運(yùn)用“構(gòu)造法”，創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路

朱海燕

摘 要：“數(shù)學(xué)構(gòu)造”是數(shù)學(xué)解題中富有創(chuàng)新精神的一種策略方法。運(yùn)用“構(gòu)造法”常常能夠拓寬解題思路，讓數(shù)學(xué)問題變得簡單而易于理解。實(shí)踐中，可以運(yùn)用“作圖構(gòu)造”“補(bǔ)白構(gòu)造”“數(shù)值構(gòu)造”“極端構(gòu)造”“動(dòng)態(tài)構(gòu)造”和“借理構(gòu)造”等，使內(nèi)隱數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等變得敞亮起來，以便讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行創(chuàng)新性建構(gòu)和解答。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造思想；數(shù)學(xué)構(gòu)造；解題思路

“構(gòu)造法”是數(shù)學(xué)解題常用的方法。通過巧妙的數(shù)學(xué)構(gòu)造，常常能夠讓數(shù)學(xué)習(xí)題中隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系顯現(xiàn)出來，進(jìn)而讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單，讓陌生的數(shù)學(xué)問題變成熟悉。常用的數(shù)學(xué)構(gòu)造法有“作圖構(gòu)造”“數(shù)值構(gòu)造”“極端構(gòu)造”“動(dòng)態(tài)構(gòu)造”“借理構(gòu)造”等。通過數(shù)學(xué)構(gòu)造，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識本體的魅力。數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”體現(xiàn)著學(xué)生的創(chuàng)新思維，常常能給人以數(shù)學(xué)美的享受。

■一、作圖構(gòu)造

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)這樣說，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”是緊密結(jié)合在一起的，它們之間的關(guān)系十分密切、十分微妙。在一定條件下，“數(shù)”與“形”能夠相互轉(zhuǎn)化、滲透。教學(xué)中，教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生“以形觀數(shù)”，給抽象數(shù)學(xué)建構(gòu)形象模型，則一定能夠讓數(shù)學(xué)教學(xué)閃現(xiàn)出獨(dú)特的魅力。

例1：幼兒園將一筐蘋果分給大班的小朋友。如果平均每個(gè)小朋友分5個(gè)，則還剩20個(gè)；如果平均每個(gè)小朋友分得6個(gè)，則還缺少30個(gè)。那么大班有多少個(gè)小朋友？一共有多少個(gè)蘋果？

分析：這是一道典型的盈虧問題。盈虧問題學(xué)生難以理解的是盈（有余）與虧（不足）的關(guān)系。為此，許多教師教學(xué)時(shí)予以過度強(qiáng)化，甚至讓學(xué)生死記公式：（盈+虧）÷兩次分配的差=份數(shù)；（大盈-小盈）÷兩次分配的差=份數(shù)；（大虧-小虧）÷兩次分配的差=份數(shù)。盡管部分學(xué)生記得，但仍然難以理解。其實(shí)，如果我們能夠構(gòu)造長方形（如圖1），就能形象地揭示兩次分配結(jié)果之間的關(guān)系。我們用長方形的長邊表示每個(gè)小朋友分得的蘋果數(shù)，用長方形的寬邊表示小朋友總數(shù)。

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圖1

從上圖不難看出，右邊兩個(gè)長方形的面積和也就是蘋果兩次分配結(jié)果相差20+30=50（個(gè)），右邊兩個(gè)長方形的橫邊長為兩次分配過程中每個(gè)小朋友分得的蘋果相差6-5=1（個(gè)）。因此右邊兩個(gè)長方形的豎邊也就是原來長方形的寬，即小朋友的總?cè)藬?shù)為：（20+30）÷（6-5）=50（人）。據(jù)此，我們可以求出蘋果的總數(shù)，即50×5+20=270（個(gè)），或者50×6-30=270（個(gè)）。

■二、補(bǔ)白構(gòu)造

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，讓學(xué)生進(jìn)行適度補(bǔ)白。通過對幾何圖形的完整構(gòu)造，將題目中隱含的數(shù)量關(guān)系敞亮。格式塔心理學(xué)認(rèn)為，藝術(shù)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)把握“復(fù)雜形”與“簡單形”、“不完美形”與“完美形”之間的關(guān)系。教師可以讓學(xué)生通過對稱補(bǔ)白、空缺補(bǔ)白、聯(lián)想補(bǔ)白等策略，利用平移、旋轉(zhuǎn)、添加輔助線等手段對圖形進(jìn)行再造性建構(gòu)，要讓圖形成為一種召喚結(jié)構(gòu)，形成一種“形式意味”，進(jìn)而誘導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例2：求如圖2中形體的體積。

