軌跡問題的合情推理和演繹推理

宮明

[摘 要] 合情推理與演繹推理是相輔相成的關(guān)系，兩者既對(duì)立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需要親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程. 本文以軌跡問題中考題為例，談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何堅(jiān)持演繹推理與合情推理并重.

[關(guān)鍵詞] 軌跡問題；合情推理；演繹推理

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)強(qiáng)調(diào)演繹推理的作用，忽視了對(duì)學(xué)生進(jìn)行合情推理的訓(xùn)練和培養(yǎng)，從而使學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)，從而產(chǎn)生畏難情緒. 究其原因，主要是教師沒有為學(xué)生探求知識(shí)創(chuàng)設(shè)合適的情境，沒有讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生數(shù)學(xué)聯(lián)想，進(jìn)而找到解決問題的方法. 本文就如何在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中有機(jī)結(jié)合合情推理與演繹推理作一些探索.

試題 （2016年日照中考）閱讀理解 我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡. 例如角的平分線就是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡.

問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交EF于點(diǎn)P，那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn).

理由：因?yàn)榫€段EF為△ABC的中位線，所以EF∥BC. 由平行線分線段成比例得動(dòng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn). 由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是______.

知識(shí)應(yīng)用 如圖2，已知EF為等邊三角形ABC的邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若AF=BE，且等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，求線段EF的中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).

拓展提高 如圖3，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊三角形APC和等邊三角形PBD，連接AD，BC，交點(diǎn)為Q.

（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).

運(yùn)動(dòng)軌跡是線段

閱讀理解中，動(dòng)點(diǎn)P是AM與EF的交點(diǎn)，根據(jù)軌跡的定義易知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF.

1. 合情推理三點(diǎn)共線

知識(shí)應(yīng)用中，因?yàn)辄c(diǎn)E可與點(diǎn)B，A重合，點(diǎn)F可與點(diǎn)A，C重合，要判斷線段EF的中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以通過畫出起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間點(diǎn)進(jìn)行探索.

2. 演繹推理證明平角

運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧

拓展提高（1）中，通過證明△APD≌△CPB易知∠AQB=120°.

1. 合情推理三點(diǎn)不共線

拓展提高（2）中，因?yàn)辄c(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合，要判斷AD，BC交點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以通過畫出兩個(gè)極限點(diǎn)和中間點(diǎn)進(jìn)行探索.

當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限接近點(diǎn)A時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也無(wú)限接近點(diǎn)A，將點(diǎn)A記為運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)極限點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限接近點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也無(wú)限接近點(diǎn)B，將點(diǎn)B記為運(yùn)動(dòng)軌跡的另一個(gè)極限點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，滿足條件的任意一點(diǎn)記為中間點(diǎn)Q. 通過觀察發(fā)現(xiàn)A，Q，B不在同一條直線上，因此可以猜想出動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧.

2. 演繹推理計(jì)算角度

猜想之后，同樣需要演繹推理判斷猜想的正確性. 通過拓展提高（1），可以發(fā)現(xiàn)∠AQB=120°，這正好是點(diǎn)Q軌跡為圓弧的演繹推理，說明了∠AQB是120°的圓周角. 而對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的計(jì)算，可以利用作△AQB外心的方法找到圓心O補(bǔ)齊圓求解，如圖6.

以上中考題包含了初中數(shù)學(xué)軌跡問題的兩種典型情況：線段和圓弧. 研究軌跡問題時(shí)，需要找到三個(gè)靜止的點(diǎn)，合情推理出軌跡形狀，然后演繹推理計(jì)算角的度數(shù)，最后計(jì)算出軌跡長(zhǎng)度.