，教師才能將自己所掌握的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生理解的形式的知識(shí)，這正是美國(guó)學(xué)者舒爾曼于1986年提出PCK（學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）理論的原因及最初的界定. PCK是教師獨(dú)一無(wú)二的知識(shí) ，MPCK（數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）是從PCK泛學(xué)科研究中演繹出來(lái)且專(zhuān)門(mén)論述數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)，是MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)）與PCK的完美結(jié)合，是數(shù)學(xué)教師從事專(zhuān)業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識(shí)，是專(zhuān)家型教師區(qū)別普通教師的顯著標(biāo)志，是魅力課堂與低效課堂的分界線(xiàn).

1“有意差錯(cuò)”含義

顧名思義，“有意差錯(cuò)”就是教師依據(jù)自身對(duì)概念的理解、把握及教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)某一特定數(shù)學(xué)概念及應(yīng)用概念過(guò)程中可能出現(xiàn)的偏差乃至錯(cuò)誤而“特意預(yù)設(shè)”并“故意生成”錯(cuò)誤，在辨析中糾正錯(cuò)誤，在糾正中完善，在完善中精致概念.“有意差錯(cuò)”是一種早期介入、干預(yù)、預(yù)防、防范的教學(xué)策略，有利于深刻剖析概念本質(zhì)與特征，有利于厘清概念內(nèi)涵與外延，有利于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，有利于培養(yǎng)并激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造能力.

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是思維的載體，是創(chuàng)新的起點(diǎn)，是智力的源泉，因而概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)核心.學(xué)者童莉指出MPCK理論就是要研究學(xué)生在特定數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中會(huì)遇到什么困惑？有哪些誤解？教師采取何種教學(xué)策略？怎樣處理這些困惑和誤解？ 本文擬通過(guò)幾個(gè)具體案例來(lái)闡述“有意差錯(cuò)”策略在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用.

2“有意差錯(cuò)”策略

在概念教學(xué)中實(shí)施“有意差錯(cuò)”，不僅是一種策略、一種智慧，更是一種勇氣.陳桂生教授在“教育是什么？”一文（《教師月刊》2009年第3期）中指出：“關(guān)于有意識(shí)地給出一個(gè)帶有錯(cuò)誤的命題，讓學(xué)生把老師駁倒.徐特立在許多年前就提出過(guò)類(lèi)似的設(shè)想，只是從來(lái)未聞?dòng)姓l(shuí)做過(guò)這種嘗試.”事實(shí)上，著名特級(jí)教師任勇先生早在1992年就積極倡導(dǎo)并勇于踐行“有意差錯(cuò)”概念教學(xué)策略，收到很好的效果（詳見(jiàn)文[1]）.由此推斷，任勇先生應(yīng)該是實(shí)施第一人.新課改強(qiáng)調(diào)教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)囊肭榫?，展示完整的形成進(jìn)程，凸顯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶釤捊?jīng)歷，彰顯隱含的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)涉及的數(shù)學(xué)方法，強(qiáng)化概念的應(yīng)用意識(shí)，演繹精彩的應(yīng)用案例，全面實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法及情感態(tài)度、價(jià)值觀(guān)三維目標(biāo).

2.1有意差錯(cuò)——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境、引入概念

2013年3月18日，筆者為福建省中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人（培養(yǎng)對(duì)象）所開(kāi)設(shè)的一堂示范課“數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入（第一課時(shí)）”，頗受專(zhuān)家及學(xué)員們好評(píng).以下是這節(jié)課的開(kāi)始片段.請(qǐng)同學(xué)們思考并回答：

案例1已知x+1x=1，求x2+1x2的值.

生1：對(duì)已知條件兩邊平方，由初中完全平方公式得到：

x+1x=1x+1x2=12x2+1x2=-1.

師：生1運(yùn)算熟練，很快得到結(jié)果，這個(gè)答案正確嗎？我們知道大前提、小前提以及推理形式正確，那么演繹推理得到結(jié)果就一定正確.此處大前提：任何正數(shù)之和必為正數(shù)；小前提：x2與1x2均為正數(shù)；結(jié)論：x2+1x2的值為正數(shù).哪為何生1的結(jié)果是一個(gè)負(fù)數(shù)呢？

生2：x+1x=1x2-x+1=0Δ<0.

生3：x2-x+1=x-122+34≥34.

師：既然生2與生3從不同視角得出方程無(wú)解，哪生1怎么得到結(jié)果呢？這是為什么？

筆者在備課時(shí)，原本預(yù)計(jì)此時(shí)正式引出本節(jié)課的研究課題“數(shù)系的擴(kuò)充”再順勢(shì)“復(fù)數(shù)的引入”.可正在此時(shí)，一位平時(shí)較內(nèi)向的學(xué)生很激動(dòng)地站起來(lái)說(shuō)道：“老師，我發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)錯(cuò)題！”此時(shí)所有的眼光全部投向這位同學(xué)，筆者趕緊示意上臺(tái)演板：

生4：由剛剛所學(xué)的均值不等式可得：

x+1x=x+1x≥2x+1x≥2，或x+1x≤-2.

