關(guān)注策略，收獲技巧，發(fā)展思維

顧爭光

摘 要：如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的特點，通過圖形的運動變化巧妙獲解，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們一線教師必須研究的課題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；策略；技巧；思維

平面圖形面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，它對發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著不可低估的作用。但由于平面圖形中點、線、面之間的關(guān)系具有隱蔽性和運動變化的特點，給平面圖形的面積計算帶來一定的困難，因此如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的特點，通過圖形的運動變化巧妙獲解，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們一線教師必須研究的課題。本文介紹一些平面圖形面積計算的常見策略，旨在通過解題策略的研究，掌握面積計算的思維技巧，希望能引起大家的興趣和關(guān)注。

一、等積變換

等積變換主要是對一些形狀可變的平面圖形，通過尋找條件與問題之間的聯(lián)系，用等積變換的思想和方法使問題簡化。

例1：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且AB=8厘米，求圖中陰影部分的面積。

分析與解：由于正方形CEFG的邊長不確定，說明這個陰影三角形的形狀是可變的，所以此題不可能直接通過面積公式來計算陰影三角形的面積，但如果我們通過尋找陰影部分與空白部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，按“等積變換”的思路解題，就能使問題簡化。

連接CF，因CD=BC，EF=GF，所以正方形CEFG的邊長無論怎樣變化，三角形CDF的面積總等于三角形BCF的面積（等底等高），從中容易看出三角形CDO的面積等于三角形BOF的面積，原陰影部分面積就等于三角形DCB的面積，為8×8÷2=32平方厘米。

二、加倍補形

加倍補形是指對一些看似條件不夠的面積計算問題，通過在原來的圖形上補一個完全相同的圖形，通過巧妙轉(zhuǎn)化使問題迎刃而解。（我們在三角形、梯形的面積公式推導(dǎo)時也常用這種方法。）

例2：如圖2所示的直角三角形中有一個長方形，求這個長方形的面積。（單位：厘米）

分析與解：由于題中所提供的已知條件與長方形無關(guān)，所以從表面上看，似乎無法求出圖中長方形的面積，但我們可以根據(jù)圖形的特點，在直角三角形上補一個完全相同的直角三角形，使之成為圖3所示的長方形，這樣就能達(dá)到峰回路轉(zhuǎn)的解題效果。

圖3中大長方形的對角線把大長方形和兩個小長方形平分，由此可知圖中S1的面積就等于S2的面積，所以所求長方形的面積為50×30=1500平方厘米。

三、巧添輔線

添輔助線是進(jìn)行面積計算的常用方法之一，是指當(dāng)解決問題的條件不夠時，通過添加輔助線構(gòu)建新圖形，把原問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的新問題。

例3：如圖4所示，ABCD是邊長為12厘米的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與CE交于點G，則四邊形AGCD的面積是多少平方厘米？

分析與解：本題難以直接計算，所以在解題時通過添加輔助線，先求出正方形內(nèi)其他三個區(qū)域的面積，再求出四邊形AGCD的面積。

如圖5所示，連接BG，根據(jù)圖形的對稱性可知四邊形EBFG被分成兩個完全相等的三角形EBG和三角形BFG。因為三角形AGE和三角形EBG、三角形BFG和三角形FCG等底等高，所以上述四個小三角形的面積相等，每個小三角形的面積是12×（12÷2）÷2÷3=12平方厘米。因此四邊形AGCD的面積為12×12-12×4=96平方厘米。

四、分割顯示

有些幾何圖形由于自身的結(jié)構(gòu)具有一定的特殊性，它把圖形之間的關(guān)系巧妙地遮掩起來，解題時就需要分割圖形，把隱蔽的關(guān)系顯示出來。

例4：如圖6所示，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，陰影部分是正方形，求三角形ABC與三角形CDE的面積比。

分析與解：由于陰影正方形既是三角形ABC的一部分，又是三角形CDE中的一部分，所以它是兩個三角形之間關(guān)系的橋梁，也是解決問題的關(guān)鍵所在，解題時只要把圖形巧妙分割，就能把隱蔽的關(guān)系顯示出來，達(dá)到快速解題的目的。

畫出正方形的兩條對角線，將正方形分割成形狀、大小完全相同的四個小三角形，然后再將另三個三角形也分割成與正方形內(nèi)的小三角形相同的小三角形（如圖7所示），這樣整個圖形分割成了10個形狀、大小相同的小三角形，其中在三角形ABC中有9個，三角形DEC中有8個，從中容易看出三角形ABC與三角形CDE的面積比是9：8。

