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    函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

    2016-11-01 13:58武瑞雪
    關(guān)鍵詞:教學(xué)設(shè)計(jì)

    武瑞雪

    【摘要】有效的教學(xué)離不開優(yōu)秀的課前教學(xué)設(shè)計(jì),既要有明確的教學(xué)目標(biāo),又要有對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的準(zhǔn)確把握,還要能對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行預(yù)設(shè),并注重讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過(guò)程.

    【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性;教學(xué)設(shè)計(jì);意圖分析

    1 教材內(nèi)容分析

    “函數(shù)的單調(diào)性”是學(xué)生進(jìn)入高中階段后接觸的第一個(gè)用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫的“數(shù)學(xué)概念”(或說(shuō)“函數(shù)的性質(zhì)”),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度和挑戰(zhàn)性,是研究和學(xué)習(xí)后續(xù)很多知識(shí)(如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等)的基礎(chǔ),在比較大小、求最值和極值、解不等式、研究數(shù)列性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的判定等問題上都有重要的應(yīng)用,同時(shí),對(duì)“函數(shù)的單調(diào)性”的研究過(guò)程及方法,可遷移到對(duì)函數(shù)的其他性質(zhì)的研究上,對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)有奠基意義.

    2 教學(xué)目標(biāo)定位

    理解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念,能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫出單調(diào)區(qū)間,能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性;通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成由特殊到一般,再由一般到特殊來(lái)研究問題的思維習(xí)慣[1].

    3 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

    教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

    教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性概念的生成,特別是用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”描述函數(shù)的單調(diào)性;某些函數(shù)單調(diào)區(qū)間的正確表示;單調(diào)性的證明.

    4 教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

    所用教材為現(xiàn)行蘇教版[2],課前布置學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)案”引導(dǎo)下閱讀教材,本節(jié)課是函數(shù)的單調(diào)性的第一課時(shí),所涉及的題目在導(dǎo)學(xué)案和課件上均有,利于學(xué)生預(yù)習(xí),節(jié)省學(xué)生抄題、教師板書的時(shí)間,給學(xué)生更多的時(shí)間思考和探究,實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

    4.1問題情境

    問題情境1如圖1為某市某一天24小時(shí)的氣溫變化圖,氣溫y是關(guān)于時(shí)間x的函數(shù),記為y=f(x),x∈[0,24],觀察這個(gè)氣溫變化圖,說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐漸升高或下降的?怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫上述時(shí)段內(nèi)“隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高”這一特征?

    意圖分析以來(lái)源于生活的氣溫曲線圖創(chuàng)設(shè)問題情境,利于激發(fā)學(xué)生求知欲,調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性,感受函數(shù)的單調(diào)性概念產(chǎn)生的必要性和價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力與“形”“數(shù)”轉(zhuǎn)換的能力,利于引領(lǐng)后續(xù)的教學(xué).

    問題情境2畫出下列3個(gè)函數(shù)的圖象,你能用數(shù)學(xué)中的“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫這3個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變化特征嗎?

    (1)f(x)=2x;(2)f(x)=1x;

    (3)f(x)=x2+2x+1.

    意圖分析(1)從學(xué)生熟悉的3個(gè)函數(shù)切入,通過(guò)畫圖觀察,讓學(xué)生感受到函數(shù)圖象的變化趨勢(shì):隨著x值的增大,有的呈上升的趨勢(shì);有的呈下降的趨勢(shì);有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢(shì),在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢(shì). 滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合思想.

    (2)通過(guò)觀察圖2,先讓學(xué)生從“圖形語(yǔ)言”上直觀認(rèn)識(shí)到函數(shù)的單調(diào)性,并用“圖形符號(hào)”表示為“上升:x,y=f(x);下降:x,y=f(x)”;再用描述性的“文字語(yǔ)言”分別對(duì)應(yīng)表述為“y隨x的增大而增大;y隨x的增大而減小”;最后用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”分別對(duì)應(yīng)表述為“當(dāng)x1f(x2)”,這個(gè)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生的思維從“直觀感覺”走向“數(shù)理邏輯”.

    (3)將“y隨x的增大而增大”翻譯成“當(dāng)x1

    4.2建構(gòu)數(shù)學(xué)

    4.2.1單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)

    設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA.