也就是說(shuō)無(wú)論如何得不到已知條件，這就說(shuō)明已知條件是錯(cuò)誤的，即前提有問(wèn)題，當(dāng)然題目是“錯(cuò)誤”的.學(xué)生頓時(shí)由疑惑到驚喜，對(duì)生4報(bào)以熱烈的掌聲，學(xué)生們臉上露出興奮的笑容，似乎在說(shuō)：“哦，原來(lái)老師提供的題目本身就是錯(cuò)誤的.”

評(píng)注“特意”預(yù)設(shè)案例1就是為了與學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)產(chǎn)生沖突，在一次又一次激烈碰撞中，學(xué)生由疑問(wèn)變成好奇、好奇變?yōu)轶@喜、驚喜再變成困惑，一步一步激發(fā)學(xué)生求知欲.時(shí)機(jī)成熟，水到渠成，巧妙地引入新課.通過(guò)四位學(xué)生的回答順其自然地解釋了：為何需要再一次擴(kuò)充數(shù)系？為何要引入復(fù)數(shù)？引入復(fù)數(shù)的目的何在？由于是省級(jí)示范課，因此這節(jié)課預(yù)先進(jìn)行多次集體研討.盡管歷經(jīng)多次打磨，可被生4這么“折騰”“攪和”，感覺(jué)與原來(lái)預(yù)設(shè)的教學(xué)進(jìn)程有較大偏離，更擔(dān)心時(shí)間不夠而完成不了教學(xué)任務(wù).但事已至此，管不了那么多，趁熱打鐵，乘勝追擊.正如葉瀾教授感嘆：“課堂應(yīng)是向未知方向推進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)生意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定程序而沒(méi)有激情的行程.”

2.2有意差錯(cuò)——嚴(yán)密論證、厘清概念

盡管講授二項(xiàng)分布與超幾何分布概念時(shí)，教師千叮萬(wàn)囑它們之間的區(qū)別，但涉及到具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往混為一談.教師心急如焚，學(xué)生憂(yōu)心忡忡，依然重復(fù)“昨天的故事”.

由于教科書(shū)只是直接給出二項(xiàng)分布期望公式，沒(méi)有任何推理過(guò)程；而超幾何分布，教科書(shū)更是連期望公式都沒(méi)有，因此筆者特意設(shè)置兩個(gè)相似的具體問(wèn)題（限于篇幅，略去），結(jié)果絕大部分學(xué)生依然拿不準(zhǔn)到底是按照二項(xiàng)分布還是超幾何分布去計(jì)算期望.奇怪的是所有學(xué)生結(jié)果都是相同的，這是為什么呢？筆者抓住這一普遍性錯(cuò)誤，好好利用這一難得的機(jī)會(huì)，嚴(yán)密證明了為何它們的期望結(jié)果都是相同的.

案例2論證二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望相同

（1）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)A發(fā)生概率為p，則P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，列表：

評(píng)注黑格爾有言：“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然環(huán)節(jié).”錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤是通向成功的階梯.教師應(yīng)該把學(xué)生的錯(cuò)誤視作珍貴資源，這與文[2]提出概念教學(xué)基本策略：“通過(guò)正反案例辨析概念”一脈相承.事實(shí)證明：通過(guò)列出上述表格，借助不同組合公式計(jì)算且經(jīng)過(guò)嚴(yán)密論證，涉及二項(xiàng)分布與超幾何分布期望方面的錯(cuò)誤大面積減少.案例2有力地說(shuō)明了“有意差錯(cuò)”能夠充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，同時(shí)錯(cuò)誤也是概念教學(xué)中重要的教學(xué)資源，預(yù)設(shè)并在課堂教學(xué)中及時(shí)發(fā)現(xiàn)、暴露學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，引發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生反思，讓學(xué)生的思維在錯(cuò)誤中“撥亂反正”，厘清概念，走出誤區(qū)，生成新思維.

2.3有意差錯(cuò)——深度剖析、鞏固概念

中學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一類(lèi)概念：表面看似簡(jiǎn)單，但在應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.對(duì)有些錯(cuò)誤，不要說(shuō)學(xué)生，就是教師及專(zhuān)家一時(shí)也很難發(fā)現(xiàn)其中“秘密”.其中立體幾何中的“多面體”概念就是如此，為鞏固這一概念，筆者特意設(shè)置一道看似簡(jiǎn)單且給出三種解法的試題：

上述解法看似都是正確的，可結(jié)果截然不同，這是為什么呢？原因何在呢？俗話(huà)說(shuō)得好：“擒賊先擒王.”既然是求空間幾何體體積，那么我們必須從空間多面體概念：“一般地，我們把由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.”入手方能解開(kāi)謎團(tuán). 這一概念就這么短短的一句話(huà)，看似極其簡(jiǎn)單，但要真正理解，卻是十分不易.