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圖2

分析：如圖2，本題中的形體是一個(gè)不規(guī)則的幾何形體，其底面是一個(gè)直角梯形。梯形的上底為3厘米，下底為5厘米，高為4厘米，整個(gè)形體的高為6厘米。盡管我們可以運(yùn)用直柱體的體積公式V=Sh來進(jìn)行計(jì)算，但仍有部分學(xué)生不能理解。此時(shí)，如果我們引導(dǎo)學(xué)生嘗試用對稱的眼光來審視的話，這個(gè)形體作為一個(gè)“不完形”，就等待著、召喚著我們對它進(jìn)行補(bǔ)白、完形，使之臻于完整、完美。為此我們可以進(jìn)行構(gòu)造，即用一個(gè)完全一樣的形體，按照一正一倒的方向與順序，組合成一個(gè)長方體（如圖3）。這個(gè)長方體的長是8厘米，寬是4厘米，高是6厘米。而拼成的長方體的體積正好是原來直柱體體積的2倍，所以直柱體的體積為：（3+5）×4×6÷2=96（立方厘米）。在這里，筆者巧妙運(yùn)用對稱，建構(gòu)完形，引導(dǎo)兒童從整體上把握不規(guī)則直柱體的本質(zhì)，通過補(bǔ)白構(gòu)造讓孩子們進(jìn)行空間想象，培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)建構(gòu)力和創(chuàng)造力。

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圖3

■三、數(shù)值構(gòu)造

所謂“數(shù)值構(gòu)造”就是將題目中抽象、隱蔽的條件、關(guān)系通過具體數(shù)值加以顯化。孩子們對抽象的符號有著天然的陌生感，而數(shù)值構(gòu)造則讓學(xué)生親近習(xí)題。通過具體數(shù)值，讓抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，進(jìn)而促進(jìn)兒童主動(dòng)分析數(shù)量關(guān)系。

例3：一場3D電影票原來是15元一張。自降價(jià)以后，觀眾人數(shù)增加了一半，收入增加了■。那么，3D電影票降價(jià)了多少元？

分析：本題看上去簡直無從下手，因?yàn)殡娪捌钡氖杖?、觀眾的人數(shù)等我們都不知道。但認(rèn)真讀題我們不難發(fā)現(xiàn)，正是因?yàn)橛^眾人數(shù)增加了一半才導(dǎo)致收入增加了■。換句話說，觀眾人數(shù)與增加的收入之間存在著因果關(guān)系。據(jù)此，我們嘗試采用數(shù)值構(gòu)造，期望問題能夠得到解決。不妨假設(shè)原來觀眾的人數(shù)為1000人，這樣原來總的收入為15000元。那么，根據(jù)“降價(jià)后觀眾人數(shù)增加了一半”可以得出現(xiàn)在的人數(shù)為：1500人，根據(jù)“收入增加■”可以得出現(xiàn)在的收入為15000+15000×■=18000（元）。那么現(xiàn)在每張3D電影票的價(jià)格為：18000÷1500=12（元）。由于原來每張3D電影票的價(jià)格為15元，因此3D電影票降價(jià)了15-12=3元。復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系讓我們覺得“山重水復(fù)疑無路”，但因?yàn)橛辛司唧w的數(shù)值賦予而顯得“柳暗花明又一村”了。

■四、極端構(gòu)造

所謂“極端構(gòu)造”，是指我們在解決數(shù)學(xué)的一般問題時(shí)，可以對問題做出“極端化處理”。通過問題的“極端情形”獲得對一般問題情形的思考方法。從表面上看，極端構(gòu)造是一種“特殊法”解題，但深入分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)“極端構(gòu)造法”不能等同于“特殊法”。由于我們視閾的局限，常常不能把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而“極端構(gòu)造”實(shí)際上就是將問題中的非本質(zhì)屬性屏蔽，而讓本質(zhì)屬性凸顯。

例4：一艘大型輪船往返于甲、乙兩地，那么是在流水中（包括去時(shí)順?biāo)⒎祷貢r(shí)逆水；或者去時(shí)逆水返回時(shí)順?biāo)┧ǖ臅r(shí)間長還是在靜水中所花的時(shí)間長，抑或一樣長呢？