    如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,若當(dāng)x1

    如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,若當(dāng)x1f(x2),那么就說(shuō)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù),I稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

    意圖分析 (1)前一定義由教師引導(dǎo)學(xué)生概括,后一定義放手讓學(xué)生獨(dú)自概括,讓學(xué)生在類比模仿之中加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知、內(nèi)化,既培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力,又培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)中的“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫數(shù)學(xué)概念的能力[3].同時(shí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的.

    (2)當(dāng)學(xué)生表述不到位、語(yǔ)言不準(zhǔn)確、理解存在偏差時(shí),教師要耐心地引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充、修正,最后達(dá)成嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表述.如學(xué)生表述時(shí),可能會(huì)漏掉“在某區(qū)間上”,借此教師要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某區(qū)間而言的,是函數(shù)的“局部性質(zhì)”.讓學(xué)生閱讀教材,規(guī)范表述,找出概念中的關(guān)鍵詞“在某區(qū)間上”、“任意”、“都有”.

    4.2.2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

    若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

    4.3數(shù)學(xué)運(yùn)用

    例1請(qǐng)根據(jù)圖2,寫出函數(shù)f(x)=2x,f(x)=1x,f(x)=x2+2x+1的單調(diào)區(qū)間.

    例2如圖3是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

    意圖分析(1)通過(guò)例1、例2,讓學(xué)生能用“圖象法”判斷函數(shù)單調(diào)性,并明確“函數(shù)單調(diào)性”與“函數(shù)單調(diào)區(qū)間”的區(qū)別.

    (2)通過(guò)獨(dú)立思考,小組討論,自主糾錯(cuò),最終讓學(xué)生明白函數(shù)f(x)=1x(x≠0)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù),但是在定義域上不具有單調(diào)性,并提醒學(xué)生注意函數(shù)f(x)=1x(x≠0)的減區(qū)間不能寫為:①(-∞,0)∪(0,+∞),

    ②(-∞,0)或(0,+∞),而應(yīng)寫為:①(-∞,0),(0,+∞),②(-∞,0)和(0,+∞),③(-∞,0)及(0,+∞).一般地,單調(diào)區(qū)間是不能取并集的.

    思考你能畫出函數(shù)f(x)=x+1x,x∈(1,+∞)的圖象嗎?你能用“圖象法”判斷函數(shù)f(x)=x+1x在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性嗎?

    意圖分析對(duì)高一新生而言,很難畫出此函數(shù)的圖象,那么對(duì)于“圖象不明”的函數(shù),用“圖象法”判斷其單調(diào)性已不可能,讓學(xué)生體會(huì)到用“定義法”證明的必要性,自然過(guò)渡到例3.

    例3證明函數(shù)f(x)=x+1x在(1,+∞)上是增函數(shù).

    證明設(shè)x1,x2為區(qū)間(1,+∞)上任意兩個(gè)值,且x1

    f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)·x1x2-1x1x2,

    由1

    x1x2-1>0,x1x2>0,

    于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

    所以,f(x)=x+1x在(1,+∞)上是增函數(shù).

    意圖分析(1)此題是教材上例2的變式題,因大部分學(xué)生還是可以畫出例2中函數(shù)f(x)=-1x-1,x∈(-∞,0)的圖象的,為了更好地說(shuō)明引入“定義法”的必要性,故將教材上例2換為上述的例3,忠于教材又不囿于教材.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照單調(diào)增函數(shù)的定義,指出函數(shù)單調(diào)性證明的要點(diǎn),作差比較大小是常用方法,它的基本步驟是:取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論(其中作差是依據(jù),變形是手段,定號(hào)并下結(jié)論是目的),培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能力,增強(qiáng)思維的條理性.

    (2)通過(guò)這3道例題,讓學(xué)生分別從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面理解單調(diào)性,同時(shí)讓學(xué)生明白“判斷函數(shù)單調(diào)性”與“證明函數(shù)單調(diào)性”的差別.

    思考 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的某區(qū)間I上單調(diào)遞增,那么對(duì)區(qū)間I上的任意兩個(gè)值x1,x2,f(x1)-f(x2)x1-x2的符號(hào)有什么變化規(guī)律?反之,若在區(qū)間I上的任意兩個(gè)值x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,則函數(shù)f(x)在I上單調(diào)性如何?