我們順著解法1思路，即按棱臺(tái)處理.要利用棱臺(tái)來(lái)計(jì)算體積，首先EFC1—DBC必須是多面體，那這個(gè)幾何體是多面體嗎？顯然，由圖1可知△EFC1、△DBC、四邊形DCC1E、四邊形BCC1F都是平面圖形，但BDEF根本就不是平面四邊形，為什么？我們從反證法視角來(lái)看：若BDEF是平面四邊形，由于平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，依據(jù)面面平行性質(zhì)定理可得EF與BD平行，又BD與B1D1平行，則EF與B1D1平行，這是不可能的.因?yàn)镃1E=4，C1F=3，因此四邊形BDEF不是平面四邊形，當(dāng)然EFC1—DBC不可能是多面體.既然不是多面體，那更不可能是棱臺(tái)，故解法1按棱臺(tái)處理是錯(cuò)誤的.

事實(shí)上，棱臺(tái)可以視為用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間部分叫做棱臺(tái).既然棱臺(tái)“祖宗”是棱錐，那么棱臺(tái)就可以還原為棱錐，即棱臺(tái)的各條側(cè)棱延長(zhǎng)后必然相交于一點(diǎn).我們從逆否命題視角來(lái)看：若側(cè)棱延長(zhǎng)不是相交于一點(diǎn)，那么就不是棱臺(tái).為此我們假設(shè)DE與BF延長(zhǎng)線(xiàn)相交點(diǎn)P，則P點(diǎn)必然在直線(xiàn)CC1上，利用相似性質(zhì)可得

PC1PC=FC1BC=36，PC1PC=EC1DC=4636=46.

出現(xiàn)矛盾！故幾何體EFC1-DBC不可能是棱臺(tái)，再一次說(shuō)明解法1是錯(cuò)誤的.

初看似乎解法2與解法3本質(zhì)是一致，其實(shí)不然！因?yàn)橥ㄟ^(guò)圖3可以發(fā)現(xiàn)所求幾何體EFC1—DBC是凹多面體，而解法2本質(zhì)上默認(rèn)了所求EFC1—DBC是凸多面體，因此解法2是錯(cuò)誤的.這一凸一凹正好相差6，這就是為何解法2比解法3的答案多6的原因所在.

評(píng)注由于教科書(shū)上呈現(xiàn)多面體一般都是凸多面體，因此學(xué)生（甚至部分教師）誤以為多面體都是凸多面體，因此教師在教學(xué)中應(yīng)該明確指出并非所有幾何體都是凸多面體，并適當(dāng)舉一些凹多面體的案例讓學(xué)生辨析，預(yù)防這些錯(cuò)誤發(fā)生.正如文[3]所言，深度剖析就是“照鏡子”，即教師深刻反思概念教學(xué)失誤之處，誠(chéng)懇看作檢查自己教學(xué)效果的一面鏡子，提高自身業(yè)務(wù)水平；深度剖析也是“治病根”，即順著思路，追根溯源，深究錯(cuò)誤起因、深挖錯(cuò)誤根源，真正鞏固概念.

2.4有意差錯(cuò)——凸顯思想、應(yīng)用概念

文[4]在主編寄語(yǔ)中明確指出“數(shù)學(xué)是有用的”，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的頭腦來(lái)數(shù)學(xué)地觀(guān)察身邊的現(xiàn)象并用數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這正是新一輪課改的精髓所在，這正是數(shù)學(xué)價(jià)值和育人功能的突出體現(xiàn)，更是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn).

案例4 最近流傳一條有趣的微信：鈍角統(tǒng)統(tǒng)等于直角！微信中是這樣證明的：在矩形ABCD（DC

由中垂線(xiàn)性質(zhì)及已知條件易得：

HB=HEHA=HDAB=DE△HAB≌△HDE∠HAB=∠HDE∠BAD=∠EDA.

由于ABCD是矩形，因此∠BAD必為直角.因E在矩形ABCD外面，因此∠EDA必為鈍角，因點(diǎn)E的任意性，故得到結(jié)論：鈍角統(tǒng)統(tǒng)等于直角.