五、對稱比較

對稱比較是指在原有圖形中通過添加輔助線或把部分圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移使圖形相對的部分在大小、形狀和排列上具有一一對應(yīng)的關(guān)系，再通過比較獲解。

例5：如圖8，在半徑為4厘米的圓中，有兩條互相垂直的線段，把圓分成了四塊，圓心O到M的距離是1厘米，M到N的距離是2厘米，那么圖中空白部分面積與陰影部分面積相差多少平方厘米？

分析與解：初看該題感覺無從下手，但若根據(jù)圖形特征從問題入手分析，利用對稱比較的方法就有柳暗花明的效果。

如圖9，畫出圖中與原線段關(guān)于O點對稱的兩條互相垂直的線段，把原圖中的4個部分分成了9個部分，根據(jù)圖形的對稱性可知a與c、b與g、d與e、f與h的面積分別相等，所以圖中空白部分與陰影部分相比，空白部分比陰影部分多了一個含圓心O的長方形，因此空白部分面積與陰影部分面積相差（2×2）×（1×2）=8平方厘米。

六、平移組合

平移組合是指對部分關(guān)系隱蔽，正面突破不可能求解的面積計算，通過把部分圖形平移變換，使條件關(guān)系明朗化。

例6：按圖10的樣子，在一平行四邊形紙板上割去了甲、乙兩個直角三角形，已知甲三角形兩條直角邊分別為4厘米和8厘米，乙三角形兩條直角邊分別為5厘米和10厘米，求圖中陰影部分面積。

分析與解：由于圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積減去兩個直角三角形的面積，所以解題的關(guān)鍵是求出平行四邊形的面積。我們可以把圖10中的兩個直角三角形作如圖11所示的平移變換，從中就會發(fā)現(xiàn)原平行四邊形面積等于平移后兩個長方形面積之和，所以陰影部分面積為8×5+10×4-10×5÷2-8×4÷2=39平方厘米。

七、旋轉(zhuǎn)對應(yīng)

旋轉(zhuǎn)對應(yīng)是在解決問題時把圖中的部分圖形繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)一定的角度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的對應(yīng)關(guān)系，找到解決問題所需要的條件。

例7：如圖12所示，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE的面積。

分析與解：本題如果按常規(guī)思路不易求解，但可以有意識地讓靜止的圖形動起來，把原圖中的部分圖形作適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，就能找到解決問題的鑰匙。

如圖13，作AP，DM垂直于BC，由于ABCD是一個等腰梯形，所以AD=PM，BP=CM。從中容易求出CM=（35-23）÷2=6厘米。作EN垂直于AD交AD延長線于N，因為四邊形CDEF是正方形，所以DE=DC，又∠EDN=90°-∠CDN=∠CDM，所以把直角三角形CDM繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與直角三角形EDN重合，因此EN=CM=6厘米，三角形ADE的面積為23×6÷2=69平方厘米。

八、構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形是指由于原圖形中點、線、面之間的關(guān)系不甚明顯，通過構(gòu)造新的圖形，使點、線、面之間的關(guān)系明朗化，達(dá)到變崎嶇為通途的目的。

例8：如圖14，一個長方形的長是寬的4倍，且對角線的長度是17厘米。求這個長方形的面積。

分析與解：由于小學(xué)生知識儲備有限，用常規(guī)思路解答該題是相當(dāng)困難的。這時我們不妨指導(dǎo)學(xué)生變換一種思維方式，用原長方形構(gòu)造一個新的圖形，達(dá)到化難為易的目的。

用四個同樣大小的小長方形構(gòu)造一個如圖15所示的正方形，因長方形的長是寬的4倍，所以長方形ABCD中有4個方格。依次連接四個長方形的對角線，則由四條對角線圍成的四邊形BDEF是一個正方形，面積為17×17=289平方厘米，而正方形BDEF是由9個方格和4個直角三角形組成，每個直角三角形的面積相當(dāng)于2個方格的面積，因此正方形BDEF的面積相當(dāng)于9+2×4=17個方格的面積，這樣容易求得每個方格的面積是289÷17=17平方厘米，長方形ABCD的面積是17×4=68平方厘米。

綜上所述，根據(jù)圖形的特征，科學(xué)合理地運用面積計算策略，不但能巧妙地解答許多圖形面積的計算問題，提高解題效率，而且收獲了面積計算的思維技巧，有助于提高學(xué)生探索與應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。