分析：由于本題“不著一數(shù)”，所以讓我們覺得解題舉步維艱。此外，如果我們采用假設(shè)法，還必須考慮兩種情形，即“去時(shí)順?biāo)⒎祷貢r(shí)逆水；或者去時(shí)逆水、返回時(shí)順?biāo)?。為此，我們可以將問題情形引向極端來展開思考，即船速等于水速，那么問題情形就變得非常的有趣。船在逆水中航行，由于船速等于水速，所以船是停止不前的。這時(shí)，無論花多長時(shí)間，船都無法到達(dá)對面，從而也就無法完成在兩地間往返航行。而船在靜水中往返所花的時(shí)間總是“往”或者“返”時(shí)間的2倍。因此，船往返于兩地在流水中所花的時(shí)間一定比在靜水中所花的時(shí)間要長。

■五、動(dòng)態(tài)構(gòu)造

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，有時(shí)我們可以對題目進(jìn)行動(dòng)態(tài)處理，讓題目中的條件在動(dòng)態(tài)變化的過程中給學(xué)生以啟示，從而獲得解題思路。通過條件中的某個(gè)元素的運(yùn)動(dòng)或圖形的運(yùn)動(dòng)等能形成數(shù)學(xué)題中讓人豁然開朗的特殊情形、規(guī)整情形。由此，對問題的動(dòng)態(tài)構(gòu)造往往可以得到新穎、別致的數(shù)學(xué)解法。

例5：如圖4，正方形ABCD和正方形EFGH相互重疊，它們的邊長都是4厘米。其中，正方形EFGH的一個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的中心。那么，重疊部分的面積是多少平方厘米？

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圖4

分析：從圖中可以看出，兩個(gè)正方形重疊部分是一個(gè)不規(guī)則的圖形，如果我們根據(jù)題目中所給的靜態(tài)圖，那么這一道題就很難做出解答。為此，我們可以作動(dòng)態(tài)想象，想象正方形EFGH繞著E點(diǎn)也就是正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)。當(dāng)我們將圖中重疊的部分旋轉(zhuǎn)成一個(gè)小正方形時(shí)，也就是旋轉(zhuǎn)到線段EH垂直于CD或者垂直于BD時(shí)，問題就迎刃而解了。那么，一般情形與這種特殊情形之間有沒有什么關(guān)系呢？答案是有的，如圖所示，現(xiàn)在的圖形比特殊的標(biāo)準(zhǔn)圖形在一邊多了一個(gè)小三角形，而在另一邊則少了一個(gè)三角形，把其中的一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)90°就會(huì)和另一個(gè)三角形完全重合。因此，重疊部分的面積為原來正方形面積的■，即4×4×■=4（平方厘米）。

■六、借理構(gòu)造

有些數(shù)學(xué)問題運(yùn)用該類問題的常規(guī)思路解答比較難，但運(yùn)用非本類問題的思路方法常常能夠解答。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)想象力，應(yīng)用相關(guān)知識解決實(shí)際問題。在構(gòu)造的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生說理，說構(gòu)造之理。不難看出，數(shù)學(xué)構(gòu)造是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，它要求學(xué)生在自己已有知識經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)問題之間建立通路、回路。要增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)構(gòu)造的自覺性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)構(gòu)造的能力。

例6：南京市北京路小學(xué)健美操興趣小組一共有13名同學(xué)，試證明這13名同學(xué)中至少有兩位同學(xué)是同一個(gè)月出生的。

分析：這道題從文字表達(dá)上看好像是“年齡問題”，但題目中的問題卻不是數(shù)學(xué)計(jì)算，而是證明，是證明就要展開說理。我們可以這樣說：從最不利的情況出發(fā)，13名同學(xué)中，第一位同學(xué)假設(shè)是1月出生，第二位同學(xué)假設(shè)是2月出生……第12位同學(xué)假設(shè)是12月出生，在這12位同學(xué)中，每一位同學(xué)的出生月份都各不相同。而現(xiàn)在卻有13名同學(xué)，這第13位同學(xué)無論出生在哪一個(gè)月份，都與前面十二位同學(xué)中的一位是同一個(gè)月出生的。其實(shí)，這道題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“抽屜原理”，而運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵在于正確構(gòu)造抽屜。在本題中，我們可以將一年的12個(gè)月看作12個(gè)抽屜，將13位同學(xué)看作13個(gè)物體。將13個(gè)物體放進(jìn)12個(gè)抽屜中，必定有一個(gè)抽屜有兩個(gè)物體，即至少有兩位同學(xué)是同一個(gè)月出生的。

以上介紹了構(gòu)造法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一些運(yùn)用，我們從中能感受到數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”的精妙、神奇。教學(xué)中，如果教師能有意識地引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)構(gòu)造，讓學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造思想來展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有意識地構(gòu)造思考，那么就一定能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。在這個(gè)過程中，學(xué)生將逐漸成長為一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的創(chuàng)客！