“鈍角統(tǒng)統(tǒng)等于直角”，這是小學(xué)生都覺(jué)得荒謬的結(jié)論！但上述推理看似嚴(yán)謹(jǐn)，這到底是怎么回事？問(wèn)題出在哪兒呢？

上述論證過(guò)程的依據(jù)是按照?qǐng)D4來(lái)實(shí)施的，那圖4是如何得到的呢？其實(shí)點(diǎn)E的軌跡就是以D為圓心，以DC長(zhǎng)為半徑的圓周在矩形的外面的部分曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，如圖5所示.利用幾何畫(huà)板立即發(fā)現(xiàn)“秘密”：即不可能出現(xiàn)圖4，只能是圖5.數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因此必須加以?yán)格證明.以AD所在直線(xiàn)為x軸，以DC所在直線(xiàn)為y軸，建立圖6所示直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=b，AD=2a（a>0，b>0），則圓D方程為：x2+y2=b2；B（-2a，b），C（0，b）；再設(shè)E（m，n）（m>0，n

這就足以說(shuō)明：當(dāng)E在圓D所在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)HE永遠(yuǎn)在直線(xiàn)HD下方，故不可能出現(xiàn)上述圖4，也就是說(shuō)我們從理論上推翻了上述微信中給出的看似“嚴(yán)謹(jǐn)”的論證.

評(píng)注有趣的是，當(dāng)我們繼續(xù)用幾何畫(huà)板演示，有更多發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E從圖5所示的位置開(kāi)始按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述兩條中垂線(xiàn)交點(diǎn)H在下方而且越來(lái)越遠(yuǎn)，如圖7所示；當(dāng)點(diǎn)E無(wú)限接近點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)H在下方的無(wú)窮遠(yuǎn)處.繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E開(kāi)始進(jìn)入矩形內(nèi)部時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)H“突變”到上方無(wú)窮遠(yuǎn)處，并且隨著旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)H的位置慢慢下降，如圖8所示. 繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E逐步靠近邊AD時(shí)，交點(diǎn)H進(jìn)入矩形內(nèi)部，并且呈逐步下降趨勢(shì)，如圖9所示.當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，且點(diǎn)E離開(kāi)矩形內(nèi)部時(shí)，交點(diǎn)H再一次“突變”到下方，開(kāi)始新一輪的周期變化.充分印證量變到質(zhì)變、偶然與必然、運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證唯物主義哲學(xué)原理，有效滲透數(shù)形結(jié)合、或然與必然、轉(zhuǎn)化與化歸、方程與函數(shù)、分類(lèi)與討論、有限與無(wú)限等七大數(shù)學(xué)思想，欣賞到數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美、奇異美、周期美與和諧美.其實(shí)這樣的案例在教科書(shū)上多次出現(xiàn)，比如文[4]第90頁(yè)“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中 “魔術(shù)師的地毯”問(wèn)題與案例4異曲同工，都是為了強(qiáng)化直線(xiàn)斜率（傾斜角）這一概念的應(yīng)用，這就是為何教科書(shū)主編將“魔術(shù)師的地毯”安排在文[4]的直線(xiàn)方程后面的原因所在，也再一次說(shuō)明數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與研究，不僅要關(guān)注其定義，還要關(guān)注教科書(shū)后面的例題、習(xí)題，更要關(guān)注教科書(shū)中的“探究與發(fā)現(xiàn)”、“閱讀與思考”等欄目中的問(wèn)題，這正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概念應(yīng)用意識(shí)的最佳素材.正如文[5]所指出，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是一節(jié)課，也不是一天，對(duì)于有些核心概念（如函數(shù)、三角函數(shù)、定積分等）的研究將是一個(gè)長(zhǎng)期跟蹤過(guò)程，需要全方位關(guān)注概念的形成過(guò)程.

3慎用“有意差錯(cuò)”

哲學(xué)家波普爾說(shuō)過(guò)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行正面闡述時(shí)，還要注重“有意差錯(cuò)”來(lái)深度剖析概念，適當(dāng)、有意識(shí)地 “預(yù)設(shè)”經(jīng)典錯(cuò)誤案例，加深對(duì)概念的理解與把握，培養(yǎng)思維批判性、縝密性及深刻性.“有意差錯(cuò)”是一門(mén)學(xué)問(wèn)，更是一門(mén)藝術(shù).事實(shí)證明準(zhǔn)確、恰當(dāng)、適時(shí)的“有意差錯(cuò)”，有利于導(dǎo)入概念，有利于厘清概念，有利于鞏固概念，有利于應(yīng)用概念.正如心理學(xué)家蓋耶感嘆：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”但必須指出：“有意差錯(cuò)”只是概念教學(xué)的一種策略而已，是一種必要補(bǔ)充，畢竟弘揚(yáng)“正能量”才是概念教學(xué)的主流，因此數(shù)量過(guò)多、頻率過(guò)濫的“有意差錯(cuò)”反而沖淡概念本質(zhì)，失去概念本來(lái)面目，甚至誤導(dǎo)學(xué)生.

參考文獻(xiàn)

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