數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)列中的探索性等問題

吳方躍

摘 要：本文介紹了數(shù)學(xué)歸納法的定義，并舉例說明了我們在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問題，告戒我們不能盲目的歸納，避免得出錯(cuò)誤的結(jié)論，本文還重點(diǎn)介紹了我們在使用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)應(yīng)注意的步驟，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法推理的常用技巧，并通過在數(shù)列中的應(yīng)用實(shí)例的分析，啟發(fā)人們在解題中更好地使用數(shù)學(xué)歸納法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；歸納假設(shè)；歸納推理；數(shù)列

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用比較廣泛，可以講凡是關(guān)系到自然數(shù)的結(jié)論都可以用它來驗(yàn)證。學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法能夠培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、觀察能力、數(shù)學(xué)化能力、邏輯思維能力和解決綜合性問題能力。另外，它也是每年高考中必不可少的內(nèi)容，而且是得分點(diǎn)，同時(shí)也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的一個(gè)紐帶。下面我介紹數(shù)學(xué)歸納法及在數(shù)列中的應(yīng)用。

1數(shù)學(xué)歸納法

1.1數(shù)學(xué)歸納法的定義

正確時(shí)，若在正確的情況下，也是正確的，便可遞推下去。雖然我們沒有對所有的自然數(shù)逐一的加以驗(yàn)證，但事實(shí)上，這種遞推就已經(jīng)把所有自然數(shù)都驗(yàn)證了，這種方法就是數(shù)學(xué)歸納法。

1.2運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：

（Ⅰ）驗(yàn)證當(dāng)1時(shí)，某命題是正確的；

（Ⅱ）假設(shè)時(shí)，命題也是正確的，從而推出當(dāng)時(shí)，命題也是正確的。因此，命題正確。

容易悟錯(cuò)的是：既然是任意的自然數(shù)，是正確的，那么也是正確的。即與應(yīng)該表示同一個(gè)意思。何必還要證明呢？這很容易理解，雖然是任意假設(shè)的自然數(shù)，但是，一旦假定了時(shí)，就是一個(gè)固定的自然數(shù)了，換句話說，就是一個(gè)有限的數(shù)。因而，能否從n=k時(shí)命題正確，推出時(shí)命題也是正確的，這就不一定。如在時(shí)正確，推出了也是正確的，這時(shí)，問題就出現(xiàn)了一個(gè)跨越，發(fā)生了本質(zhì)的變化，從到，便是由有限變化到無限的過程，這正是數(shù)學(xué)歸納法之精髓。

在比較復(fù)雜的情況下，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟都要有一些相應(yīng)的變化，下面有兩種變形。

形式1：證明中的第一步不一定從1開始，如果當(dāng)?shù)臅r(shí)候，命題是正確的，又假設(shè)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，可以推出當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，那么這個(gè)命題當(dāng)時(shí)都正確，從而得出命題正確。

例：當(dāng)且時(shí)，求證：

證明：（1）時(shí)，左邊

左邊>右邊，所以不等式成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即：

當(dāng)時(shí)，

即時(shí)，不等式成立。

根據(jù)（1）與（2）得，對于且，所證不等式成立。

形式2：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步不只驗(yàn)證第一個(gè)值，而是要驗(yàn)證從初始值始連續(xù)若干個(gè)值的特殊值時(shí)命題都是正確的，第二步假設(shè)是正確的，推出是正確的，那么這個(gè)命題就是正確的。

例：如果，，并且對所有自然數(shù)有

試證：

證明：由題意，需驗(yàn)證，兩值。

（1）當(dāng)時(shí)，，另一方面命題是正確的；還有時(shí)，，另一方面命題是正確的。

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題是正確的，當(dāng)然也是正確的。

即，成立，

則故在時(shí)，命題也成立，于是可以斷定原命題成立。

應(yīng)注意，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法論證某一問題時(shí)，它的兩個(gè)步驟是缺一不可的。沒有第一步的證明就沒有基礎(chǔ)，而不做第二步的證明，就無法斷定命題在一般情況下是否成立。如果二者缺一，將可能會(huì)得出十分荒謬的結(jié)論。

2用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)列中的探索性等問題

類比與猜想是解決探索性問題較為突出的思想，從具體的、有限的問題，通過觀察、分析，進(jìn)行科學(xué)的歸納、猜想。

例：已知數(shù)列滿足條件=且，設(shè)，求：的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)時(shí)，由=得

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，代?得

同理可得，再代入，得，，

由此猜想（也可由），，，，猜想，要證，可證

當(dāng)時(shí)，，前面已求得，所以猜想正確。

假設(shè)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，由已知得

所以：

所以時(shí)，成立。

綜上，對一切，都成立，所以，的通項(xiàng)公式

啟迪歸納：（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，要注意對的依賴作用，當(dāng)時(shí)，證明命題成立必須用上歸納假設(shè)。

數(shù)列中的歸納——假設(shè)證明是對學(xué)生觀察、分析、歸納、論證能力的綜合考察，先以具體的、特殊的情況入手，進(jìn)行細(xì)致的分析，合理歸納，再慎重、準(zhǔn)確地猜想，最后再嚴(yán)密地推理論證。

數(shù)學(xué)歸納法在很多學(xué)科方面都有很廣泛的應(yīng)用，要很好的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題，就需要熟練的掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理和數(shù)學(xué)歸納法的幾個(gè)步驟。

參考文獻(xiàn)：

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