    意圖分析通過(guò)此道思考題,讓學(xué)生明白“對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,若當(dāng)x10”是等價(jià)的,它們都能表明函數(shù)f(x)在I上為單調(diào)增函數(shù).

    4.4學(xué)生活動(dòng)

    練習(xí)關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性有以下一些說(shuō)法:

    (1)區(qū)間(a,b)上,取兩數(shù)x1,x2,且x1

    (2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù),x1,x2∈I,f(x1)

    (3)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù).

    (4)函數(shù) y =f (x)的定義域?yàn)閇0,+∞),若對(duì)于任意的x2>0,都有f(x2)

    (5)若函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),則必有f(2)>f(1).

    (6)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)減函數(shù).

    (7)若要說(shuō)明函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)增(減)函數(shù),只需在該區(qū)間上,找到兩個(gè)值x1,x2,且x1

    (8)若定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是單調(diào)增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).

    (9)若定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是單調(diào)增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).

    (10)所有的函數(shù)都具有單調(diào)區(qū)間.

    其中正確的有 (5)、(6)、(7)、(9).

    意圖分析(1)概念辨析是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié),通過(guò)這道填空題,幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析、反思,幫助學(xué)生逐步形成對(duì)概念全面、深刻的認(rèn)識(shí),準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵與外延,加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

    (2)學(xué)生先獨(dú)自思考,再小組討論,相互糾正,對(duì)于錯(cuò)誤命題,要讓學(xué)生說(shuō)明理由,舉出反例.

    (3)這道填空題的解決要比直接告知“一個(gè)定義,三項(xiàng)注意”的教學(xué)模式更利于激發(fā)學(xué)生探究的興趣和思考的熱情.

    練習(xí)2證明函數(shù)y=x在(0,+∞)上是增函數(shù).意圖分析鞏固用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟,讓學(xué)生意識(shí)到“變形”是最為關(guān)鍵的步驟,其成功的標(biāo)志是出現(xiàn)因式x1-x2,教師點(diǎn)評(píng)時(shí),提醒學(xué)生規(guī)避“循環(huán)論證”情況的發(fā)生.

    4.5回顧反思

    通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你掌握了哪些知識(shí)?學(xué)會(huì)了哪些方法?經(jīng)歷了怎樣的研究過(guò)程?

    意圖分析讓學(xué)生再次體驗(yàn) “函數(shù)的單調(diào)性”概念發(fā)生發(fā)展的過(guò)程,掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的“圖象法”和“定義法”,以及用“定義法”證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟,利于學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu),利于學(xué)生養(yǎng)成反思、歸納、總結(jié)的良好習(xí)慣.

    4.6課后作業(yè)

    1.必做題:教材第44頁(yè),第4題、第7題.

    2.選做題:利用幾何畫板可畫出函數(shù)f(x)=x+1x(x≠0)的圖象(如圖4),

    (1)根據(jù)圖象寫出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;

    (2)證明函數(shù)f(x)=x+1x在區(qū)間(-∞,-1]上是增函數(shù).

    意圖分析(1)通過(guò)作業(yè)及時(shí)鞏固所學(xué)的知識(shí)和方法.其中選做題是例3的補(bǔ)充,讓課堂、課后渾然一體,并讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“對(duì)勾函數(shù)”,利于后續(xù)的學(xué)習(xí).

    (2)通過(guò)選做題的第(1)題,讓學(xué)生明白函數(shù)f(x)=x+1x(x≠0)的單調(diào)減區(qū)間為(-1,0)和(0,1);單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1]和(1,+∞). 特別地,單調(diào)減區(qū)間不能寫為[-1,0)∪(0,1),但從簡(jiǎn)潔性角度考慮,單調(diào)增區(qū)間可寫為(-∞,-1]∪[1,+∞).

    參考文獻(xiàn)

    [1]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2003.4:1.

    [2]單墫,李善良,陳永高等. 現(xiàn)行蘇教版《高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書·數(shù)學(xué)1(必修)》[M].南京:江蘇教育出版社,2007.6:3.

    [3] 涂榮豹.“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”原理的實(shí)踐——對(duì)“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004(11):5-9.

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